Vorkurs Mathematik f¨ ur Chemiker 0: online-Vorlesung 4) Quadratische Erg¨ anzung und Br¨ uche
Bernd Hartke
Theoretische Chemie
Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at
Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel
hartke@pctc.uni-kiel.de
https://ravel.pctc.uni-kiel.de/
Quadratische Erg¨anzung
Nach den binomischen Formeln gilt:
x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 (1)
Ein leicht modifiziertes Polynom kann nat¨urlich noch faktorisiert werden
x2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) (2)
aber nur mit zwei verschiedenen Faktoren, nicht als Quadrat eines Faktors:
x2 + 4x + 3 6= (x + a)2 f¨ur alle a ∈ R bzw. a ∈ C (3) Mit einem Trick geht aber etwas ¨ahnliches:
x2 + 4x + 3 = x2 + 4x + 4 − 1 = (x + 2)2 − 1 (4) Das heißt “quadratische Erg¨anzung”.
Bruchrechnen: keine gemischten Br¨uche!
112 =? 32 = 1.5 6= 0.5 = 12 = 1 · 12 = 112 (6) Abhilfe: gemischte Br¨uche konsequent vermeiden; das schreiben, was wirklich gemeint ist:
1 + 12 (7)
Bruchrechnen: K¨urzen und Erweitern Mit Zahlen:
4
3 = 2 · 4
2 · 3 = 8
6 , 9
21 = 3 · 3
3 · 7 = 3
7 (8)
aber auch mit Konstanten oder Variablen:
5
7 = 5π
7π (9)
2π sin(√
a) − 7πe−xsin(√ a) 7 sin(√
a) = π sin(√
a)(2 − 7e−x) 7 sin(√
a) = π
7(2 − 7e−x) (10) Nie “aus der Summe k¨urzen”, aber “erzwungenes Ausklammern” ist erlaubt:
2π sin(√
a) − 7πe−x sin(√ a) 7 sin(√
a) = 7π sin(√
a) 27 − e−x 7 sin(√
a) = π
2
7 − e−x
(11)
Grundrechenarten mit Br¨uchen
a
b ± c
b = a ± c
b (12)
a b · c
d = ac
bd (13)
a b : c
d = a b · d
c = ad
bc (14)
Addition (und Subtraktion) von Br¨uchen unterschiedlicher Nenner ben¨otigt vorher eine passende Erweiterung, sodaß gleiche Nenner entstehen:
a
b ± c
d = ad
bd ± bc
bd (15)
= ad ± bc
bd (16)
Bruchrechnen: Beispiele 1 3
4 + 1
7 = 21
28 + 4
28 = 25
28 (17)
2
π − x
a = 2a
πa − xπ
aπ = 2a − xπ
aπ (18)
2v + 3w
3γ − w − v 6√
γ = 4v + 6w − √
γ w + √ γ v
6γ = (4 + √
γ)v + (6 − √ γ)w
6γ (19)
7
a − b + 2
a + b = 7(a + b) + 2(a − b)
(a − b)(a + b) = 7a + 7b + 2a − 2b
a2 − b2 = 9a + 5b
a2 − b2 (20)
Bruchrechnen: Beispiele 2
√1
2 + 1
√8 = 1
√2 + 1
√
23 = 1
√2 + 1 (√
2)3 = (√
2)2 + 1 (√
2)3 = 3
√
23 = 3
√8 (21)
=
√8 + √
√ 2 2√
8 =
√2 + 2√ 2
4 =
√2(1 + 2) 2√
2√
2 = 3
√8 (22)
=
√2 2 +
√8
8 = 4√
2 + √ 8
8 = 6√
2
8 = 3√ 8
8 = 3
√8 (23)
