Statistik I f¨ur Betriebswirte Vorlesung 10

Statistik I f¨ ur Betriebswirte Vorlesung 10

Dr. Andreas W¨ unsche

TU Bergakademie Freiberg Institut f¨ ur Stochastik

17. Juni 2019

Dr. Andreas W¨unsche Statistik I f¨ur Betriebswirte Vorlesung 10 Version: 24. Mai 2019 1

2.3 Indexzahlen

2.3.1 Einfache Indexzahlen (Messzahlen)

I Indizes (Indexzahlen, Indexzeitreihen) dienen z.B. zur Beschreibung der zeitlichen Entwicklung bestimmter Gr¨ oßen und werden h¨ aufig in der Wirtschaftsstatistik oder ¨ Okonometrie angewandt.

I Einfache Indexzahlen beschreiben die Entwicklung einer Maßzahl

¨

uber die Zeit.

I Zur besseren Vergleichbarkeit werden Werte so normiert, dass der Wert zur Basiszeit gleich 1 (100%) ist.

I x _t

: Maßzahl zur Basiszeit t ₀ , x _t : Maßzahl zur Berichtszeit t

⇒ I t

,t = x _t x t

(·100) : einfache Indexzahl.

I Beispiel 2.8 Umsatz einer Firma (in Tausend Euro)

Jahr 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

t 0 =: t ₀ 1 2 3 4 5 6 7

x _t 80 90 85 90 95 95 100 110

I _t

_,t 100 112.5 106.25 112.5 118.75 118.75 125 137.5

Umbasierung von Messzahlen

I Wechsel der Basiszeit: t 0 : alte Basiszeit; t ₀ ⁰ : neue Basiszeit.

I I _t

0

,t = x t

x _t

0

(·100) = x _t · _x ¹

t0

x _t

0

· _x ¹

t0

(·100) =

x

x

x

x

(·100) = I t

,t

I _t

_,t

0

(·100)

⇔ I _t

_,t

0

· I _t

0

,t = I _t

_,t (·100) bzw. _I ^I

t0 0,t0

0

= _I ^I

t0,t0 0

(∗).

I Eigenschaft (∗) heißt Verkettungseigenschaft.

I Im Beispiel 2.8

Jahr 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

t 0 = t 0 1 2 = t ₀ ⁰ 3 4 5 6 7

x t 80 90 85 90 95 95 100 110

I _0,t 100 112.5 106.25 112.5 118.75 118.75 125 137.5 I _2,t 94.12 105.88 100 105.88 111.76 111.76 117.65 129.41

z.B. I _2,6 = ¹⁰⁰ ₈₅ · 100 = _106.25 ¹²⁵ · 100 = 117.65 .

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Verkettung von Messzahlen

I Gegeben seien eine alte Indexreihe I _t

_,1 , ..., I _t

_,s und eine neue I _t ⁰

0

,s , ..., I _t ⁰

,r .

I Verschiedene Basiszeiten.

I Indexreihen ¨ uberschneiden sich genau im Zeitpunkt s .

I Beispiel 2.9

Jahr 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

t 0 1 2 3 4 5 6 7

I 0,t 100 112 120 124 144 160 – –

I _5,t ⁰ – – – – – 100 105 110

I 0,t 100 112 120 124 144 160 168 176

I _5,t ⁰ 62,5 70 75 77,5 90 100 105 110

I z.B. 168 = 105 · 160

100 oder 70 = 112 · 100

160 .

Fortf¨ uhrung der alten Reihe und R¨ uckrechnung der neuen Reihe

I Fortf¨ uhrung der alten Reihe f¨ ur t > s :

I

Idee: Multipliziere alle Werte I

0,t

der neuen Reihe mit dem gleichen Faktor c , so dass c · I

0,s

= I

ist.

⇒ c = I

I

⇒ I

= I

I

· I

.

I R¨ uckrechnung der neuen Reihe f¨ ur t < s :

I

Idee: Multipliziere alle Werte I

der alten Reihe mit dem gleichen Faktor c

, so dass c

· I

= I

0,s

ist.

⇒ c

= I

0,s

I

⇒ I

=

I

I

· I

.

I Anmerkung: Entsteht I ⁰ aus I durch Umbasieren, so f¨ uhrt die Verkettung von I und I ⁰ wieder zur urspr¨ unglichen Reihe.

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2.3.2 Zusammengesetzte Indexzahlen

I Verkn¨ upfen gleichartige (einfache) Indexreihen zu einer zusammengesetzten Indexreihe.

I Beispiele:

I

Umsatz einzelner Firmen ⇒ Umsatzindex des Industriezweigs;

I

Wert einzelner Aktien ⇒ Aktienindex einer Branche, einer Region etc.

