4. Pr¨asenz ¨ubung Geschichte der Mathematik (A. Vohns) Wintersemester 2020/21 1. Bei der Bearbeitung der
” 9 B¨ucher arithmetischer Kunst“ fand Liu Hui folgenden Zerlegungsbeweis f¨ur den Satz gou-gu, der im Westen nach Pythagoras benannt wurde.
Vervollst¨andigen Sie den Beweis, d. h. bestimmen bei ¨ublicher (a, b, c) Bezeichnung die Seitenl¨angen- und Fl¨achen der enthaltenen Teilfiguren und ¨uberlegen Sie, wieso auch die Winkel jeweils
” passen“ (entstehende Figuren außen Quadrate sind).
2. In Al-Khwarizmis
” Kit¯ab al-˘gabr wa-’l-muq¯abala“ findet sich folgender Text:
Wurzeln und Quadrate sind gleich Zahlen: zum Beispiel,
” ein Quadrat, und zehn Wurzeln desselben, ergeben neununddreißig Dirhems;“ das heißt, wie groß muss das Quadrat sein, welches, wenn es um zehn seiner eigenen Wurzeln erg¨anzt wird, neununddreißig ergibt? Die L¨osung ist dies: du halbierst die Anzahl der Wurzeln, was in dem vorliegenden Beispiel f¨unf liefert. Dies multiplizierst du mit sich selbst; das Produkt ist f¨unfundzwanzig. Addiere dies zu neununddreißig; die Summe ist vierundsechzig.
Nun nimm die Wurzel von diesem, welche acht ist, und subtrahiere davon die H¨alfte der Anzahl der Wurzeln, was f¨unf ist; der Rest ist drei. Dies ist die Wurzel des Quadrats, nach welcher du gesucht hast;
das Quadrat selbst ist neun.
In heutiger Denkweise beschreibt Al-Khwarizmi die L¨osung von quadratischen Gleichungen einer bestimmten Form.
a) Im Text ist von Quadraten die Rede, wenn wir das Quadrat mit x
2bezeichnen, wie lautet die Gleichung zur Aufgabe, die sich Chwarizmi stellt?
b) Gliedern Sie den L¨osungsweg von Chwarizmi in Teilschritte und notieren Sie zu jedem Teilschritt die zu- geh¨orige Rechnung.
c) Im Text dienen
” zehn“ und
” neunundreißig“ als Wortvariablen f¨ur Koeffizienten der quadratischen Gleichung.
Ersetzen Sie diese durch die ¨ublicherweise bei quadratischen Gleichungen verwendeten a,b, c (nicht alle m¨ussen vorkommen) bzw. p, q. Notieren die Schritte des L¨osungsverfahrens erneut mit diesen Symbolen.
d) Inwiefern illustriert die folgende Skizze die L¨osung derselben quadratischen Gleichung geometrisch?
Viel Erfolg!
Quelle: Herrmann, D. (2016).Mathematik im Mittelalter: Die Geschichte der Mathematik des Abendlands mit ihren Quellen in China, Indien und im Islam. Springer Spek- trum, S. 46, 153/4
