Statistik II f¨ur Betriebswirte Vorlesung 5

(1)

Statistik II f¨ ur Betriebswirte Vorlesung 5

Dr. Andreas W¨ unsche

TU Bergakademie Freiberg Institut f¨ur Stochastik

11. November 2019

Dr. Andreas W¨unsche Statistik II f¨ur Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 23. Oktober 2019 1

(2)

Beispiel 5.3: Jahreseinkommen

I

Jahreseinkommen in 1000 Dollar in Abh¨ angigkeit vom Typ der T¨ atigkeit und der Region der USA.

Quelle: A. D. Aczel, J. Sounderpandian : Complete Business Statistics, McGraw Hill, 2006, Aufgabe 9-42 .

I

T¨ atigkeit

Region Typ I Typ II Typ III

54, 61, 59, 48, 50, 49, 71, 76, 65,

Ost 56, 70, 62, 60, 54, 52, 70, 68, 62,

63, 57, 68 49, 55, 53 73, 60, 79

52, 50, 58, 44, 49, 54, 61, 64, 69,

Zentral 59, 62, 57, 53, 51, 60, 58, 57, 63,

58, 64, 61 55, 47, 50 65, 63, 50

63, 67, 68, 65, 58, 62, 82, 75, 79,

West 72, 68, 75, 70, 57, 61, 77, 80, 69,

62, 65, 70 68, 65, 73 84, 83, 76

(3)

Box-Plots nach Region f¨ ur Beispiel 5.3

Ost

West

Zentral

Box-and-Whisker Plot

44 54 64 74 84

Jahreseinkommen

Region

(4)

ANOVA-Tabelle nach Region f¨ ur Beispiel 5.3

Statgraphics:

ANOVA Table for Jahreseinkommen by Region

Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value Between groups 2520,99 2 1260,49 21,83 0,0000 Within groups 4504,15 78 57,7455

Total (Corr.) 7025,14 80

(5)

Box-Plots nach T¨ atigkeitstyp f¨ ur Beispiel 5.3

1

2

3

Box-and-Whisker Plot

44 54 64 74 84

Jahreseinkommen

Tätigkeitstyp

(6)

ANOVA-Tabelle nach T¨ atigkeitstyp f¨ ur Beispiel 5.3

Statgraphics:

ANOVA Table for Jahreseinkommen by Tätigkeitstyp

Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value Between groups 2499,43 2 1249,72 21,54 0,0000 Within groups 4525,7 78 58,0218

Total (Corr.) 7025,14 80

(7)

5.2 Zweifache Varianzanalyse (Zweifache Klassifikation)

I

Bei einer zweifachen Varianzanalyse wird die Abh¨ angigkeit eines Merkmals X von zwei Faktoren A und B , die jeweils p bzw. q Stufen annehmen k¨ onnen, untersucht.

I

Beispiele:

X A B

Jahreseinkommen Region Typ der T¨ atigkeit

Ertrag Weizensorte Bodentyp

Produktionsleistung Maschinentyp Bediener

I

Die Kombination jeder Stufe des Faktors A mit jeder Stufe des Faktors B ergibt p · q Unterklassen oder Zellen.

I

F¨ ur die Stufenkombination (i , j ) (Stufe i f¨ ur Faktor A und Stufe j f¨ ur den Faktor B) gibt es jeweils n

ij

Messwerte:

x

_ijk

, i = 1, . . . , p , j = 1, . . . , q, k = 1, . . . , n

_ij

.

(8)

Zweifache Varianzanalyse

I

Stimmen alle Anzahlen n

ij

¨ uberein, n

ij

= n , dann spricht man von einem balancierten Fall (”balanced design”; dann gibt es N = n p q Beobachtungen), im anderen Fall vom unbalancierten Fall

(”unbalanced design”).

I

Sind f¨ ur gewisse Stufenkombinationen keine Beobachtungswerte vorhanden, d.h. n

_ij

= 0 f¨ ur gewisse (i , j ) , dann spricht man von einem unvollst¨ andigen Fall (”incomplete design”) .

