Ubungen zur Vorlesung Innere-Punkte-Verfahren der ¨ konvexen Optimierung: L¨osungsvorschlag

Technische Universit¨at Darmstadt Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. S. Ulbrich

Wintersemester 2010/2011 Blatt 1

Ubungen zur Vorlesung Innere-Punkte-Verfahren der ¨ konvexen Optimierung: L¨osungsvorschlag

G1. Strikt zul¨assige Punkte zu a):S^◦⊂˚S:

Dah : Rⁿ → R^l stetig ist, istS^◦ offensichtlich offen. Zudem giltS^◦ ⊂ S, also insgesamt S^◦ ⊂S.˚

S^◦ ⊃S:˚

Nach Voraussetzung existiert einy ∈S^◦, es gilt alsoh_i(y)<0,1≤i≤l.

Seix∈S˚beliebig. Wir zeigenx∈S^◦. DaS˚offen ist, existiert eine offene KugelBε(x)⊂S.˚ Daher gilt f¨urδ >0klein genug auchz=y+ (1 +δ)(x−y)∈B_ε(x)⊂S, also˚ h(z)≤0.

Nun ist

x= 1 1 +δz+

1− 1 1 +δ

y und daher wegenhikonvex mithi(y)<0,hi(z)≤0

hi(x)≤ 1

1 +δhi(z) +

1− 1 1 +δ

hi(y)<0.

Dies zeigtx∈S^◦und wegenx∈S˚beliebigS^◦⊃˚S.

G2.

zu a):

minϕ(x;µ) := x²₁

2 +x₂−µ(ln(x₁) + ln(x₂)) u.d. NB x₁>0, x₂>0. (BPµ)

∇ϕ(x;µ) = x1

1

−µ 1/x1

1/x2

,

∇²ϕ(x;µ) = 1 +_x^µ2 1

0 0 1 +_x^µ2

2

! .

zu b): ∇²ϕ(x;µ) is positiv definit auf ]0,∞[². Also ist ϕ(·;µ) streng konvex und daher h¨ochstens ein lokales (=globales) Minimum x(µ). Jedes lokale Minimum x^∗ von ϕ(·;µ) erf¨ullt

∇ϕ(x^∗;µ) = x^∗₁

1

−µ 1/x^∗₁

1/x^∗₂

= 0,

alsox(µ) =x^∗ = (√

µ, µ)^T = (τ, τ²)mitτ =√ µ.

Skizze: Der zentrale Pfad ist der rechte Ast einer Normalparabel).

zu c): Es giltlimµ&0x(µ) = (0,0)^T. Offensichtlich ist x¯ = (0,0)^T L¨osung von (QP), da die Zielfunktion von (QP) auf dem zul¨assigen Bereich durch0nach unten beschr¨ankt ist und

¯

x= (0,0)^T den Zielfunktionswert0liefert.

zu d): Dann gilt

ϕ(x;µ) = x²₁

2 +x₂−µ(mln(x₁) + ln(x₂)),

∇ϕ(x;µ) = x₁

1

−µ 1/x₁

m/x₂

. Also liefert

∇ϕ(x^∗;µ) = x^∗₁

1

−µ 1/x^∗₁

m/x^∗₂

= 0

x(µ) =x^∗ = (√

µ, mµ)^T = (τ, mτ²)mitτ =√

µ. F¨ur grossemverl¨auft der zentrale Pfad also immer n¨aher entlang derx2-Achse.

G3. Konvexe QPs als Second Order Cone Problem

Setzeq(x) := ¹₂x^TQx+c^Tx+γ. Mitx¯ = −Q⁻¹cgilt∇q(¯x) = Q¯x+c = 0und daher liefert Taylorentwicklung inx¯

q(x) := 1

2x^TQx+c^Tx+γ =q(¯x)+∇q(¯x)^T(x−¯x)+1

2(x−¯x)^TQ(x−¯x) =q(¯x)+1

2(x−¯x)^TQ(x−¯x).

Nun existiertR∈R^n,nmitQ=R^TR. Also gilt

(x−x)¯ ^TQ(x−x) = (x¯ −x)¯ ^TR^TR(x−x) =¯ kR(x−x)k¯ ². Dies ergibtq(x) =q(¯x) + ¹₂kR(x−x)k¯ ²und somit

q(x)≤0 ⇐⇒ kR(x−x)k¯ ² ≤ −2q(¯x) ⇐⇒ kR(x−x)k ≤¯ p

−2q(¯x).

Die rechte Ungleichung ist eine Second Order Cone Nebenbedingung mitC=R,a=−Rx,¯ d= 0,e=p

−2q(¯x).