Ein Kreis im Quadrat
Eine Sangaku Aufgabe 19. M¨arz 2017
A B
D E C
k
r
a F
Abbildung 1: Skizze zur Aufgabenstellung
Gegeben ist das QuadratABCDmit der Seitenl¨angea. Dem Quadrat ist die Diagonale AC eingeschrieben. Der Mittelpunkt von Seite CD ist E. Von B l¨auft eine Transversale zum Punkt E und schneidet die Diagonale AB im Punkt F. Dem Dreieck AF B ist der Inkreis k eingeschrieben. Bestimme den Radius r vom kreis k.
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Sangaku 4/2017
L¨ osungsvorschlag
A B
D E C
r h a-h
a/2
F
b f
a
a
k
Abbildung 2: L¨osungsskizze
Es seien die Punkte- und Streckenbezeichner aus Abbildung 2 gew¨ahlt. Zun¨achst zeigen wir, dass der PunktF die StreckeAC undBE im Verh¨altnis 2÷3 teilt. Die DreieckEF C und AF B sind einander ¨ahnlich und es gilt die Verh¨altnisgleichung:
a/2 a−h = a
h → h= 2
3a (1)
Analog dazu werden die Strecken AC und BE im Verh¨altnis 2÷3 geteilt. Mit den Be- zeichnern aus Abbildung 2 erhalten wir f¨ur die Seiten des Dreiecks AF B:
b= 2
3·AC = 2·√ 2·a
3 (2)
f = 2
3·BE = 2 3
r
a2+a2
4 = a√ 5
3 (3)
Der Inkreisradius vom Dreieck AF B errechnet sich aus der Formel r= ∆
s = a·h
a+b+f = 2a2
3 (a+ 2·√32·a+ a√35) (4)
r= 2a 3 + 2√
2 +√
5 ≈0.248001a (5)
2
