03. April 2013
PD Dr. H. Kohler
Statistische Mechanik — Pr¨ asenz¨ ubung 1
P1. Differentialformen
untersuchen Sie ob folgende 1-Formen exakt sind ω1 = cosxsinydx−sinxcosydy
ω2 = cosxsinydx+ sinxcosydy ω3 = x3y2dx−y3x2dy .
Integrieren Sie ω1 undω2 uber einen Kreis um den Nullpunkt und¨ ω3 ¨uber ein Quadrat mit den Ecken (0,0), (0,1), (1,1), (1,0). Gibt es auch einen einfacheren Weg die Exakt- heit zu erkennen?
P2. Partielle Ableitungen
x, y, z seien Gr¨oßen, die eine Funktionalrelation der Form f(x, y, z) = 0
erf¨ullen. Verifizieren Sie die folgenden Beziehungen:
∂x
∂y
z
= 1
∂y
∂x
z
und
∂x
∂y
z
∂y
∂z
x
∂z
∂x
y
= −1.
P3. Materialgr¨oßen
Beweisen Sie die in der Vorlesung erw¨ahnte Identit¨at
cp = cV+T
∂p
∂T
V
∂V
∂T
p
.
P4. Legendre Transformation
Gegeben sei eine Funktionf =f(x) mit dem Differential
df = df
dxdx≡u(x)dx .
1. Finden Sie eine Funktiong(u), so dass dudg =x. Zeigen Sie, dass g(u) =f(x(u))−ux(u)
diese Eigenschaft hat. Warum ist der zweite Term notwendig. Betrachten Sie die beiden Funktionen
f1(x) =αx2 f2(x) =α(x+c)2
Legendretransformieren sie beide Funktionen und betrachten Sie ebenfallsf1(x(u)) und f2(x(u)) f¨ur sich allein.