Ubungen zur Vorlesung ¨

Technische Universit¨at Darmstadt Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. S. Ulbrich

Wintersemester 2009/10 Blatt 5

Ubungen zur Vorlesung ¨

Nichtglatte Optimierung und Anwendungen

G13. Subdifferential des gr¨oßten Eigenwerts SeiSn={A∈R^n,n : A=A^T}und

λ_max :A∈S_n7→ max

kvk=1v^TAv der gr¨oßte Eigenwert.

Unser Ziel ist der Nachweis, dass

∂λ_max(A) ={W ∈S_n : W 0, spur(W) = 1, W •A=λ_max(A)}.

Bemerkung:Es gilt spur(B⁻¹AB) =spur(A)undA•B =spur(AB^T).

Zeigen Sie:

a) SeiW ∈∂λ_max(A). Dann muss geltenW •A=λ_max(A).

Tip:λmax(tA) =tλmax(A)f¨ur allet≥0.

b) SeiW ∈∂λ_max(A). Dann gilt spur(W) = 1.

Tip:BetrachteB =A+tI.

c) SeiW ∈ ∂λ_max(A). Dann giltW •B ≤ λ_max(B)f¨ur alleB ∈ S_n. Folgern Sie, dass W 0gelten muss.

d) Sei umgekehrtW ∈ S_nmitW 0, spur(W) = 1, W •A = λ_max(A). Zeigen Sie dass dann giltW •B ≤λmax(B)f¨ur alleB ∈Snund folgern SieW ∈∂λmax(A).

Tip:Nutzen SieW•B =spur(W B), transformieren SieBauf Diagonalform und nutzen Sie die Eigenschaften der Spur.

G14. Optimalit¨atsbedingungen f ¨ur nichtglatte restringierte Probleme Seif :Rⁿ→Rkonvex undC⊂Rⁿnichtleer, abgeschlossen und konvex.

Der Tangentialkegel vonCinxist definiert als

T_C(x) :={s∈Rⁿ : ∃t >0 :x+ts∈C}. (1) Bemerkung:F¨ur konvexesCstimmt diese Definition ¨uberein mit der Definition aus Optimie- rung 3

T_C(x) :={s∈Rⁿ : ∃η_k>0, ∃x_k∈C: lim

k→∞x_k=x, lim

k→∞η_k(x_k−x) =s}. (2)

Wir betrachten das Optimierungsproblem

minf(x) s.t. x∈C. (P)

Wir definieren die Indikatorfunktion χ_C(x) =

(0, x∈C

∞, x /∈C

F¨urx∈Cdefinieren wir analog wie bisher zuR-wertigen Funktionen

∂χC(x) ={g∈Rⁿ : χC(y)−χC(x)≥g^T(y−x) ∀y∈Rⁿ}.

Zeigen Sie:

a) (P) is ¨aquivalent zu

minf(x) +χ_C(x).

b) Seix∈C. Dann gilt:

∂χC(x) ={g∈Rⁿ : g^Ts≤0 ∀s∈TC(x)}.

c) Istx¯∈Coptimale L¨osung von (P), dann gilt:

∃g∈∂f(¯x) : g^Ts≥0 ∀s∈TC(¯x).

Vergleichen Sie dies mit Optimalit¨atsbedingungen aus der Nichtlinearen Optimierung.

Bemerkung:Sie d¨urfen verwenden, dass inx¯die Summenregel f¨ur Subdifferentiale an- gewendet werden darf.

d) Sei nunC := {x∈Rⁿ : ci(x)≤0, i= 1, . . . , m}mit stetig differenzierbaren konve- xen Funktionen c_i : Rⁿ → R. Kann man unter einer Constraint Qualification aus c) analog zur Nichtlinearen Optimierung KKT-Bedingungen ableiten. Wie sehen sie aus?

e) Zeigen Sie dass die Mengen (1) und (2) ¨ubereinstimmen.