I

Liegen f¨ ur die Unterklassen n

_ij

(> 1) Wiederholungsmessungen vor, kommt man zu einer zweifachen Klassifikation mit mehrfacher Besetzung (oder mit Wiederholung).

I

Liegen f¨ ur die Unterklassen keine Wiederholungsmessungen vor, d.h.

gilt n ≡ n

_ij

= 1 , liegt eine zweifache Klassifikation mit einfacher

Besetzung (oder ohne Wiederholung) vor.

(9)

Zweifache Varianzanalyse, ohne Wechselwirkung, balanciert

I

Modellgleichung:

X

_ijk

= µ + α

_i

+ β

_j

+ ε

_ijk

, i = 1, . . . , p, j = 1, . . . , q , k = 1, . . . , n , mit µ allgemeiner Mittelwert (Erwartungswert);

α

_i

Effekte der Stufen von A ; β

j

Effekte der Stufen von B ; ε

_ijk

zuf¨ allige Fehler .

I

Es gelten die Reparametrisierungsbedingungen

α

1

+ . . . + α

p

= 0 ; β

1

+ . . . + β

q

= 0 .

I

Voraussetzung: Die Zufallsgr¨ oßen ε

_ijk

sind unabh¨ angig und identisch verteilt nach N(0, σ

²

) mit unbekanntem σ

²

.

I

Hypothesen:

H

₀^A

: α

1

= . . . = α

p

= 0 gegen H

_A^A

: α

i

6= 0 f¨ ur mind. ein i ; H

₀^B

: β

1

= . . . = β

q

= 0 gegen H

_A^B

: β

j

6= 0 f¨ ur mind. ein j .

(10)

Mittelwerte zum F-Test (balancierter Fall)

I

Gesamt-Mittelwert:

X

•••

= 1 N

q

X

j=1 p

X

i=1 n

X

k=1

X

_ijk

, N = n p q .

I

Mittelwert in der i-ten Stufe des Faktors A:

X

i••

= 1 nq

q

X

j=1 n

X

k=1

X

_ijk

, i = 1, . . . , p .

I

Mittelwert in der j -ten Stufe des Faktors B:

X

•j•

= 1 np

p

X

i=1 n

X

k=1

X

_ijk

, j = 1, . . . , q .

(11)

Mittelwerte f¨ ur Beispiel 5.3 Jahreseinkommen

Statgraphics:

Analysis of Variance for Jahreseinkommen - Type I Sums of Squares Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value MAIN EFFECTS

A:Region 2520,99 2 1260,49 47,79 0,0000 B:Tätigkeitstyp 2499,43 2 1249,72 47,38 0,0000 RESIDUAL 2004,72 76 26,3778

TOTAL (CORRECTED)

7025,14 80

All F-ratios are based on the residual mean square error.

Table of Least Squares Means for Jahreseinkommen with 95,0% Confidence Intervals

Stnd. Lower Upper Level Count Mean Error Limit Limit GRAND MEAN 81 62,6173

Region

Ost 27 60,8889 0,988411 58,9203 62,8575 West 27 70,1481 0,988411 68,1796 72,1167 Zentral 27 56,8148 0,988411 54,8462 58,7834 Tätigkeitstyp

1 27 62,2593 0,988411 60,2907 64,2279

2 27 56,0 0,988411 54,0314 57,9686

3 27 69,5926 0,988411 67,624 71,5612

(12)

Streuungszerlegung beim F-Test (balancierter Fall)

I

Gesamt-Streuung (Totale Quadratsumme):

SST = SSA + SSB + SSR

I

Quadratsummen der Faktoren:

SSA = nq

p

X

i=1

(X

i••

− X

•••

)

²

(Unterschiede zw. den Stufen von A)

SSB = np

q

X

j=1

(X

•j•

− X

•••

)

²

(Unterschiede zw. den Stufen von B)

I

Totale Quadratsumme und Restquadratsumme:

SST =

p

X

i=1 q

X

j=1 n

X

k=1

(X

_ijk

− X

•••

)

²

(Totale Quadratsumme)

SSR =

p

X

i=1 q

X

j=1 n

X

k=1

(X

ijk

− X

i••

− X

•j•

+ X

•••

)

²

(Restquadratsumme)

(13)

F-Test (balancierter Fall)

I

Hypothesen:

H

₀^A

: α

₁

= . . . = α

_p

= 0 gegen H

_A^A

: α

_i

6= 0 f¨ ur mind. ein i und

H

₀^B

: β

1

= . . . = β

q

= 0 gegen H

_A^B

: β

j

6= 0 f¨ ur mind. ein j .

