Berechne Erwartungswert und Varianz des Preises! 2

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Übungen zur Verteilung, Erwartungswert, Varianz 8. Klasse

1. Anlässlich eines Maturaballs werden 300 Lose verkauft. Davon sind 150 Nieten, bei 100 Losen erhält man einen Preis im Wert von 20e, bei 40 Losen einen Preis im Wert von 50e, bei 9 Losen einen Preis im Wert von 80e, der Haupttreffer bringt einen Preis im Wert von 1000e. Berechne Erwartungswert und Varianz des Preises!

2. Setzt man beim Roulette-Spiel einen Jeton (Spielmarke) auf eine bestimmte Zahl, so erhält man im Falle des Gewinns 36 Jetons. Verliert man, so ist der gesetzte Jeton verloren. Berechne Erwartungswert und Varianz des Gewinns, wenn man auf eine bestimmte Zahl setzt!

3. Setzt man beim Roulette-Spiel einen Jeton auf sog. “einfache Chancen” (Ereignisse mit der Wahrscheinlichkeit ¹⁸₃₇, z.B. “Rot” oder “Gerade”), so erhält man im Falle des Gewinns 2 Jetons. Der Gewinn beträgt also ein Jeton. Verliert man, so ist der gesetzte Jeton verloren. Berechne Erwartungswert und Varianz des Gewinns, wenn man auf einfache Chancen setzt!

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man von 8 Spielen genau 3 gewinnt?

4. Eine Maschine produziert 10% Ausschuß. Es werden 20 Artikel untersucht. Es sei H die Anzahl der fehlerhaften Artikel.

(a) Berechne den Erwartungswertµund die Standardabweichungσvon H!

(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der fehlerhaften Artikel um mehr als 2 größer ist alsµ?

(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass H außerhalb des Intervalls[µ−σ, µ+

σ]liegt?

(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Produkten mindestens 5 Ausschußstücke sind?

5. Zwei Schachspieler, von denen der eine den anderen erfahrungsgemäß mit der Wahrscheinlichkeit0.6schlägt, beschließen 5 Spiele zu spielen. Mit welcher Wahr- scheinlichkeit gewinnt der bessere Spieler mehr als die Hälfte der Spiele?

6. Um zu testen, ob jemand über außersinnliche Wahrnehmung verfügt, wird folgen- der Versuch durchgeführt: Aus einem gut gemischten Kartenspiel wird eine Karte gezogen. Die Versuchsperson soll die “Farbe” der Karte (Herz, Karo, Treff oder Pick) erraten. Ein Medium erziehlt bei 10 Versuchen 7 Treffer. Wie wahrscheinlich ist ein so gutes oder noch besseres Ergebnis?

7. Ein Sänger, der erfahrungsgemäß mit der Wahrscheinlichkeit0.1bei einer Vorstel- lung ausgepfiffen wird, tritt im letzten Monat bei 10 Vorstellungen auf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei höchstens 3 Vorstellungen ausgepfiffen wird?

wk01 http://mone.denninger.at

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8. Ein Fußballstar bringt erfahrungsgemäß 9 von 10 Elfmeterschüssen ins Tor.

(a) Wie viele Tore sind bei den nächsten 20 Elfmeterschüssen zu erwarten? Wie groß ist die Standardabweichung?

(b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Anzahl der Tore bei den nächsten 20 Elfmeterschüssen des Erwartungswert übersteigen?

(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird jeder der nächsten 20 Elfmeterschüsse ins Tor gehen?

9. Eine schriftliche Überprüfung besteht aus 5 Fragen mit je 2 vorgegebenen Antwor- ten, wobei jeweils genau eine Antwort richtig ist. Ein “Ahnungsloser” kreuzt auf gut Glück jeweils eine Antwort an. Die Zufallsvariable X sei die Anzahl der richtigen Antworten. Gib die Verteilung von X an und stelle sie graphisch dar. Berechne Erwartungswert und Standardabweichung.

