Mathematik f¨ ur Chemiker 1: online-Vorlesung
4.3) verallgemeinerte Kettenregel, implizite Ableitung
Bernd Hartke
Theoretische Chemie
Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at
Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel
hartke@pctc.uni-kiel.de
https://ravel.pctc.uni-kiel.de/ -1.5
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1/x ln(|x|)
verallgemeinerte Kettenregel Kettenregel f¨ur f(x) mit x(t):
df
dt = df dx
dx
dt (1)
Entsprechend gilt f¨ur f(x, y, z) mit x(t), y(t), z(t):
df
dt = ∂f
∂x dx
dt + ∂f
∂y dy
dt + ∂f
∂z dz
dt (2)
bzw. mit x(t, u), y(t, u), z(t, u):
∂f
∂t = ∂f
∂x
∂x
∂t + ∂f
∂y
∂y
∂t + ∂f
∂z
∂z
∂t (3)
∂f
∂u = ∂f
∂x
∂x
∂u + ∂f
∂y
∂y
∂u + ∂f
∂z
∂z
∂u (4)
verallgemeinerte Kettenregel: Beispiel
f(t, u) = sin(ln2(t) + e2u) (5)
f(x, y) = sin(x2 + y2) mit x = ln(t) , y = eu (6)
∂f
∂t = ∂f
∂x
∂x
∂t + ∂f
∂y
∂y
∂t (7)
= 2xcos(x2 + y2) 1
t + 2y cos(x2 + y2) · 0 (8)
= 2 cos(ln2(t) + e2u) ln(t)
t (9)
∂f
∂u = ∂f
∂x
∂x
∂u + ∂f
∂y
∂y
∂u (10)
= 2xcos(x2 + y2) · 0 + 2y cos(x2 + y2)eu (11)
= 2 cos(ln2(t) + e2u)e2u (12)
implizite Ableitung
Eine explizite Funktion y = f(x) ist ableitbar;
eine implizite Funktion F(x, y) = 0 zun¨achst nicht. Ihr totales Differential ist dF = ∂F
∂x dx + ∂F
∂y dy = 0 (13)
(es ist Null, da F(x, y) konstant (Null) ist). Dieser Ausdruck l¨aßt sich aufl¨osen nach dy
dx = −
∂F
∂x
∂F
∂y
(14) oder alternativ nach
dx
dy = −
∂F
∂y
∂F
∂x
(15) (Kehrwert = Ableitung der Umkehrfunktion).
Damit k¨onnen auch implizite Funktionen abgeleitet werden.
implizite Ableitung: Beispiel
x2
a2 + y2
b2 = 1 (Ellipse) (16)
In expliziter Form
y = ±b r
1 − x2
a2 (17)
ableitbar; Wiedereinsetzen von y beseitigt die ±-Zweideutigkeit:
y0 = ±b · 1 2
1 − x2 a2
−1/2
−2x a2
= −b2x
a2y (18)
Alternativer Weg via implizite Ableitung:
F(x, y) = x2
a2 + y2
b2 − 1 = 0 (19)
∂F
∂x = 2x
a2 , ∂F
∂y = 2y
b2 (20)
dy ∂F b2x
erweiterte Notation partieller Ableitungen x = r cos(ϑ) (22)
y = r sin(ϑ) (23)
r = p
x2 + y2 (24) ϑ = arctan(y/x) (25) Aus Gl. 25 ergibt sich (mit Gl. 24):
∂ϑ
∂x = 1 1 + yx2
− y x2
= x2 x2 + y2
− y x2
= − y
r2 (26)
Aus Gl. 22 erhalten wir:
∂x
∂ϑ = −r sin(ϑ) = −y ⇒ ∂ϑ
∂x = −1
y (27)
Warum diese Resultate verschieden sind, wir klar, wenn wir dazuschreiben, welche Variablen bei diesen partiellen Ableitungen “konstant gehalten” wurden (besser: welche anderen Variablen in Gl. 25 bzw. 22 vorkommen):
∂ϑ
∂x
y
= − y
r2 (28)
∂ϑ
∂x
r
= −1
y (29)
erweiterte Notation partieller Ableitungen x = r cos(ϑ) (30)
y = r sin(ϑ) (31)
r = p
x2 + y2 (32) ϑ = arctan(y/x) (33) Tats¨achlich sind (∂ϑ/∂x)y und (∂x/∂ϑ)y Kehrwerte voneinander:
Division von Gl. 30 durch Gl. 31 ergibt
x = y cot(ϑ) (34)
woraus mit der Grundableitung dcot(x)dx = −1
sin2(x) und Gl. 31 folgt:
∂x
∂ϑ
y
= −y
sin2(ϑ) = −y
y2/r2 = −r2
y = 1
∂ϑ
∂x
y
(35)
Ausdr¨ucke wie
∂G
∂p
T in der ph¨anomenologischen Thermodynamik sagen
• daß T bei dieser partiellen Ableitung nach p konstant gehalten wird (trivial!)