I

Gemittelte Quadratsummen:

MSA = SSA

p − 1 , MSB = SSB

q − 1 und MSR = SSR N − p − q + 1 .

I

Testgr¨ oßen: T

_A

= MSA

MSR und T

_B

= MSB MSR .

I

Kritische Bereiche:

K

A

= {t ∈ R : t > F

p−1;N−p−q+1;1−α

} f¨ ur T

A

und K

_B

= {t ∈ R : t > F

q−1;N−p−q+1;1−α

} f¨ ur T

_B

.

(14)

ANOVA-Tabelle (ANOVA-Tafel) (balancierter Fall)

Quelle der Summe der Freiheits- Mittlere

Variation Quadrate grade Quadrate Testgr¨ oße Zwischen

Stufen SSA p − 1 MSA T

_A

= MSA

MSR von A

Zwischen

Stufen SSB q − 1 MSB T

_B

= MSB

von B MSR

Rest SSR N − p − q + 1 MSR

Gesamt-

streuung SST N − 1

Dabei gilt N = n · p · q .

(15)

ANOVA-Tafel f¨ ur Beispiel 5.3 Jahreseinkommen

Statgraphics:

Analysis of Variance for Jahreseinkommen - Type I Sums of Squares Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value MAIN EFFECTS

A:Region 2520,99 2 1260,49 47,79 0,0000 B:Tätigkeitstyp 2499,43 2 1249,72 47,38 0,0000 RESIDUAL 2004,72 76 26,3778

TOTAL (CORRECTED)

7025,14 80

All F-ratios are based on the residual mean square error.

Table of Least Squares Means for Jahreseinkommen with 95,0% Confidence Intervals

Stnd. Lower Upper

Level Count Mean Error Limit Limit

GRAND MEAN 81 62,6173 Region

Ost 27 60,8889 0,988411 58,9203 62,8575

West 27 70,1481 0,988411 68,1796 72,1167 Zentral 27 56,8148 0,988411 54,8462 58,7834 Tätigkeitstyp

1 27 62,2593 0,988411 60,2907 64,2279

2 27 56,0 0,988411 54,0314 57,9686

3 27 69,5926 0,988411 67,624 71,5612

(16)

Sch¨ atzungen: Gesamterwartungswert und Effekte (balancierter Fall)

I

Gesamterwartungswert:

ˆ

µ = X

•••

.

I

Effekt vom Faktor A auf Stufe i : ˆ

α

i

= X

i••

− X

•••

.

I

Effekt vom Faktor B auf Stufe j :

β ˆ

j

= X

•j•

− X

•••

.

I

Im Beispiel 5.3:

ˆ

µ = 62.6173 , ˆ

α

1

= −1.7284 , α ˆ

2

= 7.5308 , α ˆ

3

= −5.8025 ,

β ˆ

₁

= −0.358 , β ˆ

₂

= −6.6173 , β ˆ

₃

= 6.9753 .

(17)

Modell der zweifachen Varianzanalyse mit Wechselwirkung, balanciert

I

Modellgleichung:

X

_ijk

= µ + α

_i

+ β

_j

+ γ

_ij

+ ε

_ijk

,

(i = 1, . . . , p, j = 1, . . . , q, k = 1, . . . , n) µ allgemeiner Mittelwert (Erwartungswert);

α

_i

Effekte der Stufen von A ; β

j

Effekte der Stufen von B ;

γ

_ij

Effekt durch Wechselwirkung von A und B ; ε

_ijk

zuf¨ allige Fehler .

