• Keine Ergebnisse gefunden

Das gefaltete Quadrat

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Aktie "Das gefaltete Quadrat"

Copied!
9
0
0

Wird geladen.... (Jetzt Volltext ansehen)

Volltext

(1)

Eine Aufgabe aus der Japanischen Tempelgeometrie 21. September 2004

Gegeben sei das Quadrat ABCD mit der Seitenlänge a. Entlang der Linie EF wird das Quadrat gefaltet, so das der PunktA=A auf Seite BC liegt. Ein Kreisktangiert die Seiten BC und CDdes Quadrats sowie die Linie AD. Zeige an dieser Figur das stets d=r gilt!

aA BCD c b

G r

b c Ed

F

A ' D '

r

Abbildung 1: Skizze zur Aufgabenstellung

(2)

Lösungsweg I von Jutta Gut, Wien

aA BC

D c b r

r

b c E

F

A ' D '

a - b

r

d x

G M T

a a

Abbildung 2: Skizze zum Lösungsweg I

Es sei x=BA,M der Mittelpunkt des Kreises, T der Berührpunkt von Kreis und Seite BC und α der Winkel∢BEA=∢CAG.

Berechnung von r Es ist:

∢BAA =∢CAM = α

2 (1)

Daher ist:

AB

BA = AT

T M → a

x = (a−x−r)

r → r = x·(a−x)

a+x (2)

Berechnung von d

Aus dem rechtwinkligen Dreieck EBA erhält man b2 = (a−b)2+x2 → b= a2+x2

2a , a−b= a2−x2

2a (3)

(3)

Die Dreiecke ACGund EBA sind ähnlich:

GC

a−x = x

a−b → GC = 2a x(a−x)

a2−x2 (4)

Auch die Dreiecke F DGundEBA sind ähnlich:

F G c = b

a−b = a2+x2

a2−x2 → F G= c·(a2+x2)

a2−x2 (5)

Die Seite CDsetzt sich zusammen aus:

CD=c+F G+GC =a (6)

also

c+c·(a2+x2)

a2−x2 +2a x·(a−x)

a2−x2 =a → c= (a−x)2

2a (7)

Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke F DGund EBA ergibt sich weiter:

d c = x

a−b → d= x c

a−b = x·(a−x)2

2a · 2a

a2−x2 (8)

d= x·(a−x)

a+x (9)

d.h. d=r, qed.

(4)

Lösungsweg II

von Ingmar Rubin, Berlin

aA BC

D c b

bc E

F

A ' D '

a - b

d e

G

f g h

Abbildung 3: Skizze zum Lösungsweg Teil a

Die Strecken und Punktebezeichner seien entsprechend Abbildung 3 gewählt. Wir beginnen damit die Streckenabschnitte c, e, f, g und h auf der Peripherie des Quadrats zu berechnen.

Strecke b wird dabei als freier Parameter betrachtet. Die Seite e= BA folgt aus dem Satz des Pythagoras:

△EBA : e2 =b2−(a−b)2 → e=p

2a b−a2 (1)

Der Streckenabschnitt h=AC ist die Differenz aus a−e:

h=a−e=a−p

2a b−a2 (2)

Die Dreiecke EBA und ACG sind einander ähnlich. Aus dem Seitenverhältnis folgt die Strecke g=CGzu:

e a−b = g

h → g= (a−√

2a b−a2)√

2a b−a2

a−b (3)

Weiterhin ist Dreieck F GD ähnlich zum DreieckEBA : c

f = a−b

b → f = c b

a−b (4)

(5)

Die Summe der Abschnitte g+f+c entspricht der Seitenlängea=CDvom Quadrat : CD=a=g+f+c= (a−√

2a b−a2)√

2a b−a2

a−b + c b

a−b +c (5)

Diese Gleichung wird nach c aufgelöst:

c=b−p

a(2 b−a) → c=b−e (6)

Aus der Ähnlichkeit zwischen den Dreiecken△F DG∼ △EBA berechnen wir die Strecke d:

c

d = a−b

e → d= c e

a−b = (b−e)e

a−b = a2−2a b+bp

a(2b−a)

a−b (7)

Lenken wir nun unsere Aufmerksamkeit auf den Berührungskreis k mit Radius dem r. Die

aA BC

D c b r

r

b c E x

F

A ' D '

a - b

rx y y

d e

G

f

Abbildung 4: Skizze zum Lösungsweg Teil b

Tangentenabschnitte x, y von den PunktenG, B an den Kreisk sind gleich lang.

AC: h=a−p

2a b−a2 =y+r (8)

CG: g= (a−√

2a b−a2)√

2a b−a2

a−b =x+r (9)

(6)

Die gespiegelte Quadratseite AD besteht aus den Teilstrecken:

AD : a=x+y+d=x+y+a2−2a b+bp

a(2b−a)

a−b (10)

Die Gleichungen (8),(9) bis (10) werden mit einem Computeralgebrasystem (z.B. Mathemati- ca) nach r, x, y aufgelöst.

r→ a2−2a b+p

−a(a−2b)b

a−b ,

x→p

−a(a−2b), y→ a −p

−a(a−2b) +b a−b

Der Vergleich mit den vorangegangenen Gleichungen, insbesondere (7) zeigt:

r =d, x=e, y= a c

a−b (11)

(7)

Lösungsweg III

von Swen Lünig, Petershagen bei Berlin

Die Abb. 5 zeigt die geometrische Figur zur Lösung der Aufgabe. Das Quadrat habe die Seitenlänge 1.

