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Mathematik f¨ur Chemiker 1: online-Vorlesung 4.3) verallgemeinerte Kettenregel, implizite Ableitung

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Academic year: 2022

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Mathematik f¨ ur Chemiker 1: online-Vorlesung

4.3) verallgemeinerte Kettenregel, implizite Ableitung

Bernd Hartke

Theoretische Chemie

Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at

Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel

hartke@pctc.uni-kiel.de

https://ravel.pctc.uni-kiel.de/ -1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

1/x ln(|x|)

(2)

verallgemeinerte Kettenregel Kettenregel f¨ur f(x) mit x(t):

df

dt = df dx

dx

dt (1)

Entsprechend gilt f¨ur f(x, y, z) mit x(t), y(t), z(t):

df

dt = ∂f

∂x dx

dt + ∂f

∂y dy

dt + ∂f

∂z dz

dt (2)

bzw. mit x(t, u), y(t, u), z(t, u):

∂f

∂t = ∂f

∂x

∂x

∂t + ∂f

∂y

∂y

∂t + ∂f

∂z

∂z

∂t (3)

∂f

∂u = ∂f

∂x

∂x

∂u + ∂f

∂y

∂y

∂u + ∂f

∂z

∂z

∂u (4)

(3)

verallgemeinerte Kettenregel: Beispiel

f(t, u) = sin(ln2(t) + e2u) (5)

f(x, y) = sin(x2 + y2) mit x = ln(t) , y = eu (6)

∂f

∂t = ∂f

∂x

∂x

∂t + ∂f

∂y

∂y

∂t (7)

= 2xcos(x2 + y2) 1

t + 2y cos(x2 + y2) · 0 (8)

= 2 cos(ln2(t) + e2u) ln(t)

t (9)

∂f

∂u = ∂f

∂x

∂x

∂u + ∂f

∂y

∂y

∂u (10)

= 2xcos(x2 + y2) · 0 + 2y cos(x2 + y2)eu (11)

= 2 cos(ln2(t) + e2u)e2u (12)

(4)

implizite Ableitung

Eine explizite Funktion y = f(x) ist ableitbar;

eine implizite Funktion F(x, y) = 0 zun¨achst nicht. Ihr totales Differential ist dF = ∂F

∂x dx + ∂F

∂y dy = 0 (13)

(es ist Null, da F(x, y) konstant (Null) ist). Dieser Ausdruck l¨aßt sich aufl¨osen nach dy

dx = −

∂F

∂x

∂F

∂y

(14) oder alternativ nach

dx

dy = −

∂F

∂y

∂F

∂x

(15) (Kehrwert = Ableitung der Umkehrfunktion).

Damit k¨onnen auch implizite Funktionen abgeleitet werden.

(5)

implizite Ableitung: Beispiel

x2

a2 + y2

b2 = 1 (Ellipse) (16)

In expliziter Form

y = ±b r

1 − x2

a2 (17)

ableitbar; Wiedereinsetzen von y beseitigt die ±-Zweideutigkeit:

y0 = ±b · 1 2

1 − x2 a2

−1/2

−2x a2

= −b2x

a2y (18)

Alternativer Weg via implizite Ableitung:

F(x, y) = x2

a2 + y2

b2 − 1 = 0 (19)

∂F

∂x = 2x

a2 , ∂F

∂y = 2y

b2 (20)

dy ∂F b2x

(6)

erweiterte Notation partieller Ableitungen x = r cos(ϑ) (22)

y = r sin(ϑ) (23)

r = p

x2 + y2 (24) ϑ = arctan(y/x) (25) Aus Gl. 25 ergibt sich (mit Gl. 24):

∂ϑ

∂x = 1 1 + yx2

− y x2

= x2 x2 + y2

− y x2

= − y

r2 (26)

Aus Gl. 22 erhalten wir:

∂x

∂ϑ = −r sin(ϑ) = −y ⇒ ∂ϑ

∂x = −1

y (27)

Warum diese Resultate verschieden sind, wir klar, wenn wir dazuschreiben, welche Variablen bei diesen partiellen Ableitungen “konstant gehalten” wurden (besser: welche anderen Variablen in Gl. 25 bzw. 22 vorkommen):

∂ϑ

∂x

y

= − y

r2 (28)

∂ϑ

∂x

r

= −1

y (29)

(7)

erweiterte Notation partieller Ableitungen x = r cos(ϑ) (30)

y = r sin(ϑ) (31)

r = p

x2 + y2 (32) ϑ = arctan(y/x) (33) Tats¨achlich sind (∂ϑ/∂x)y und (∂x/∂ϑ)y Kehrwerte voneinander:

Division von Gl. 30 durch Gl. 31 ergibt

x = y cot(ϑ) (34)

woraus mit der Grundableitung dcot(x)dx = −1

sin2(x) und Gl. 31 folgt:

∂x

∂ϑ

y

= −y

sin2(ϑ) = −y

y2/r2 = −r2

y = 1

∂ϑ

∂x

y

(35)

Ausdr¨ucke wie

∂G

∂p

T in der ph¨anomenologischen Thermodynamik sagen

• daß T bei dieser partiellen Ableitung nach p konstant gehalten wird (trivial!)

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