I

Es gelten die Reparametrisierungsbedingungen

α

₁

+ . . . + α

_p

= 0 ; β

₁

+ . . . + β

_q

= 0 ; γ

_i₁

+ . . . + γ

_iq

= 0 f¨ ur i = 1, . . . , p ; γ

1j

+ . . . + γ

pj

= 0 f¨ ur j = 1, . . . , q .

(18)

Voraussetzung, Hypothesen F −Test (balancierter Fall)

I

Voraussetzung: Die Zufallsgr¨ oßen

ε

_ijk

, i = 1, . . . , p , j = 1, . . . , q , k = 1, . . . , n

sind unabh¨ angig und normalverteilt mit Erwartungswert 0 und einer

¨ ubereinstimmenden Varianz σ

²

(die unbekannt ist).

I

Hypothesen:

H

₀^A

: α

1

= . . . = α

p

= 0 gegen H

_A^A

: α

_i

6= 0 f¨ ur mind. ein i und

H

₀^B

: β

₁

= . . . = β

_q

= 0 gegen H

_A^B

: β

_j

6= 0 f¨ ur mind. ein j und

H

₀^AB

: γ

11

= . . . = γ

pq

= 0 gegen H

_A^AB

: γ

ij

6= 0

f¨ ur mind. ein (i , j ) .

(19)

Mittelwerte zum F-Test (balancierter Fall)

I

Gesamt-Mittelwert:

X

•••

= 1 N

q

X

j=1 p

X

i=1 n

X

k=1

X

_ijk

, N = n · p · q .

I

Mittelwerte der Stufen der Faktoren:

Faktor A : X

i••

= 1 nq

q

X

j=1 n

X

k=1

X

ijk

,

Faktor B : X

•j•

= 1 np

p

X

i=1 n

X

k=1

X

_ijk

.

I

Mittelwert in der i-ten Sufe des Faktors A und der j -ten Stufe des Faktors B :

X

ij•

= 1 n

n

X

k=1

X

_ijk

.

(20)

Mittelwerte f¨ ur Beispiel 5.3 (Statgraphics)

Analysis of Variance for Jahreseinkommen - Type I Sums of Squares Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value MAIN EFFECTS

A:Region 2520,99 2 1260,49 50,64 0,0000 B:Tätigkeitstyp 2499,43 2 1249,72 50,21 0,0000 INTERACTION

S

AB 212,716 4 53,179 2,14 0,0850

RESIDUAL 1792,0 72 24,8889

TOTAL (CORRECTED)

7025,14 80

All F-ratios are based on the residual mean square error.

Table of Least Squares Means for Jahreseinkommen with 95,0% Confidence Intervals

Stnd. Lower Upper

Level Count Mean Error Limit Limit

GRAND MEAN 81 62,6173 Region

Ost 27 60,8889 0,96011 58,9749 62,8028

West 27 70,1481 0,96011 68,2342 72,0621

Zentral 27 56,8148 0,96011 54,9009 58,7288 Tätigkeitstyp

1 27 62,2593 0,96011 60,3453 64,1732

2 27 56,0 0,96011 54,0861 57,9139

3 27 69,5926 0,96011 67,6786 71,5065

Region by Tätigkeitstyp

Ost,1 9 61,1111 1,66296 57,7961 64,4262

Ost,2 9 52,2222 1,66296 48,9072 55,5373

Ost,3 9 69,3333 1,66296 66,0183 72,6484

West,1 9 67,7778 1,66296 64,4627 71,0928 West,2 9 64,3333 1,66296 61,0183 67,6484 West,3 9 78,3333 1,66296 75,0183 81,6484 Zentral,1 9 57,8889 1,66296 54,5738 61,2039 Zentral,2 9 51,4444 1,66296 48,1294 54,7595 Zentral,3 9 61,1111 1,66296 57,7961 64,4262

(21)

Streuungszerlegung beim F-Test (balancierter Fall)

I

Gesamt-Streuung (Totale Quadratsumme):

SST = SSA + SSB + SS(AB) + SSR .

