Mathematik f¨ur Chemiker 2: online-Vorlesung 1.6) nD-Integration: vektorielle Kurvenintegrale

Mathematik f¨ ur Chemiker 2: online-Vorlesung 1.6) nD-Integration: vektorielle Kurvenintegrale

Bernd Hartke

Theoretische Chemie

Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at

Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel

hartke@pctc.uni-kiel.de

https://ravel.pctc.uni-kiel.de/

k

dS

x

y

z θ

dy

dx G_xy

G

In der Physik gilt f¨ur die mechanische Energie bzw. Arbeit:

Arbeit W = Kraft F × Weg r

Wirksam ist nur die Kraftkomponente in Wegrichtung ⇒ Projektion (Skalarprodukt):

W = F~ ·~r (1)

F

F¨ur einen gekr¨ummten Weg C brauchen wir eine Summe ¨uber eine Zerlegung in infinitesimale,r

gerade Wegst¨uckchen = ein Integral:

W = Z

C

F~ · d~r = Z

C

F_x F_y

·

dx dy

(2)

= Z

C

(F_x dx + F_y dy) = Z

C

F_x dx + Z

C

F_y dy (3)

F~ ist ein Vektorfeld mit Komponenten F_x(x, y) und F_y(x, y), d.h. an jedem Punkt in der xy-

Beispiel 2

W = Z

C

F~ · d~r (4)

mit F~ =

xy

−y²

(5)

entlang mehrerer Wege zwischen (0|0) und (2|1): ^x

y

1 1

(0|0) 2

(2|1)

x

x 1

3 3 4

F¨ur alle Wege gilt:

F~ · d~r =

xy

−y²

·

dx dy

= xy dx − y²dy (6)

also W = Z

C

F~ · d~r = Z

C

(xy dx − y² dy) = Z

C

xy dx − Z

C

y² dy (7) Die Ergebnisse werden davon abh¨angen, welchen Integrationsweg wir w¨ahlen.

Weg 1: Integrationsweg Gerade y = ¹₂x ⇒ dy = ¹₂ dx, Grenzen in x: [0, 2]

W₁ =

2

Z

0

x 1

2x dx − 1

2x ²

dx

!

= 3 8

2

Z

0

x²dx = 1 8

x³²

0 = 1 (8)

Alternativer L¨osungsweg: nicht in x, sondern in y integrieren:

selbe Gerade: x = 2y ⇒ dx = 2dy, Grenzen in y: [0, 1]

W₁ =

1

Z

0

(2y y 2dy − y²dy) = 3

1

Z

0

y²dy =

y³¹

0 = 1 (9)

Beispiel 2, Weg 2

Weg 2: Integrationsweg Parabel y = ¹₄x² ⇒ dy = ¹₂x dx, Grenzen in x: [0,2]

W₂ =

2

Z

0

1

4x³ − 1 32x⁵

dx = 1 16

x⁴²

0 − 1 32

1 6

x⁶²

0 = 1 − 1

3 = 2

3 (10)

Weg 3: Integrationsweg: zwei achsenparallele Geraden.

Wegst¨uck 1: Gerade von (0|0) nach (0|1): x = 0 ⇒ dx = 0, Grenzen in y: [0, 1]

W_3,1 =

1

Z

y=0

(0 · y · 0 − y²dy) = −1 3

y³¹

0 = −1

3 (11)

Wegst¨uck 2: Gerade von (0|1) nach (2|1): y = 1 ⇒ dy = 0, Grenzen in x: [0,2]

W_3,2 =

1

Z

x=0

(x · 1 · dx − 1 · 0) = −1 2

x²2

0 = 2 (12)

zusammen: Addition der beiden Teilintegrale:

W₃ = W_3,1 + W_3,2 = −1

3 + 2 = 5

3 (13)

Beispiel 2, Weg 4

Weg 4: Integrationsweg y = ^x₂^2/3

⇒ dy = ¹₃ ^x₂^−1/3

dx, Grenzen in x: [0, 2]

W₄ =

2

Z

0

xx 2

^2/3

dx − x 2

^4/3 1 3

x 2

^−1/3 dx

(14)

=

1 2

^2/3 Z²

0

x^5/3dx − 1 6

2

Z

0

x dx (15)

=

1 2

2/3

3 8

h

x^8/3i²

0 − 1 12

x²²

0 = 3

2 − 1

3 = 7

6 (16)

Weg 4: frei gew¨ahlte Parametrisierung: x = 2t³ ⇒ y = (t³)^2/3 = t², dx = 6t²dt, dy = 2t dt, Grenzen in t: [0,1]

W₄ =

1

Z

0

(2t³ · t² · 6t²dt − t⁴ · 2t dt) (17)

=

1

Z

0

(12t⁷ − 2t⁵)dt (18)

= 12 8

t⁸¹

0 − 2 6

t⁶¹

0 (19)

= 3

2 − 1

3 = 7

6 (20)

(mit einer geeigneten Parametrisierung wird die Integration einfacher.)

Beispiel 2: Fazit

W = Z

C

F~ · d~r (21)

mit F~ =

xy

−y²

(22)

entlang mehrerer Wege zwischen (0|0) und (2|1). ^x

y

1 1

(0|0) 2

(2|1)

x

x 1

3 3 4

Werte von Kurvenintegralen h¨angen ab von

1) den Koordinaten vom Anfangs- und Endpunkt 2) der Durchlaufrichtung (Vorzeichen)

3) dem Verlauf des Integrationswegs zwischen Anfangs- und Endpunkt.

In manchen F¨allen gilt nur Punkt 1 & 2, nicht Punkt 3

⇒ Weg(un)abh¨angigkeit von Kurvenintegralen.