Ubungen zur Vorlesung ¨

Technische Universit¨at Darmstadt Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. S. Ulbrich

Sommersemester 2011 Blatt 1

Ubungen zur Vorlesung ¨

Optimierung bei partiellen Differentialgleichungen

G1. Berechnung des Gradienten der reduzierten Zielfunktion Wir betrachten das endlichdimensionale Optimalsteuerungsproblem

y∈Rminⁿ,u∈R^q

f(y, u) u.d.N. E(y, u) = 0

mitC¹-Funktionenf :Rⁿ×R^q→R,E :Rⁿ×R^q→Rⁿ. Es sei bekannt, dass die Gleichung E(y, u) = 0f¨ur jedesu∈R^qgenau eine zugeh¨orige L¨osungy(u)∈Rⁿbesitzt. Das Problem ist dann offensichtlich ¨aquivalent zu demreduzierten Problem

u∈minR^q

fˆ(u) mit f(u) :=ˆ f(y(u), u).

Ferner seiE_y⁰(y(u), u)f¨ur jedesu∈R^qinvertierbar.

a) Differenzieren Sie die GleichungE(y(u), u) = 0(total) nachuund berechnen Sie daraus die Ableitungy⁰(u)der Abbildungu7→y(u).

b) Leiten Sie, ¨ahnlich wie in a), zu gegebenemv ∈R^qein lineares Gleichungssystem zur Be- rechnung der Richtungsableitung (Sensitivit¨at)dvy(u) :=y⁰(u)vher. Nutzen Siedvy(u), um die Richtungsableitungfˆ⁰(u)vzu bestimmen.

c) Zeigen Sie

∇fˆ(u) = ˆf⁰(u)^T =y⁰(u)^T∇_yf(y(u), u) +∇_uf(y(u), u)

=E_u⁰(y(u), u)^Tp+∇_uf(y(u), u),

wobei deradjungierte Zustandp=p(u)∈Rⁿdieadjungierte Gleichungl¨ost E_y⁰(y(u), u)^Tp=−∇_yf(y(u), u).

d) Vergleichen Sie den Aufwand der Berechnung von∇fˆ(u) bei Verwendung derSensiti- vit¨atsmethodeaus b) und derAdjungiertenmethodeaus c).

G2. Funktionalanalytische Grundlagen

SeiΩ⊂Rⁿoffen und beschr¨ankt. Betrachte den Vektorraum stetiger Funktionen C( ¯Ω) :={v: ¯Ω→R; v stetig}.

Definiere f¨uru, v∈C( ¯Ω) kuk_L^∞ := sup

x∈Ω¯

|u(x)|, (u, v)_L² = Z

Ω

u(x)v(x)dx, kuk_L2 :=p

(u, u)_L².

a) SeiXder Banachraum(C( ¯Ω),k · k_L^∞). Entscheiden Sie, welche der folgenden linearen Funktionale inX^∗liegen und sch¨atzen Sie gegebenenfalls derenX^∗-Norm ab:

• u^∗₁ :u∈X7→u(y)mit festemy∈Ω,

Bitte wenden!

• u^∗₂ :u∈X7→R

Ωv(x)u(x)dxmit festemv∈C( ¯Ω),

• u^∗₃ :u∈X7→R

Ω\{y}

u(x)

kx−yk2dxmit festemy∈Ω.

b) Zeigen Sie, dass eine KonstanteC >0existiert mitkuk_L2 ≤Ckuk_L^∞f¨ur alleu∈C( ¯Ω).

c) SeiH der Pr¨a-Hilbertraum aller Funktionen aus C( ¯Ω) mit dem Skalarprodukt (·,·)_L2. Zeigen Sie, dassH kein Hilbertraum ist. Welche der Funktionale aus a) sind beschr¨ankt aufH?

G3. Existenz von Minima

Haben die folgenden Optimierungsprobleme L¨osungen? Begr¨unden Sie Ihre Antwort.

a) min

u∈C([0,1])

Z 1 0

u(x)²dx s.t. u(1) = 1.

b) min

u∈L²((0,1))

− Z 1

0

xu(x)²dx s.t. kuk_L2 ≤1.

Hierbei seiL²((0,1))der ¨ubliche Lebesgue-Raum, also die Vervollst¨andigung des Pr¨a- Hilbertraums(C([0,1]),(·,·)_L2).

H1. Rund um Differentialoperatoren

SeiΩ⊂Rⁿoffen und beschr¨ankt. SeiHder Pr¨a-Hilbertraum aller Funktionen ausC( ¯Ω)mit dem Skalarprodukt

(u, v)_L2 :=

Z

Ω

u(x)v(x)dx.

Weiter seiV der Pr¨a-Hilbertraum aller Funktionen ausC¹( ¯Ω)mit dem Skalarprodukt (u, v)_H¹ :=

Z

Ω

(u(x)v(x) +∇u(x)^T∇v(x))dx.

a) Zeigen Sie, dass die Abbildung

u∈V 7→u_xi ∈H, 1≤i≤n, linear und stetig ist.

b) Finden Sie Funktionenu_k ∈C²( ¯Ω),k∈N, mit

ku_kk_H1 ≤1, k∆u_kk_L2 ≥k.

c) Zeigen Sie, dass die Abbildung (u, v)∈V²7→

Z

Ω

∇u(x)^T∇v(x)dx∈R bilinear und stetig ist.

d) Rufen Sie sich den Gaußschen Integralsatz in Erinnerung und zeigen Sie: HatΩhinrei- chend glatten Rand, so gilt f¨ur alleu∈C²( ¯Ω),v∈C¹( ¯Ω),v|_∂Ω = 0:

Z

Ω

−∆u(x)v(x)dx= Z

Ω

∇u(x)^T∇v(x)dx.

e) Zeigen Sie, nochmals mit dem Gaußschen Integralsatz: Isty ∈C²( ¯Ω)L¨osung von

−∆y=g aufΩ, ∂y

∂ν =h auf∂Ω, mit Funktioneng∈L²(Ω)undh∈L²(∂Ω), dann gilt:

Z

Ω

∇y(x)^T∇v(x)dx= Z

Ω

g(x)v(x)dx+ Z

∂Ω

h(x)v(x)dS(x) ∀v∈C¹( ¯Ω).

Abgabetermin f ¨ur Hausaufgaben:N¨achste ¨Ubung.