Ubungen zur Vorlesung Innere-Punkte-Verfahren der ¨ konvexen Optimierung

Technische Universit¨at Darmstadt Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. S. Ulbrich

Wintersemester 2010/2011 Blatt 6

Ubungen zur Vorlesung Innere-Punkte-Verfahren der ¨ konvexen Optimierung

G12. Beispiele f ¨ur selbstkonkordante Barrierefunktionen Verwenden Sie das Selbstkonkordanz-Kriterium

• (x_k)⊂S^◦, limk→∞x_k=x∈∂S =⇒ p(x_k)→ ∞,

• F¨ur allex∈S^◦und allev∈Rⁿ,v6= 0, mitψ_x,v(t) :=p(x+tv)gilt

|ψ⁰⁰⁰_x,v(0)| ≤2ψ⁰⁰_x,v(0)^3/2 >0

um die Selbstkonkordanz der folgenden Funktionen nachzuweisen.

a) Die log-Barrierefunktionp:x∈S^◦ 7→ −Pn

i=1ln(xi)f¨urS^◦ =Rⁿ₊₊. Bestimmen Sie zudem die Komplexit¨atszahl

ϑp:= sup

x∈S^◦

kH(x)⁻¹g(x)k²_H(x)<∞, Tip:Benutzen Sie die Ungleichung Pn

i=1y_i³2

≤ Pn i=1y_i²3

. b) Die Funktionp:X∈S^◦ 7→ −ln(det(X))mit

S^◦ ={X∈R^n,n : X =X^T, X positiv definit}.

Sie d¨urfen folgendes benutzen: ZuX ∈ S^◦ gibt esX^1/2 ∈ S^◦ mitX = X^1/2X^1/2. Gehen Sie wie folgt vor:

i) Zeigen Sie, dass f¨ur jedes symmetrischeV ∈R^n,ngilt

p(X+tV) =−2 ln(det(X^1/2))−ln(det(I+tX^−1/2V X^−1/2)).

ii) Bezeichnenλ₁, . . . λ_ndie Eigenwerte der symmetrischen MatrixX^−1/2V X^−1/2, dann gilt

ψ_X,V(t) =p(X+tV) =const−

n

X

i=1

ln(1 +tλ_i).

iii) Benutzen Sie nun den Tip aus a).

G13. Asymptotik selbstkonkordanter Barrierefunktionen Beweisen Sie den folgenden Satz der Vorlesung:

Satz 4.2.2Es seip ∈SCB(S^◦),x ∈S^◦ und0 6=d∈ Rⁿmitx+τ d∈S^◦ f¨ur alleτ ≥0.

Dann gilt

p(x+τ d)≥p(x+d)−ϑpln(τ) ∀τ ≥1.

Tip:Betrachten Sie die Funktionφ(t) :=p(x+e^td),t≥0.