I Von besonderem Interesse

I

a) Preisindizes

I

b) Mengenindizes

I

c) Umsatzindizes (Wertindizes)

a) Preisindizes

I Untersuchungsgegenstand: Preisentwicklung eines Warenkorbs bestehend aus n G¨ utern (repr¨ asentativer Warenkorb).

I p t

= (p t

(1), p t

(2), . . . , p t

(n)) : Preise der G¨ uter zur Basiszeit t 0 .

I p _t = (p _t (1), p _t (2), . . . , p _t (n)) : Preise der G¨ uter zur Berichtszeit t .

I q = (q(1), q(2), . . . , q(n)) : verbrauchte Mengen der G¨ uter.

Statistisches Bundesamt

I Startseite:

Statistisches Bundesamt

I Der folgende Film zur Inflationsrate und zum Verbraucherpreisindex stammt vom Statistischen Bundesamt:

Film zum Verbrauchspreisindex

I Die aktuelle Zusammensetzung des Warenkorbes und die Preisver-

¨

anderungen der einzelnen Bereiche werden im Preis-Kaleidoskop sch¨ on veranschaulicht:

Preis-Kaleidoskop

I Auch die Daten f¨ ur die Indexreihen (Monatsdaten von Januar 1993 (1.93) bis Januar 2017 (1.17)) auf den folgenden 3 Folien stammen vom Statistischen Bundesamt.

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Verbraucherpreisindex insgesamt

Verbraucherpreisindex im Bildungswesen

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Gruppe: Freizeit, Unterhaltung und Kultur

Grundidee zur Berechnung eines Preisindex

I P _t

_,t = Wert des Warenkorbs zum ZP t Wert des Warenkorbs zum ZP t 0

=

n

P

i =1

q(i )p _t (i ) P n

j=1

q(j)p _t

(j ) .

I Kann als gewichtete Summe der einfachen Preisindizes I t

,t (i) = p _t (i)

p t

(i) f¨ ur die Einzelg¨ uter ausgedr¨ uckt werden:

n

P

i=1

q(i)p t (i)

n

P

j =1

q(j )p _t

(j )

=

n

P

i=1

q(i )p t

(i) _p ^p

^{(i )}

t0

(i) n

P

j =1

q(j )p _t

(j )

=

n

X

i=1

w (i )I t

,t (i)

mit w (i ) =

^q(i)p

^{(i )}

P

j=1

q(j)p

(j )

(Anteil des Umsatzes von Gut i am Gesamtumsatz zur Basiszeit t 0 ).

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Anderungen des repr¨ ¨ asentativen Warenkorbs

I Preis¨ anderungen f¨ uhren zu Nachfrageverschiebungen.

⇒ Der repr¨ asentative Warenkorb ver¨ andert sich mit der Zeit.

I Man kann zur Berechnung des Preisindex P _t

_,t sowohl den

repr¨ asentativen Warenkorb zur Basiszeit t 0 als auch den Warenkorb

zur Berichtszeit t verwenden.

Preisindex nach Laspeyres bzw. Paasche

Preisindex nach Laspeyres

I Berechnung mit repr¨ asentativem Warenkorb zum Basiszeitpunkt t ₀ .

I P _t ^L

_,t =

n

P

i=1

q t

(i)p t (i )

n

P

j=1

q _t

(j )p _t

(j )

=

n

X

i=1

w (i )I t

,t (i) mit w (i) =

^q

^(i)p

⁽ⁱ⁾

P

j=1

q

(j )p

(j)

.

Preisindex nach Paasche

I Berechnung mit repr. Warenkorb zum Berichtszeitpunkt t.

I P _t ^P

_,t =

n

P

i=1

q t (i)p t (i)

n

P

j=1

q _t (j )p _t

(j )

=

n

X

i=1

w t (i )I t

,t (i) mit w t (i) =

^q

^(i)p

⁽ⁱ⁾

P

j=1

q

(j )p

(j)

.

I Darstellbar auch als gewogenes harmonisches Mittel mit auf t bezogenen Preisfaktoren in den Gewichten.

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b) Mengenindizes

Grundidee: Preise festhalten und Mengen variieren.

Mengenindex nach Laspeyres

I Berechnung mit Preisen zum Basiszeitpunkt t ₀ .

I Q _t ^L

_,t =

n

P

i=1

p t

(i )q t (i)

n

P

j =1

p t

(j)q t

(j )

=

n

X

i=1

w (i) q t (i)

q _t

(i ) mit w (i) =

^p

^(i)q

⁽ⁱ⁾

P

j=1

p

(j )q

(j)

.

