Vorkurs Mathematik f¨ur Chemiker 0: online-Vorlesung 6) Komplexe Zahlen

Vorkurs Mathematik f¨ ur Chemiker 0: online-Vorlesung 6) Komplexe Zahlen

Bernd Hartke

Theoretische Chemie

Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at

Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel

hartke@pctc.uni-kiel.de

https://ravel.pctc.uni-kiel.de/

Zahlenmengen

Nat¨urliche Zahlen

N = {1, 2,3, . . .}, N0 = {0, 1, 2,3, . . .}

1 − 2 =? ⇒ Ganze Zahlen Z = {. . . , −2, −1,0,1,2, . . .}: 1 − 2 = −1 2 : 7 =? ⇒ Rationale Zahlen

Q = {q |q = ^m_n ∧ m ∈ Z ∧ n ∈ Z/{0}}: 2 : 7 = ²₇ = 0.285714

√2, e, π,ln(2) ∈/ Q ⇒ Reelle Zahlen R Dezimaldarstellung:

reelle Zahlen

rationale Zahlen: abbrechend oder periodisch

irrationale Zahlen: weder abbrechend noch periodisch Jede reelle Zahl kann beliebig eng durch rationale Zahlen eingegrenzt werden:

p, q ∈ Q, x ∈ R : p < x < q f¨ur (q − p) → 0 (1)

⇒ umkehrbar eindeutige Zuordnung “Punkte der Zahlengeraden”↔ reellen Zahlen Aber was ist mit √

−1 ?? Kein Platz mehr auf der Zahlengeraden.

Komplexe Zahlen

z² = 1 ⇒ z_1,2 = ±√

1 = ±1 ⇒ (+1)² = 1 = (−1)² (2)

z² = −1 ⇒ z_1,2 = ±√

−1 = ±i ⇒ (+i)² = −1 = (−i)² ; (+i)(−i) = 1 (3) i ist die Einheit auf der imagin¨aren Achse,

die mit der reellen Achse die Gaußsche Zahlenebene aufspannt:

Im

z

y

x Re r

ϕ 1

i

Komplexe Zahlen

Im

z

y

x Re r

ϕ 1 i

Zwei Darstellungsweisen komplexer Zahlen z ∈ C:

• mit Realteil x und Imagin¨arteil y (“kartesische Koordinaten”):

z = x + iy , x, y ∈ R (4)

x = <(z) = Re(z) , y = =(z) = Im(z) (5)

• mit Betrag r und Argument ϕ (“Polarkoordinaten”):

z = r exp(iϕ) = r e^iϕ , r, ϕ ∈ R (6)

r = |z| , ϕ = arg(z) (7)

Komplexe Zahlen

Umrechnung der Darstellungen:

x = r cosϕ , y = r sinϕ (8)

r = p

x² + y² , ϕ = arctany x

(9) Nach Gl. 8 gilt

z = x + iy = r(cosϕ + i sinϕ) = r e^iϕ (10) wobei der letzte Schritt aus der Eulerschen Formel folgt:

e^iϕ = exp(iϕ) = cos ϕ + isinϕ (11)

(siehe Taylorreihen in Mathe f¨ur Chemiker 1).

Wie immer gilt f¨ur das Argument (der Polarwinkel) ϕ eine 2π-Periodizit¨at!

Wichtige Spezialf¨alle (mit k ∈ Z):

e^i(0+2kπ) = +1 (12)

e^i(π2+2kπ) = +i (13)

e^i(π+2kπ) = −1 (14)

e^{i(3π2 +2kπ)} = −i (15)

Konjugiert komplexe Zahlen

z = x + iy = r e^iϕ (16) z^∗ = x − iy = r e^−iϕ (17) z + z^∗ = 2 Re(z) (18) z − z^∗ = 2i Im(z) (19) z z^∗ = |z|² = r² (20)

(z^∗)^∗ = z (21)

Im

x r

ϕ

y

−y

− Re

z=x+iy

z =x−iy* r

ϕ

(drei Darstellungsm¨oglichkeiten: (x, y), (r, ϕ), (z, z^∗))

Rechnen mit komplexen Zahlen

z₁ = x₁ + iy₁ = r₁(cosϕ₁ + isinϕ₁) = r₁e^iϕ1 (22) z₂ = x₂ + iy₂ = r₂(cosϕ₂ + isinϕ₂) = r₂e^iϕ2 (23)

Addition/Subtraktion:

z₁ ± z₂ = (x₁ + iy₁) + (x₂ + iy₂) (24)

= (x₁ ± x₂) + i(y₁ ± y₂) (25) wie bei Vektoren.

z1 z + 2

z1

z2

Im

Re

Rechnen mit komplexen Zahlen

Multiplikation: keine Analogie zu irgendwelchen Vektorprodukten!

z₁z₂ = (x₁ + iy₁)(x₂ + iy₂) (26)

= (x₁x₂ − y₁y₂) + i(x₁y₂ + y₁x₂) (27)

= (r₁e^iϕ1) · (r₂e^iϕ2) = r₁r₂e^i(ϕ1+ϕ2) (28)

Multiplikation mit einer komplexen Zahl z = e^iϕ vom Betrag r = 1 entspricht Rotation um den Winkel ϕ in der Gaußschen Zahlenebene.

