04. April 2014
PD Dr. H. Kohler
Statistische Mechanik — Pr¨ asenz¨ ubung 4
P11. Korrelation zweier Teilchen
Betrachten Sie zwei Gaussverteilte Zufallsvariable X1 und X2 auf der reellen Achse.
Sie k¨onnen als Teilchenpositionen aufgefasst werden. Es besteht jedoch eine Korrelation zwischen den beiden Teilchen, so dass sie sich bevorzugt im Abstand a voneinander aufhalten. Die Wahrscheinlichkeitsdichte des Gesamtsystems ist somit gegeben durch.
w(x1, x2) = Cexp
−β(x21+x22)−βg(x1−x2−a)2
1. Berechnen Sie die Normierung C
2. Berechnen Sie die ersten und zweiten Momente von X1 und X2 3. Berechnen Sie die komplette Korrelationsmatrix.
4. Berechnen Sie die Entropie von w(x1, x2)
P12. Rechenregeln f¨ur Zufallsvariablen
1. Seien X1 und X2 unabh¨angige Zufallsvariablen mit entsprechenden Wahrscheinlich- keitsdichtenw1(x) undw2(x). Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsdichte f¨ur die Zufalls- variable Y =X1+X2.
2. Zeigen Sie, dass die Momente hXni einer Verteilungsfunktion sich bequem aus der charakteristischen Funktion
χ(k) = D eikXE
=
∞
Z
−∞
dxeikxw(x)
herleiten lassen. Wie?
3. Auch der Logarithmus der charakteristischen Funktion ist n¨utzlich. Leiten Sielnχ(k) zweimal ab, setzen Sie k = 0 und dr¨ucken Sie das Ergebnis durch die Momente aus.
Was f¨allt Ihnen auf?
P13. Zentraler Grenzwertsatz
Beweisen Sie den zentralen Grenzwertsatz. Benutzen Sie den Trick aus P12 Teil 1 um einen Ausdruck f¨ur die Wahrscheinlichkeitsdichte w(Y =PN
i Xi) zu erhalten. Nutzen Sie ausserdem
δ(x) = 1 2π
∞
Z
−∞
eikx
und die charakteristische Funktion.