α

β γ δ

A B

C E D

a b

c d

e f

g

g r

Abbildung 5: Skizze zur Lösung

Die Länge g wird aus dem offenen Intervall (12,1) vorgegeben. Dies ist gleichzeitig die Länge der Hypotenuse des Dreiecks ABC. Mit mit f = 1−g ergibt sich somit die Länge

e = p

g2−(1−g)2 (1)

= p

2g−1 (2)

Die Längeaergibt sich wieder aus der Seitenlänge des Quadrats

a = (1−e) (3)

= 1−p

2g−1 (4)

Der Winkel BAC und der Winkel DCE sind gleich, weil ihre Schenkel jeweils senkrecht aufeinander stehen. Außerdem kann diese Eigenschaft mit den zwei Beziehungen α +β = 180−90 und β+γ = 180−90 gezeigt werden. Aus der Gleichheit der Winkel ergibt sich entsprechend der Strahlensätze die Beziehung

e f = b

a (5)

und somit die neue Größe b.

(8)

Schließlich ergibt sich die Länge der Hypotenuse czu c = p

a2+b2 (6)

= s

a2+

ae f

2

(7)

= a s

1 + e

f 2

(8)

= a s

1 + 2g−1

(1−g)2 (9)

= a s

g2

(1−g)2 (10)

= a g

(1−g) (11)

Der Radius r des Inkreis eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Kathetenlängen a, b und der Hypotenusenlänge c ergibt sich zu

r = a+b−c

2 (12)

Dies wird anhand der Abb. 6 und den darin geltenden Gleichungen deutlich:

x2 = (a−r)2+r2 (13)

x2 = c2x+r2 (14)

y2 = (b−r)2+r2 (15)

y2 = b2x+r2 (16)

c = cx+cy (17)

r

r r

a

b c

x

y

cx

cy

Abbildung 6: Skizze zum Inkreis

Laut Behauptung der Aufgabe soll der Radius gleich der Länge d sein. Diese wiederum

(9)

ergibt sich zu d= 1−c. Es muß also folgende Gleichung untersucht werden:

d = r (18)

1−c = a+b−c

2 (19)

1 = a+b+c

2 (20)

2 = a+b+c (21)

2 = a

1 + e f

+c (22)

2 = a

1 +

√2g−1 1−g

+c (23)

2 = a

1−g+√ 2g−1 1−g

+c (24)

2 = a

1−g+√ 2g−1 1−g + g

1−g

(25) 2 = a1 +√

2g−1

1−g (26)

2 = 1−p

2g−11 +√ 2g−1

1−g (27)

2 = 1−(2g−1)

1−g (28)

2 = 21−g

1−g (29)

2 = 2 (30)

In umgekehrter Richtung könnte nun aus 2 = 2die Behauptung der Aufgabe d=r abgeleitet werden. Die Behauptung stimmt also.

Abbildung

Abbildung 1: Skizze zur Aufgabenstellung
Abbildung 2: Skizze zum Lösungsweg I
Abbildung 3: Skizze zum Lösungsweg Teil a
Abbildung 4: Skizze zum Lösungsweg Teil b
+3

Referenzen

ÄHNLICHE DOKUMENTE

Wieviel Meter Leiste braucht man, wenn eine Seite 3 m 40 cm

Dem Quadrat werden zwei Kreise k 1 , k 2 mit den Radien u, v so einbeschrieben, dass sie je zwei Seiten des Quadrates ber¨ uhren und die Strecke DP als gemeinsame Tangente

Von B l¨auft eine Transversale zum Punkt E und schneidet die Diagonale AB im

Universit¨ at Konstanz Sebastian Gruler Fachbereich Mathematik und Statistik Mar´ıa L´ opez Quijorna.. Sommersemester 2013

kann die Nullhypothese selbst auf diesem großz¨ugigen Signifikanzniveau nicht abgelehnt werden, d.h. es ist nicht n¨otig, bei der neuen Regalserie einen gr¨oßeren Abstand

 Eine geometrische Figur nimmt man im Alltag oft nicht wahr , jedoch kommt sie öfters vor als man denkt... Berechnung von Fläche und

Bei ML-Sch¨ atzung auf Basis der f¨ ur die Durchf¨ uhrung des Chi-Quadrat-Anpassungstest maßgeblichen Klassierung der Stichprobe gilt unter H 0 n¨ aherungsweise χ 2 ∼ χ 2 (k −

Chi-Quadrat-Anpassungstest kann auch durchgef¨uhrt werden, wenn statt (einzelner) hypothetischer Verteilung eine parametrische Klasse von Verteilungen als