Spezialf¨alle: Multiplikationen mit 1, i, −1, −i entsprechen Drehungen um 0^◦, 90^◦, 180^◦, 270^◦:

iz =−y+ix

−iz =y−ix Im

x r

y

Re z=x+iy

ϕ r

r

r x

−y

−z=−x−iy

Rechnen mit komplexen Zahlen

Division: Erzeugung eines reellen Nenners bzw. ¨ubliche Potenzrechenregeln:

z₁

z₂ = x₁ + iy₁

x₂ + iy₂ = (x₁ + iy₁)(x₂ − iy₂)

(x₂ + iy₂)(x₂ − iy₂) (29)

= (x₁x₂ + y₁y₂) + i(x₂y₁ − x₁y₂)

x² + y² (30)

= r₁e^iϕ1

r₂e^iϕ2 = r₁

r₂ e^iϕ1e^−iϕ2 = r₁

r₂ e^i(ϕ1−ϕ2) (31) Wichtiger Spezialfall:

1

i = −i

i(−i) = −i

1 = −i (32)

Rechnen mit komplexen Zahlen

Potenzieren: mit ¨ublichen Potenzrechenregeln:

zⁿ = (r · e^iϕ)ⁿ = rⁿ · e^inϕ (33) Dabei ggf. zu beachten: 2π-Periodizit¨at des Polarwinkels ϕ, z.B.: i¹ = i⁵ = i⁹ = · · ·

Radizieren: 2π-Periodizit¨at elementar wichtig! Die Gleichung z₂ⁿ = z₁ ⇔ z₂ = ⁿ√

z₁ (34)

muß als Polynom n-ten Grades n L¨osungen haben; daf¨ur dieser Ansatz n¨otig:

z₁ = r₁e^iϕ1 = r₁e^i(ϕ1+2kπ) mit k ∈ Z (35)

z₂ = r₂e^iϕ2 (36)

Einsetzen in Gl. 34 liefert:

r₂ⁿe^inϕ2 = r₁e^i(ϕ1+2kπ) (37)

Aus Gleichsetzen der Betr¨age r und Argumente ϕ ergeben sich n L¨osungen:

r₂ = ⁿ√

r₁ (38)

ϕ₂ = _n¹(ϕ₁ + 2kπ) mit k = 0, 1, . . . , n − 1 (39)

Wurzelbeispiel 1

Beispiel √

−1 bzw. z² = −1 bzw. z² + 1 = 0.

Nach Gln. 35-37 gilt

r²e^i2ϕ = 1e^iπ(1+2k) (40) Also ergibt sich

r² = 1 ⇒ r = √

1 = 1 (41)

ϕ = π

2 + kπ f¨ur k = 0, 1 (42) Einsetzen in z = re^iϕ liefert die zwei L¨osungen:

k = 0 : z₀ = 1e^iπ/2 = i (43) k = 1 : z₁ = 1e^3iπ/2 = −i (44) Faktorisierung:

z² + 1 = (z − i)(z + i) (45)

Im

1 Re z =i

z =-i

0

1

-1

0 1 2 3

-2 -1 0 1 2

y

x y=x²+1

Wurzelbeispiel 2 Beispiel √³

8 bzw. z³ = 8. Nach Gln. 35-37 gilt

r³e^i3ϕ = 8e^iπ(0+2k) (46) Also ergibt sich

r³ = 8 ⇒ r = √³

8 = 2 (47)

ϕ = 2k

3 π f¨ur k = 0,1,2 (48) Einsetzen in z = re^iϕ liefert die drei L¨osungen:

k = 0 : z₀ = 2e⁰ = 2 (49)

k = 1 : z₁ = 2e^2iπ/3 (50)

k = 2 : z₂ = 2e^4iπ/3 = −2e^iπ/3 = 2e^−2iπ/3 (51) Faktorisierung:

z³ − 8 = (z − 2)(z − 2e^2iπ/3)(z − 2e^−2iπ/3) (52)

= (z − 2)(z² + 2z + 4) (53)

Im

z =2 Re

0 1

2

z =−2e z =2e

i2 /3 π

i /3 π

Quadratische Gleichungen mit komplexen L¨osungen

z² − z − 2 = 0 (54)

hat die beiden L¨osungen

z_1,2 = 1 2 ±

r1

4 + 2 = 1 2 ±

r9 4 =

1

2 + ³₂ = 2

1

2 − ³₂ = −1 (55)

z² − z − 2 = (z − 2)(z + 1) (56)

z² − z + 2 = 0 (57)

hat die beiden L¨osungen z_1,2 = 1

2 ±

r1

4 − 2 = 1 2 ±

r

−7

4 = 1 2 ±

r

(−1) · 7

4 = 1

2 ± √

−1

r1 4

√

7 = 1

2 ± i 1 2

√

7 (58) z² − z + 2 =

z − ¹₂ − i

√7

2 z − ¹₂ + i

√7 2

(59)

Warum komplexe Zahlen (und Funktionen)?

Fundamental wichtig f¨ur

• die theoretische Chemie:

– imagin¨are Einheit i steht in der zeitabh¨angigen Schr¨odingergleichung:

i~ ∂

∂tΨ = ˆHΨ (60)

– reelle vs. komplexe Eigenwerte von Matrizen (zeitunabh¨angige Schr¨odingergleichung)

• alle Schwingungsvorg¨ange (Elektrotechnik, Optik,. . . ), die Str¨omungsdynamik, usw.

• mathematische Rechentechniken wie z.B. Fouriertransformationen

• Grundlagenmathematik wie z.B. Funktionentheorie