Quantentheorie f¨ur Nanoingenieure — Klausur L¨osung

07. April 2011 PD Dr. H. Kohler

Quantentheorie f¨ ur Nanoingenieure — Klausur L¨ osung

K1. Ja–Nein Fragen (8P)

Jede richtige Antwort liefert einen Punkt, jede falsche Antwort liefert einen Minuspunkt.

Eine nicht beantwortete Frage liefert null Punkte. Insgesamt k¨ onnen in der Aufgabe nicht weniger als null Punkte erzielt werden.

richtig falsch Physikalisch beobachtbare Gr¨ oßen werden in der Quanten-

mechanik durch Hermitesche Operatoren beschrieben.

x Fermionen haben immer halbzahligen Spin und Bosonen im- mer ganzzahligen Spin

x Die klassische Mechanik resultiert aus der Quantenmechanik im Limes großer Quantenzahlen.

x Das Photon ist ein relativistisches Teilchen. Daher kann ihm nicht eindeutig eine Statistik zugewiesen werden. Ein Photon ist weder Fermion noch Boson.

x

Die Wellenfunktion im Impulsraum ist die Fouriertrans- formierte der Wellenfunktion im Ortsraum.

x

In einem Isolator ist ein Energieband halb gef¨ ullt. x Ein Spin– ¹ ₂ Teilchen wird in einem magnetischen Feld abge-

lenkt.

* *

Die Anzahl der gebundenen Zust¨ ande im Wasserstoffatom ist endlich.

x

∗ Bei Frage 7 wurde die Antwort ”richtig” erwartet. Allerdings ist die Frage schlecht

gestellt: Tats¨ achlich wird ein Spin– ¹ ₂ nur im r¨ aumlich inhomogenen Magnetfeld abge-

lenkt. Da in der Frage nicht spezifiziert war ob das Magnetfeld homogen oder inhomogen

sein soll, wurden beide Antworten als korrekt gewertet.

K2. Tunneln durch asymmetrische Potentialschwelle (4P)

Ein Teilchen bewege sich in einer Dimension in dem Potential (siehe Skizze)

V (x) =



 



 



V ₀ = 0 , x ≤ 0 , V 1 > 0 , 0 < x ≤ a , V ₂ < V ₁ , a < x ≤ b ,

V ₃ = 0 , x > b

V 1

V 2

x–Achse y–Achse

a b

i) Skizzieren Sie den Realteil der Eigenfunktion zur Energie E f¨ ur

a) 0 < E < V 2 , b) V 2 < E < V 1 , c) E > V 1 . L¨ osung:

Gezeigt sind ”echte” L¨ osungen f¨ ur Fall a)

-5 5 10 15

-2 2 4 6 8 10

Hier ist wichtig, dass im Bereich des Potenzials keine Oszillationen gezeichnet sind.

Die Amplitude ist rechts und links des Potenzials im allgemeinen unterschiedlich, kann aber in Spezialf¨ allen auch gleich sein. Der hier gezeigte Fall entspricht einer von rechts einlaufenden Welle. In diesem Fall ist die Amplitude rechts gr¨ oßer als links.

F¨ ur den Fall b)

-5 5 10 15 2

4 6 8 10

oszilliert die Welle in einem Teil des Potenzials. Die Oszillationen sind langsamer (gr¨ oßere Wellenl¨ ange in dem Bereich nichtverwindenden Potezials. Auch hier ist eine von rechts einlaufende Welle gezeigt. Die Amplitude im mittleren Bereich ist sogar gr¨ oßer als rechts. Die genaue Amplitudenverteilung h¨ angt von den Randbedingungen ab und wurde nicht gefragt.

F¨ ur den Fall c)

10 20 30 40 50

2 4 6 8 10

oszilliert die Welle ¨ uberall. Die Wellenl´ ange ist am gr¨ oßten im Bereich zwischen 0 und a am zweitgr¨ oßten im Bereich zwischen a und b. Rechts und links vom Potenzial ist die Wellenl¨ ange am kleinsten und gleich.

Allgemein gilt: Die Wellenfunktion ist ¨ uberall stetig und ¨ uberall ungleich null. Die Lage der Wellenfunktion im Schaubild wird so gew¨ ahlt, dass die Welle um eine Gerade auf H¨ ohe der Energie des Teilchens oszilliert. Dies wird aus Gr¨ unden der Anschaulichkeit so gemacht, korrekter ist es eigentlich die Welle um y = 0 oszilieren zu lassen. Beide M¨ oglichkeiten sind richtig.

ii) Wie ist die Struktur des Spektrums in den drei Energiebereichen ? diskret kontinuierlich beides 0 < E < V 2 x

V ₂ < E < V ₁ x

E > V ₁ x

Es gelten die Regeln von Aufgabe K1.

K3. Erwartungswerte des harmonischen Oszillators (4P) Gegeben sei der Hamiltonoperator eines harmonischen Oszillators H ˆ = p ˆ ²

2m + mω ² 2 x ˆ ² .

