Mathematik f¨ ur Chemiker 2: online-Vorlesung 1.4) nD-Integration: Bereichsintegrale
zur Fl¨ achen-/Volumenberechnung
Bernd Hartke
Theoretische Chemie
Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at
Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel
hartke@pctc.uni-kiel.de
https://ravel.pctc.uni-kiel.de/
k
dS
x
y
z θ
dy
dx Gxy
G
Bereichsintegration zur Berechnung von Fl¨acheninhalten/Volumina Diese Integrale
Z Z
B
f(x, y) dx dy ,
Z Z Z
V
f(x, y, z)dx dy dz (1)
berechnen (Hyper-)Volumeninhalte zwischen einer Funktions(hyper)fl¨ache f(x, y) bzw. f(x, y, z) (die “H¨ohe” des (Hyper-)Volumens) und dem Integrationsbereich B bzw. V (der “Grundfl¨ache”).
Generell gilt:
Volumeninhalt = Grundfl¨ache × H¨ohe
Setzen wir f(x, y) = 1 bzw. f(x, y, z) = 1, gilt zahlenm¨aßig (Einheiten werden ignoriert):
Volumeninhalt = Grundfl¨ache
Fl¨acheninhalt bei Beispiel 1.1 in Polarkoordinaten Integrationsbereich in xy-Ebene:
Kreis mit Radius 2 r ∈ [0,2] , ϕ ∈ [0, π2]
2D-Funktion: z = f(x, y) = 1
⇒ berechne Fl¨acheninhalt von B
00000000000000000000000 00000000000000000000000 00000000000000000000000 00000000000000000000000 00000000000000000000000 00000000000000000000000 00000000000000000000000 00000000000000000000000 00000000000000000000000 00000000000000000000000 00000000000000000000000 00000000000000000000000 00000000000000000000000 00000000000000000000000 00000000000000000000000 00000000000000000000000 00000000000000000000000 00000000000000000000000 00000000000000000000000 00000000000000000000000 00000000000000000000000 00000000000000000000000 00000000000000000000000 00000000000000000000000
11111111111111111111111 11111111111111111111111 11111111111111111111111 11111111111111111111111 11111111111111111111111 11111111111111111111111 11111111111111111111111 11111111111111111111111 11111111111111111111111 11111111111111111111111 11111111111111111111111 11111111111111111111111 11111111111111111111111 11111111111111111111111 11111111111111111111111 11111111111111111111111 11111111111111111111111 11111111111111111111111 11111111111111111111111 11111111111111111111111 11111111111111111111111 11111111111111111111111 11111111111111111111111 11111111111111111111111
1 2 x
1 2 y
B
x + y =42 2
Z Z
B
dx dy = Z Z
B
r dr dϕ =
2
Z
r=0
r dr
π/2
Z
ϕ=0
dϕ = 1 2
r22
0 [ϕ]π/20 = 1 2 4 π
2 = π (2)
(der Vollkreis w¨are 4π).
F¨ur einen Vollkreis vom Radius R ergibt sich die ¨ubliche Kreisfl¨achenformel:
R
Z
r=0
r dr
2π
Z
ϕ=0
dϕ = 1
2 R22π = π R2 (3)
(Berechnung in kartesischen Koordinaten m¨oglich, aber sehr aufwendig.)
Volumenberechnung, Beispiel 4 in Polarkoordinaten
Ahnlich zum vorigen Beispiel: Volumen einer Kugel vom Radius¨ R um den Ursprung:
Z Z Z
V
1dV =
Z Z Z
V
r2sin(ϑ)dr dϑ dϕ (4)
=
R
Z
r=0
r2dr
π
Z
ϑ=0
sin(ϑ)dϑ
2π
Z
ϕ=0
dϕ (5)
= 1 3
r3R
0 [−cos(ϑ)]π0 [ϕ]2π0 (6)
= 1
3 R3(− cos(π) + cos(0)) 2π (7)
= 1
3 R3(−(−1) + 1) 2π = 4
3 π R3 (8)
Dies ist die ¨ubliche Geometrieformel f¨ur das Kugelvolumen.
(L¨osung in kartesischen Koordinaten m¨oglich, aber aufwendig & schwierig.)
Bereichsintegral Beispiel 5 in Polarkoordinaten
Keine Fl¨achen-/Volumenberechnung, sondern wieder eine echte Bereichsintegration:
zu integrierende Funktion: f = x + y Integrationsbereich B:
Kreis mit Radius 1 um den Punkt (0|1)
-1 1
2
x y
Einsatz normaler Polarkoordinaten m¨oglich durch Variablentransformation:
˜
y = y − 1 bzw. y = ˜y + 1 (9)
f(x, y) = x + y ⇒ f(x,y) =˜ x + ˜y + 1 (10)
x = r cos(ϕ) , y˜ = r sin(ϕ) (11)
Bereichsintegral Beispiel 5 in Polarkoordinaten
Z Z
B
f(r, ϕ)r dr dϕ =
1
Z
r=0 2π
Z
ϕ=0
(r cos(ϕ) + r sin(ϕ) + 1) r dϕ dr (12)
=
1
Z
r=0 2π
Z
ϕ=0
r2(cos(ϕ) + sin(ϕ))dϕ dr +
1
Z
r=0 2π
Z
ϕ=0
r dϕ dr (13)
=
1
Z
0
r2dr
2π
Z
0
(cos(ϕ) + sin(ϕ))dϕ +
1
Z
0
r dr
2π
Z
0
dϕ (14)
= 1 3
r31
0 [sin(ϕ) − cos(ϕ)]2π0 + 1 2
r21
0 [ϕ]2π0 (15)
= 1
3 · 1 · (0 − 1 − 0 + 1) + 1
2 · 1 · 2π = π (16)
(L¨osung in kartesischen Koordinaten m¨oglich, aber aufwendig & schwierig.)
