Zeigen Sie: (a) Die Operatornorm ist tats¨achlich eine Norm auf dem Vektorraum Matm,n(R)

Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann

Ubung zur Analysis 2¨ Blatt 3

Abgabe bis Do, 30.04., 12 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 2-5 zur selbst¨andigen Bearbeitung

Aufgabe 1. Bezeichnek · k₂ diel²-Norm, gegeben aufRⁿ durchkxk₂ = Pn

i=1x²_i1/2

. SeiA∈Mat_m,n(R) eine Matrix. Nach Vorlesung gilt

kAk:= sup{kAvk₂ :v∈Rⁿ,kvk₂ = 1}<∞.

Die ZahlkAkheißt Operatornorm von A. Zeigen Sie:

(a) Die Operatornorm ist tats¨achlich eine Norm auf dem Vektorraum Matm,n(R).

(b) F¨ur alle v∈Rⁿ giltkAvk₂ ≤ kAk · kvk₂.

(c) Istm=nund Aeine Diagonalmatrix mit den Eintr¨agenλ₁, . . . , λ_n, so giltkAk=

i=1,...,nmax |λ_i|.

(d) F¨urA∈Matm,n(R) und B∈Mat_n,k(R) gilt kABk ≤ kAkkBk.

Aufgabe 2. (a) SeiXein metrischer Raum undU ⊆V ⊆X. Zeigen Sie: U ist offen inV genau dann, wenn es eine inXoffene TeilmengeW ⊆Xgibt mitV∩W =U. (b) Pr¨ufen Sie, ob f¨ur folgende Teilmenge U ⊆V ⊆Rjeweils U offen ist in V:

i) U = [−1,1) inV = [−1,1], ii) U = [−1,1] inV = [−2,2], iii) U =N inV =Z,

iv) U = (−2,−1]∪[1,2) inV = (−2,2).

Aufgabe 3. SeiX ein metrischer Raum. Zeigen Sie:

(a) IstA⊆X vollst¨andig, so istA auch abgeschlossen inX.

(b) IstX vollst¨andig undA⊆X abgeschlossen, so istAvollst¨andig.

Aufgabe 4. Eine polynomielle Funktion Rⁿ → R ist eine Linearkombination von mononomiellen Funktionen der Form (x₁, . . . , x_n) 7→ x^k₁¹· · ·x^k_nⁿ mit k₁, . . . , k_n ∈ N0. Eine Abbildung

f:Rⁿ→R^m, (x1, . . . , xn)7→(f1(x1, . . . , xn), . . . , fm(x1, . . . , xn))

heißtpolynomiell, wenn die Komponentenf₁, . . . , f_m polynomiell sind. Zeigen Sie, dass jede solche Funktion stetig bez¨uglich der euklidischen Metrik ist.

(Bemerkung: Verwenden Sie, dass Summen und Produkte stetig sind, und, dass f genau dann stetig ist, wenn die Komponentenfi stetig sind.)

Zusatzaufgabe 5. Wir betrachten aufRⁿdiel²-Norm, auf Matn,n(R) die in Aufgabe 1 definierte Operatornorm und bezeichnen mit GL_n(R) ⊆ Mat_n,n(R) die Gruppe der invertierbaren Matrizen. Ziel dieser Aufgabe ist es, zu zeigen, dass GL_n(R) offen in Matn,n(R) ist, und dass die InversenabbildungF : GLn(R)→GLn(R),A7→A⁻¹ stetig ist. Gehen Sie in folgenden Schritten vor:

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(a) A∈Matn,n(R) ist genau dann invertierbar, wenn eine KonstanteC >0 existiert, so dass f¨ur alle x∈Rⁿ gilt: kAxk ≥Ckxk. In diesem Fall giltkA⁻¹k ≤1/C. (b) Ist A invertierbar, C := _kAk¹−1 und B ∈ Mat_n,n(R) mit kBk < C, so ist A+B

invertierbar, und es giltk(A+B)⁻¹k ≤1/(C− kBk). Insbesondere ist der C-Ball B_C(A) ganz in GL_n(R) enthalten und damit offen.

(c) Die InversenabbildungF ist stetig. Tip: sindA und A+B invertierbar, so gilt (A+B)⁻¹−A⁻¹ =−(A+B)⁻¹BA⁻¹,

und nun kann man 1(d) verwenden.

(Bemerkung: Man kann die Offenheit von GLn(R) in Matn,n(R) und die Stetigkeit der Inversenabbildung auch mit Hilfe der Determinante und der Cramerschen Regel zeigen (gibt auch volle Punktzahl).)

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