Mathematik f¨ur Chemiker 2: online-Vorlesung 1.8) nD-Integration: Kurvenintegrale in Polarkoordinaten und Wegunabh¨angigkeit

Mathematik f¨ ur Chemiker 2: online-Vorlesung

1.8) nD-Integration: Kurvenintegrale in Polarkoordinaten und Wegunabh¨ angigkeit

Bernd Hartke

Theoretische Chemie

Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at

Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel

hartke@pctc.uni-kiel.de

https://ravel.pctc.uni-kiel.de/

k

dS

x

y

z θ

dy

dx G_xy

G

F~(x, y) = 1 x² + y²

−y x

(1) Z

C

F~ · d~r = Z

C

x dy − y dx

x² + y² (2) Vom Punkt (−1,0) zum Punkt (1, 0) entlang zweier verschiedener Wege:

(−1,0)

(0,1)

1 2

(1,0)

Beispiel 2 Wegunabh¨angigkeit: Weg 1

Weg 1 ist ein Halbkreis vom Radius 1 ⇒ ebene Polarkoordinaten r, ϕ mit r = 1:

x = cosϕ , dx = −sinϕ dϕ (3)

y = sinϕ , dy = cosϕ dϕ (4)

Grenzen: (−1|0) =b ϕ = π , (1|0) =b ϕ = 0 (5) Mit sin²(ϕ) + cos²(ϕ) = 1 wird damit aus dem Integranden:

x dy − y dx

x² + y² = cos²ϕ dϕ + sin²ϕ dϕ = dϕ (6) Wir erhalten f¨ur das Kurvenintegral:

Z

C₁

x dy − y dx x² + y² =

0

Z

π

dϕ = [ϕ]⁰_π = −π (7)

2

Weg 2 besteht aus zwei Geradenst¨ucken. Das erste verl¨auft von (−1|0) nach (0|1) entlang der Geraden y = x + 1, also gilt dy = dx und wir erhalten bei Integration in x:

Z

C_2,1

x dy − y dx x² + y² =

0

Z

−1

x dx − (x + 1)dx

x² + (x + 1)² (8)

=

0

Z

−1

−dx

2x² + 2x + 1 =

0

Z

−1

−2dx

(2x + 1)² + 1 (9)

= −[arctan(2x + 1)]⁰₋₁ = −(π

4 − (−π

4)) = −π

2 (10)

Beispiel 2 Wegunabh¨angigkeit: Weg 2.2

Das zweite Geradenst¨uck verl¨auft von (0|1) nach (1|0) entlang der Geraden y = 1 − x, also gilt dy = −dx und wir erhalten bei Integration in x:

Z

C_2,2

x dy − y dx

x² + y² = −

1

Z

0

x dx + (1 − x)dx

x² + (1 − x)² (11)

= −

1

Z

0

dx

2x² − 2x + 1 = −

1

Z

0

2dx

(2x − 1)² + 1 (12)

= −[arctan(2x − 1)]¹₀ = −(π

4 − (−π

4)) = −π

2 (13)

Das Gesamtresultat f¨ur Weg 2 ist dasselbe wie f¨ur Weg 1:

Z

C₂

x dy − y dx

x² + y² = −π

2 + (−π

2) = −π (14)

4

Das Vektorfeld

F~ = 1 x² + y²

−y x

(15) ist konservativ:

∂F_y

∂x = ∂

∂x

x x² + y²

= y² − x²

(x² + y²)² = ∂

∂y

−y x² + y²

= ∂F_x

∂y (16)

F¨ur konservative Vektorfelder gilt bei Integration von ~r_a nach ~r_b: Z

C

F~ · d~r = U(~r_b) − U(~r_a) (17) und bei einem Kurvenintegral ¨uber eine geschlossene Kurve (von ~r_a nach ~r_a):

I

C

F~ · d~r = U(~r_a) − U(~r_a) = 0 (18)

Hier gilt f¨ur Integration von (−1|0) ¨uber den Vollkreis zur¨uck zu (−1|0) jedoch:

I

C₂

x dy − y dx x² + y² =

−π

Z

π

dϕ = −π − π = −2π 6= 0 (19) Kein Widerspruch zu “konservativ”, weil nur in “einfach verbundenen” Gebieten g¨ultig:

000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000 000000000000000000

111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111 111111111111111111

0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000 0000000000000000000000

1111111111111111111111 1111111111111111111111 1111111111111111111111 1111111111111111111111 1111111111111111111111 1111111111111111111111 1111111111111111111111 1111111111111111111111 1111111111111111111111 1111111111111111111111 1111111111111111111111 1111111111111111111111 1111111111111111111111 1111111111111111111111 1111111111111111111111 1111111111111111111111

000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000 000000000000000000000

111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111 111111111111111111111

0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000

1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111

Obere Reihe: einfach verbundene Gebiete; untere Reihe: nicht einfach verbundene Gebiete

6

Wege 1 und 2 liegen in einem gemeinsamen, einfach verbundenen Gebiet:

00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000

11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111

(−1,0)

(0,1)

1 2

(1,0)

In diesem Gebiet ist F~ konservativ, und daher haben diese beiden Kurvenintegrale zwangsl¨aufig denselben Wert.

Das Vektorfeld

F~ = 1

−y

(20)

Beispiel 2 Wegunabh¨angigkeit: einfach verbundene Gebiete

Im Ursprung (0|0) hat F~ eine Polstelle ⇒ Satz von Schwarz gilt dort nicht ⇒ F~ ist konservativ nur in einem einfach zusammenh¨angenden Gebiet, das den Ursprung nicht enth¨alt, aber den kompletten Integrationsweg. Das ist f¨ur die Vollkreisvariante von C₂ nicht m¨oglich:

0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000

1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111 1111111111111111111111111111

(−1,0)

(0,1) 1

(1,0)

00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000

11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111

(−1,0)

(0,1) 1

(1,0)

R¨uckwirkung vom Gebietsinneren auf den Gebietsrand, eher verst¨andlich durch ¨Aquivalenz zwi- schen Kurvenintegralen ¨uber geschlossene Kurven und Bereichsintegralen (s.u.).

8