Ubungen zur Vorlesung Innere-Punkte-Verfahren der ¨ konvexen Optimierung

Technische Universit¨at Darmstadt Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. S. Ulbrich

Wintersemester 2010/2011 Blatt 1

Ubungen zur Vorlesung Innere-Punkte-Verfahren der ¨ konvexen Optimierung

G1. Strikt zul¨assige Punkte

Gegeben seien stetige Funktionenhi : Rⁿ → R,i = 1, . . . , l. Setzeh = (h1, . . . , hl)^T und betrachte die Menge

S ={x∈Rⁿ : h(x)≤0}, sowie dasstrikte InnereS^◦vonS

S^◦ ={x∈Rⁿ : h(x)<0}

und denoffenen KernS˚=S\∂SvonS.

a) Zeigen Sie: Sindh_i :Rⁿ→Rkonvex,1≤i≤l, und istS^◦nichtleer, dann giltS^◦= ˚S.

b) Geben Sie stetigeh_i:Rⁿ→R,1≤i≤l, an, f¨ur die giltS^◦6=∅, aberS^◦ 6= ˚S.

G2. Zentraler Pfad

Wir betrachten das konvexe quadratische Optimierungsproblem minx²₁

2 +x₂ unter der Nebenbed. x₁ ≥0, x₂ ≥0. (QP) a) Stellen Sie das Barriereproblem (BPµ) zu (QP) bei Verwendung der log-Barrierefunktion

auf. Berechnen Sie Gradient und Hessematrix der Zielfunktion von (BPµ).

b) Bestimmen Sie die L¨osungx(µ)von (BPµ) und skizzieren Sie den zentralen Pfad.

c) Zeigen Sie, dassx¯= limµ&0x(µ)existiert und dassx¯L¨osung von (QP) ist.

d) Wie ¨andert sich der zentrale Pfad, wenn die Nebenbedingungx2 ≥ 0in (QP)m-mal auftritt?

G3. Konvexe quadratische Nebenbedingung als Second-Order-Cone-Nebenbedingung Es seiQ ∈ R^n,nsymmetrisch positiv definit, c ∈ Rⁿundγ ∈ R. Schreiben Sie die streng konvexe quadratische Nebenbedingung

1

2x^TQx+c^Tx+γ ≤0 als Second-Order-Cone-Nebenbedingung, also in der Form

kCx+ak ≤d^Tx+e mit geeignetenC∈R^m,n,a∈R^m,d∈Rⁿ,e∈R.

Tip:Es gibtR∈R^n,nmitQ=R^TR(z.B. durch Cholesky-Faktorisierung).

Bitte wenden!

Hausaufgaben:

H1. Log-Barriere-Funktion f ¨ur die Menge positiv semidefiniter Matrizen [4 Punkte]

Sei

S :=

X ∈R^n,n : X=X^T, Xpositiv semidefinit . Zeigen Sie, dass dieBarrierefunktion

p: ˚S→R, p(X) :=−ln(det(X)) dieBarriere-Eigenschaftenhat

(X_k)⊂˚S, lim

k→∞X_k=X ∈∂S =⇒ p(X_k)→ ∞.

Tip:˚S=

X∈R^n,n : X=X^T, X positiv definit .

H2. Algorithmus LOGB f ¨ur lineare Programme [6 Punkte]

Betrachte f¨urA∈R^m,nundb∈R^mundc∈Rⁿdas lineare Programm

min c^Tx unter der Nebenbedingung Ax=b, x≥0. (LP) a) Stellen Sie das Barriereproblem (BPµ) zu (LP) bei Verwendung der log-Barrierefunktion

auf. Berechnen Sie Gradient und Hessematrix der Zielfunktion von (BP_µ).

b) Zeigen Sie, dass (BPµ) h¨ochstens eine L¨osungx(µ)hat.

c) Geben Sie mit Hilfe geeigneter Aussagen der Vorlesung notwendige Optimalit¨atsbedin- gungen f¨ur (BP_µ) an.

Abgabe der Hausaufgaben:Am 10.11.2010 in der ¨Ubung.