Der Oszillator befinde sich im Zustand

|ψi = 1

√

2 (|ψ ₀ i + |ψ ₁ i) ,

wobei |ψ _n i Eigenzustand des Hamiltonoperators zum Eigenwert ~ ω(n+1/2) ist. Berech- nen Sie den Erwartungswert von Energie und Ort

hψ| H|ψi ˆ , hψ|ˆ x|ψi .

Zur Erinnerung: Hamiltonoperator ˆ H und Ortsoperator ˆ x lassen sich durch den Erzeu- gungsoperator ˆ a ^† bzw. den Vernichteroperator ˆ a wie folgt ausdr¨ ucken:

H ˆ = ~ ω

ˆ a ^† ˆ a + 1

2

, x ˆ = r

~ 2mω

ˆ a + ˆ a ^†

.

Die Erzeugungs– und Vernichtungsoperatoren wirken wie folgt auf Eigenzust¨ ande von H ˆ

a|ψ ˆ _n i = √

n|ψ _n−1 i , a ˆ ^† |ψ _n i = √

n + 1|ψ _n+1 i L¨ osung:

Die Eigenwerte von ˆ H sind: E n = ~ω n + ¹ ₂ hψ| H|ψi ˆ = 1

2 (hψ ₀ | + hψ ₁ |) ˆ H (|ψ ₀ i + |ψ ₁ i)

= 1

2 (hψ ₀ | + hψ ₁ |) (E ₀ |ψ ₀ i + E ₁ |ψ ₁ i)

= 1

2 (hψ ₀ |E ₀ |ψ ₀ i + hψ ₁ |E ₁ |ψ ₁ i)

= 1

2 (E 0 + E 1 ) = 1 2

1 2 + 3

2

~ ω = ~ ω (1)

F¨ ur den Ortserwartungswert findet man:

hψ|ˆ x|ψi = r

~ 2mω

1

2 (hψ ₀ | + hψ ₁ |) ˆ a + ˆ a ^† (|ψ ₀ i + |ψ ₁ i)

Die Erzeuger und Vernichter koppeln nur Eigenzust¨ ande zu Eigenwerten, die sich um eins unterscheiden, daher

hψ|ˆ x|ψi = r

~ 2mω

1 2

hψ ₀ |ˆ a|ψ ₁ i + hψ ₁ |ˆ a ^† |ψ ₀ i

= r

~ 2mω

1

2 (1 + 1) = r

~

2mω (2)

K4. Erwartungswerte eines Spins im Magnetfeld (4P)

Der Hamiltonoperator eines Elektronenspins in einem Magnetfeld B ~ in z–Richtung ist gegeben durch

H ˆ = ω _L S ˆ _z .

Hierbei ist ω _L = 2µ _B B _z / ~ die sogenannte Lamorfrequenz. In der Eigenbasis ( | ↑i, | ↓i) von ˆ S _z sind die Spinoperatoren durch die 2 × 2 Matrizen

S ˆ x = ~ 2

0 1 1 0

, S ˆ y = ~ 2

0 −i i 0

, S ˆ z = ~ 2

1 0 0 −1

Berechnen Sie die Kommutatoren [ ˆ S _x , S ˆ _z ] , [ ˆ S _x , S ˆ _z ² ] .

Der Spin befinde sich am zum Zeitpunkt t = 0 im Zustand

|ψi = 1

√

2 (| ↑i + | ↓i) .

Berechnen Sie den Erwartungswert hψ| S ˆ x |ψi .

Berechnen Sie die Wellenfunktion |ψ(t)i zum Zeitpunkt t = π/ω L .

L¨ osung:

Kommutatoren:

[ ˆ S _x , S ˆ _z ] = −i ~ S _y , [ ˆ S _x , S ˆ _z ² ] = 0 .

Der Operator ˆ S _z ² ist ein Vielfaches der Einheitsmatrix und kommutiert daher mit allen anderen Operatoren.

Erwartungswert:

|ψi = 1

√

2 (| ↑i + | ↓i) = 1

√ 2

1 1

.

Daher:

hψ| S ˆ x |ψi = ~ 4 1 1

0 1 1 0

1 1

= ~ 4 1 1

1 1

= ~

2 . (3)

Die Zeitentwicklung der Wellenfunktion ist gegeben durch:

|ψ(t)i = e ^{−i Ht/~ ˆ} |ψ(0)i = X

n

e ^−iE

^t/~ hψ _n |ψ(0)i |ψ _n i .

In unserem Fall E 0 = − ^{~ ω} ₂

und E 1 = + ^{~ ω} ₂

und |ψ ₀ i = | ↓i, |ψ ₁ i = | ↑i. Daher

|ψ(t)i = 1

√ 2 e ^iω

^t/2 | ↓i + 1

√ 2 e ^−iω

^t/2 | ↓i

|ψ(π/ω _L )i = 1

√

2 e ^iπ/2 | ↓i + 1

√

2 e ^−iπ/2 | ↓i = i

√

2 (| ↓i − | ↓i) . (4)

Der Eigenvektor von ˆ S _x ist zu einem Eigenvektor von ˆ S _y geworden. Er hat sich um 90 ^◦

gedreht.