10. Ein Ausschuß besteht aus 11 Personen, von denen sich 3 vorgenommen haben einen Vorschlag zu blockieren; die übrigen 8 verhalten sich indifferent, d.h. sie stimmen etwa durch Münzwurf (p= ¹₂). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Vor- schlag bei der Abstimmung mit einfacher Mehrheit abgelehnt wird?

11. In einem Casino gibt es das abgebildete Glücksrad. Man erhält soviel ausbezahlt wie die Zahl am Rand angibt.

(a) Welchen Auszahlungsbetrag pro Spieler kann man erwarten?

(b) Wie hoch ist der zu erwartende Auszahlungsbetrag, wenn man bei jedem Spiel den Zeiger zweimal betätigt? (Beachte alle Möglichkeiten von Ausfällen!)

(c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit in 30 Spielen mindestens 5mal auf Feld 15 zu gelangen?

12. Eine Prüfung besteht aus 10 zufällig ausgewählten Fragen, deren Beantwortung nur r oder f sein kann. (Notenschlüssel: 10r . . . Sehr gut, 8-9r . . . Gut, 6-7r . . . Befriedi- gend, 5r . . . Genügend, 0-4r . . . Nicht genügend)

Bei der Vorbereitung auf diese Prüfung erkennt ein Schüler, dass er nur 50% der üblicherweise gestellten Fragen beantworten kann. Gib die Verteilung der Zufalls- variable (X = Anzahl der richtigen Antworten) an und bestimme daraus die Wahr- scheinlichkeit mit denen der Kandidat die einzelnen Noten erreicht.

Bis zur Prüfung steigert sich der Schüler auf 60% richtig beantwortete Fragen. Zei- ge, dass sich so die Wahrscheinlichkeit die Prüfung zu bestehen stark erhöht.

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LÖSUNGEN:

1. µ≈19,σ² ≈3628 2. µ=−₃₇¹,σ² ≈34.08 3. µ=−₃₇¹,σ² ≈0.9993,

Genau 3 gew.≈0.23

4. (a) µ= 2,σ ≈1.34 (b) ≈0.043

(c) ≈0.255 (d) ≈0.043 5. ≈0.68

6. ≈0.0035 7. ≈0.987

8. (a) 18;√ 1.8

(b) 20·0.9¹⁹·0.1 + 0.9²⁰ (c) 0.9²⁰

9. a_i 0 1 2 3 4 5

W(X =a_i) ¹₂5

5· ₂¹5

5 2

₁

2⁵ 5 3

₁

2⁵ 5 2⁵

1 2

5 µ= 2.5,σ= q

2.5· ¹₂

10. X . . . Anzahl der NEIN von 8 P(X ≥3) = 1−h

1 2

8

+ 8· ¹₂8

+ ⁸₂ ₁

2

8i

11. (a) 0· ¹₂ + 6· ¹₃ + 15· ¹₆

(b) 0· ¹₄ + 6·2· ¹₂ · ¹₃ + 15·2·¹₂ ·16 + 12· ¹₃ · ¹₃ + +21·2·¹₃ · ¹₆ + 30· ¹₆ · ¹₆ (c)

1−P(X <5) = 1−

"

5 6

30

+ 30 5

6 29

+ 30

2 5 6

28 1 6

2

+

+ 30

3 5 6

27 1 6

3

+ 30

4 5 6

26 1 6

4#

12. a_i 0 1 2 3 4 5

W(X =a_i) ¹₂10 10 2¹⁰

10 2

₁

2¹⁰ 10

3

₁

2¹⁰ 10

4

₁

2¹⁰ 10

5

₁

2¹⁰

a_i 6 7 8 9 10

W(X =a_i) ¹⁰₆ ₁

2¹⁰ 10

7

₁

2¹⁰ 10

8

₁

2¹⁰ 10 2¹⁰

1 2¹⁰

P(X ≥5für 50%) = 0.623,P(X ≥5für 60%) = 0.834