Wolfgang L¨ohr Sommersemester 2018
Ubungen zur Vorlesung ¨ Stochastik
Ubungsblatt 3¨
Borel σ-Algebra
Aufgabe 3.1 (Borel messbarkeit im R). (4 Punkte)
(a) Sei A :=
x ∈ R
0 < f(x) ≤ sin f(x)
, wobei f:R → R eine (gegebene) stetige Funktion ist. Zeigen Sie, dass A messbar ist.
(b) SeiA⊆Rdie Menge der algebraischen Zahlen. Dabei heißt eine Zahlx∈Ralgebraisch, falls sie Nullstelle eines nicht-konstanten Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist.
Zeigen Sie, dass A messbar ist.
(c) Sei f:R→R unterhalbstetig (also lim infy→xf(y) ≥f(x) f¨ur allex ∈R). Zeigen Sie, dass f messbar ist.
Aufgabe 3.2 (Teilr¨aume). (5 Punkte)
Sei (Ω,A) ein messbarer Raum undA∈ A. Die Einschr¨ankung vonAaufAistA↾A:={B ⊆ A|B ∈ A }.
(a) Zeigen Sie, dass A↾Aeine σ-Algebra auf Aist.
(b) Sei µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (A,A↾A). Definiere ¯µ(B) = µ(B ∩A) f¨ur alle B ∈ A. Zeigen Sie, dass ¯µein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω,A) ist.
(c) Sei (Ω′,A′) ein messbarer Raum und f: Ω′ →Ω mitf(Ω′)⊆A. Zeigen Sie:f ist genau dann A′-A-messbar, wenn die Abbildungf′: Ω′→A,x7→f(x),A′-A↾A-messbar ist.
Bemerkung:Daher unterscheiden wirf undf′in der Regel nicht und bezeichnen beide Abbildungen mit f.
(d) Sei nunτ eine Topologie auf Ω undA=B(Ω) die Borelσ-Algebra. DieTeilraumtopologie auf Aist τ↾A:={U∩A|U ∈τ}. Zeigen Sie, dassB(A) =A↾A, wobeiAnat¨urlich mit τ↾A versehen ist.
Aufgabe 3.3 (Messbarkeit von Stetigkeitsstellen). (4 Punkte) Seien (X, d), (Y, r) metrische R¨aume,f:X →Y eine beliebige Funktion. Zeigen Sie, dass die Menge der Stetigkeitsstellen vonf messbar ist.
Hinweis: Betrachte Mengen des folgenden Typs:
Aε,δ :=
x∈X
∃u, v∈Bδ(x) :r f(u), f(v)
≥ε .
Zeigen Sie, dass sie messbar sind, und dr¨ucken Sie die Menge Uf der Unstetigkeitsstellen von f mit ihrer Hilfe aus.
Bitte wenden!
Aufgabe 3.4 (Borel-σ-Algebra von stetigen Funktionen erzeugt). (3 Punkte) Sei (E, d) ein metrischer Raum. Zeigen Sie, dass die MengeC(E) der stetigen, reellwertigen Funktionen auf E die Borelscheσ-Algebra B(E) erzeugt, d.h.
σ C(E)
= B(E).
Hinweis: Abstandsfunktionen sind hilfreich.
Bemerkung: Ba(E) :=σ C(E)
heißt Bair-σ-Algebra auf E.
Zusatzaufgabe∗. SeiE :=Nund τ :={A⊆N|N\Aendlich} ∪ {∅}. Zeigen Sie, dass in dem (nicht metrisierbaren) topologischen Raum (E, τ) gilt:σ C(E)
6=B(E).
Hinweis: Uberlegen Sie zun¨¨ achst, wie stetige Funktionen auf E aussehen.
Abgabe Mi, 25.04.2018 in der ¨Ubung
∗Optionale Zusatzaufgabe. Gibt 2 Zusatzpunkte.
