Ubungen zur Vorlesung Innere-Punkte-Verfahren der ¨ konvexen Optimierung

Technische Universit¨at Darmstadt Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. S. Ulbrich

Wintersemester 2010/2011 Blatt 5

Ubungen zur Vorlesung Innere-Punkte-Verfahren der ¨ konvexen Optimierung

G10. Konvexe QPs als SDPs

SeiQ ∈ S^n×n,Q 0. Dann gibt esM ∈ R^n×n mitQ = M^TM (z.B.M = Q^1/2) und folgende Bedingungen sind ¨aquivalent:

c^Tx+1

2x^TQx≤t. (1)

I M x (M x)^T 2t−2c^Tx

0. (2)

G11. Selbstkonkordante Barriere-Funktionen

SeiS⊂Rⁿkonvex und abgeschlossen mit nichtleerem InnerenS^◦.

Eine zweimal stetig differenzierbare Funktionp:S^◦ →Rheißtselbstkonkordante Barriere- funktion f¨urS, falls f¨ur allex∈S^◦ gilt:

• H(x) :=∇²p(x)positiv definit,

• B_H(x)(x,1) :={y : ky−xk_H(x)<1} ⊂S^◦,

• die zugeh¨origen lokalen Normenkvk_H(x) :=p

v^TH(x)verf¨ullen die relative Lipschitz- Bedingung

1− ky−xk_H(x)≤ kvk_H(y)

kvk_H(x) ≤ 1

1− ky−xk_H(x) ∀y ∈B_H(x)(x,1), v ∈Rⁿ\ {0},

• ϑ_p:= sup_x∈S^◦kH(x)⁻¹∇p(x)k²_H(x) <∞.

Zeigen Sie:p(x) = −Pn

i=1ln(x_i) ist eine selbstkonkordante Barrierefunktion f¨urS = Rⁿ+

mitϑ_p=n.

Hausaufgaben:

H6. SOCPs als SDPs

Die folgenden Bedingungen sind ¨aquivalent:

kuk₂≤t (3)

und

tI u u^T t

0 (4)

Bitte wenden!

H7. Grundkonzept einer Bewertungsfunktion f ¨ur nichtkonvexe Probleme Wir betrachten das lineare Optimierungsproblem

minc^Tx unter der Nebenbed. Ax=b, x≥0 (LP) mitc ∈ Rⁿ,A ∈ R^m,n,b ∈ R^m. Es seiZ^◦ 6= ∅undAhabe vollen Zeilenrang. Bezeichne µ∈R++→(x(µ), u(µ), y(µ))∈Z^◦den zugeh¨origen primal-dualen zentralen Pfad.

Zeigen Sie: F¨ur jedesν >0ist(x(µ), y(µ))die eindeutige L¨osung Problems minc^Tx−µ

n

X

i=1

(ln(x_i) +ν(ln(x_iy_i/µ) + 1−x_iy_i/µ)) u. d. NB Ax=b, x, y >0.

Bemerkung:Diese Beobachtung kann als Basis zur Globalisierung f¨ur nichtkonvexe Proble- me genutzt werden.

Abgabe der Hausaufgaben:In der n¨achsten ¨Ubung.