Die Kugelschale rotiere mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um eine Achse ˆ ω, die durch den Mittelpunkt der Kugel verl¨ auft.

Prof. Dr. R. Egger WS 2017/18 Blatt 6

Ubungen zur Vorlesung: Elektrodynamik ¨

Abgabe bis Freitag, 24.11.2017, 12:00 Uhr Ubungstermin: Montag, 27.11.2017 ¨

Aufgabe 14: Magnetfeld einer rotierenden geladenen Kugelschale 10 Punkte Betrachten Sie eine geladene Kugelschale (Hohlkugel) mit Radius R und konstanter Oberfl¨ achenladungsdichte σ.

Die Kugelschale rotiere mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um eine Achse ˆ ω, die durch den Mittelpunkt der Kugel verl¨ auft.

a) Zeigen Sie, dass das Vektorpotential durch den Ausdruck

A(r) = σωR ² c

Z

dΩ ⁰ ω ˆ × r ⁰

|r − r ⁰ | , r ⁰ = R





sin θ ⁰ cos ϕ ⁰ sin θ ⁰ sin ϕ ⁰

cos θ ⁰





gegeben ist. Wir verwenden Kugelkoordinaten mit dem Raumwinkelelement dΩ ⁰ = d(cos θ ⁰ )dϕ ⁰ . (2 Punkte)

b) Bestimmen Sie nun das Vektorpotential sowohl innerhalb als auch ausserhalb der Kugelschale. (4 Punkte) Hinweis: Mit Konstanten a, b gilt R

dx ^{√ x}

a−bx = − _3b ²

(2a + bx) √

a − bx. Bei der Rechnung ist es vorteilhaft, r zuerst parallel zu ˆ e z anzunehmen, mit beliebiger Richtung von ˆ ω. Das Resultat kann dann durch ˆ ω · r und/oder

ˆ

ω × r ausgedr¨ uckt werden.

c) Berechnen Sie damit das Magnetfeld B(r) = ∇ × A sowohl f¨ ur r < R als auch f¨ ur r > R, wobei r = |r|. Es ist dabei von Vorteil, den -Tensor und die Summenkonvention zu benutzen (siehe Vorlesung), wobei B j = jkl ∂ k A l . Zeigen Sie insbesondere, dass im Inneren der Kugelschale ein homogenes Magnetfeld vorliegt. Sind die Normal- bzw. Tangentialkomponenten von B an der Kugeloberfl¨ ache stetig? (4 Punkte)

Aufgabe 15: Eichtransformationen 10 Punkte

In der Elektrodynamik ist es vorteilhaft, das Skalarpotential ϕ(r, t) und das Vektorpotential A(r, t) einzuf¨ uhren.

Dann sind das elektrische bzw. magnetische Feld durch E(r, t) = −∇ϕ − 1

c

∂

∂t A, B(r, t) = ∇ × A

gegeben. Die Potentiale sind nicht eindeutig, sondern erlauben eine allgemeine Eichtransformation ϕ → ϕ ⁰ = ϕ − ∂

∂t Λ, A → A ⁰ = A + c∇Λ,

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Ubungen zur Vorlesung: Elektrodynamik, Blatt 6 ¨

wobei Λ(r, t) eine beliebige Funktion der Raumzeit-Koordinaten ist.

a) Zeigen Sie, dass bei Verwendung der Potentiale die homogenen Maxwellgleichungen

∇ · B = 0, ∇ × E + 1 c

∂

∂t B = 0

identisch erf¨ ullt sind. Verifizieren Sie, dass die elektromagnetischen Felder E und B invariant unter Eichtrans-

formationen sind. (3 Punkte)

b) Wie muss Λ gew¨ ahlt werden, damit die Lorenz-Eichung,

∇ · A + 1 c

∂

∂t ϕ = 0

gilt? Sind die Potentiale dann eindeutig? Wann ist diese Eichung angebracht? (2 Punkte)

c) Wie muss Λ bei der Coulomb-Eichung, ∇ · A = 0, gew¨ ahlt werden? Sind die Potentiale dann eindeutig? Wann verwendet man diese Eichung? Wann kann zus¨ atzlich ϕ = 0 gesetzt werden (Strahlungseichung)? (3 Punkte)

d) Zeigen Sie, dass man f¨ ur ein homogenes Magnetfeld B das Vektorpotential in der Form A(r) = (1/2)B × r w¨ ahlen kann. Verifizieren Sie, dass diese Eichung die Bedingung ∇ · A = 0 erf¨ ullt. (2 Punkte)

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