Mengenindex nach Paasche

I Berechnung mit Preisen zum Berichtszeitpunkt t.

I Q _t ^P

_,t =

n

P

i=1

p t (i )q t (i )

n

P

j =1

p _t (j )q _t

(j )

=

n

X

i=1

w t (i) q t (i)

q t

(i ) mit w t (i ) =

^p

^(i)q

⁽ⁱ⁾

P

j=1

p

(j )q

(j )

.

c) Umsatzindex

U t

,t = Gesamtumsatz zum ZP t Gesamtumsatz zum ZP t ₀ =

n

P

i =1

q t (i )p t (i )

n

P

j =1

q t

(j )p t

(j )

= P n

i=1

q _t (i)p _t (i)

n

P

j=1

q t

(j)p t

(j ) P n

i=1

q _t

(i)p _t (i )

n

P

j =1

q t

(j )p t (j)

= P n

i=1

q _t (i )p _t (i )

n

P

j =1

q t

(j )p t (j) P n

i=1

q _t

(i )p _t (i)

n

P

j =1

q t

(j)p t

(j )

= Q _t ^P

_,t · P _t ^L

_,t bzw.

U t

,t =

n

P

i=1

q t (i)p t (i)

n

P

j=1

q t

(j)p t

(j )

n

P

i=1

q t (i)p t

(i )

n

P

j =1

q t (j )p t

(j)

=

n

P

i=1

q t (i )p t (i )

n

P

j =1

q t (j )p t

(j)

n

P

i=1

q t (i )p t

(i)

n

P

j =1

q t

(j)p t

(j )

= P _t ^P

_,t · Q _t ^L

_,t .

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Beispiel 2.10

Warenart i

1 2 3

Periode t p _t (1) q _t (1) p _t (2) q _t (2) p _t (3) q _t (3)

1 5 4 2 4 4 3

2 10 7 8 5 5 5

3 12 8 9 6 7 6

Umbasieren und Verketten bei zusammengesetzten Indexzahlen

I Bei zusammengesetzten Indexzahlen gilt im Allgemeinen nicht wie bei einfachen Indexzahlen die Verkettungseigenschaft

I _t

0

,t = I _t

_,t I _t

_,t

0

bzw. I _t

_,t = I _t

_,t

0

· I _t

0

,t .

⇒ Man kann zusammengesetzte Indexzahlen nicht einfach so umbasieren.

I Der Preisindex nach Fisher P _t ^F

_,t :=

q

P _t ^L

_,t · P _t ^P

_,t besitzt aber die Verkettungseigenschaft.

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Verkettung von Laspeyres-Indizes

I M¨ oglichkeit zur gelegentlichen Anpassung der Gewichte.

I Verkettungszeitpunkte t ₁ , t ₂ , . . . .

I F¨ ur t _k < t ≤ t _k+1 setzt man I _t = P _t ^L

k

,t · c (t _k ) .

I Der Verkettungsfaktor wird so gew¨ ahlt, dass kein Sprung zum Verkettungszeitpunkt t _k auftritt.

I c (t _k ) = P _t ^L

_,t

· c (t _k ) = I _t ^neu

= ^! I _t ^alt

= P _t ^L

_,t

· c (t k−1 )

I Rekursive Berechnung, Startwert c (t 0 ) = 1 .

I Beispiel

t ₀ t ₁ t ₂

P _t ^L

_,t 1 1,5 1,8 2

P _t ^L

_,t 1 1,1 1,2 1,25

P _t ^L

_,t 1 1,4

I t 1 1,5 1,8 2 2,2 2,4 2,5 3,5

Einige wichtige Indizes aus dem Bereich der Wirtschaft

I Verbraucherpreisindex.

I Index der Einzelhandelspreise.

I Index der Großhandelsverkaufspreise.

I Nominallohn- und Reallohnindizes.

I Deutscher Aktienindex (DAX).

I

Entsteht durch eine am verketteten Laspeyres-Index orientierten Gewichtung von 30 deutschen Aktien.

I

t

, 31.12.1987, Verkettungstermine t

im Vierteljahresrhythmus.

I

Berechnungsformel: DAX

=

30

P

i=1

q

(i)p

(i)c

(i)

30

P

i=1

q

(i)p

(i)

· K (t

) · 1000 .

I

q

(i): Grundkapital von Gesellschaft i zum Zeitpunkt t .

I

c

(i): Korrekturfaktor zur Bereinigung marktfremder Einfl¨ usse, wie Dividendenzahlungen oder Kapitalmaßnahmen von Gesellschaft i .

I

K (t

) - Verkettungsfaktor .

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