I

Totale Quadratsumme und Quadratsummen der Faktoren:

SST , SSA und SSB wie im Modell ohne Wechselwirkung, balanciert (siehe Folie 12).

I

Quadratsumme der Wechselwirkungen:

SS(AB) = n

p

X

i=1 q

X

j=1

(X

_ij•

− X

i••

− X

•j•

+ X

•••

)

²

.

I

Rest Quadratsumme:

SSR =

p

X

i=1 q

X

j=1 n

X

k=1

(X

_ijk

− X

_ij•

)

²

.

(22)

Testgr¨ oßen und kritische Bereiche (balancierter Fall)

I

Gemittelte Quadratsummen:

MSA = SSA

p − 1 , MSB = SSB

q − 1 , MS(AB) = SS(AB) (p − 1)(q − 1)

und MSR = SSR

N − pq .

I

Testgr¨ oßen:

T

_A

= MSA

MSR , T

_B

= MSB

MSR und T

_AB

= MS(AB) MSR .

I

Kritische Bereiche:

K

A

= {t ∈ R : t > F

p−1;N−pq;1−α

} f¨ ur T

A

und

K

_B

= {t ∈ R : t > F

q−1;N−pq;1−α

} f¨ ur T

_B

und

K

_AB

= {t ∈ R : t > F

(p−1)(q−1);N−pq;1−α

} f¨ ur T

_AB

.

(23)

ANOVA-Tabelle (balancierter Fall)

Quelle der Summe der Freiheits- Mittlere

Variation Quadrate grade Quadrate Testgr¨ oße Zwischen

Stufen SSA p − 1 MSA T

_A

= MSA

MSR von A

Zwischen

Stufen SSB q − 1 MSB T

_B

= MSB

von B MSR Wechsel-

wirkung SS(AB) (p − 1)(q − 1) MS(AB) T

_AB

= MS(AB) zw. A, B MSR

Rest SSR N − pq MSR

Gesamt-

streuung SST N − 1

(24)

ANOVA-Tafel f¨ ur Beispiel 5.3 Jahreseinkommen

Statgraphics:

Analysis of Variance for Jahreseinkommen - Type I Sums of Squares Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value MAIN EFFECTS

A:Region 2520,99 2 1260,49 50,64 0,0000 B:Tätigkeitstyp 2499,43 2 1249,72 50,21 0,0000 INTERACTION

S

AB 212,716 4 53,179 2,14 0,0850

RESIDUAL 1792,0 72 24,8889

TOTAL (CORRECTED)

7025,14 80

All F-ratios are based on the residual mean square error.

Table of Least Squares Means for Jahreseinkommen with 95,0% Confidence Intervals

Stnd. Lower Upper

Level Count Mean Error Limit Limit

GRAND MEAN 81 62,6173 Region

Ost 27 60,8889 0,96011 58,9749 62,8028

West 27 70,1481 0,96011 68,2342 72,0621

Zentral 27 56,8148 0,96011 54,9009 58,7288 Tätigkeitstyp

1 27 62,2593 0,96011 60,3453 64,1732

2 27 56,0 0,96011 54,0861 57,9139

3 27 69,5926 0,96011 67,6786 71,5065

Region by Tätigkeitstyp

Ost,1 9 61,1111 1,66296 57,7961 64,4262

Ost,2 9 52,2222 1,66296 48,9072 55,5373

Ost,3 9 69,3333 1,66296 66,0183 72,6484

West,1 9 67,7778 1,66296 64,4627 71,0928

West,2 9 64,3333 1,66296 61,0183 67,6484

West,3 9 78,3333 1,66296 75,0183 81,6484

Zentral,1 9 57,8889 1,66296 54,5738 61,2039 Zentral,2 9 51,4444 1,66296 48,1294 54,7595 Zentral,3 9 61,1111 1,66296 57,7961 64,4262

(25)

Wechselwirkungs-Diagramm (Interaction Plot) Beispiel 5.3 Jahreseinkommen (Statgraphics)

(26)

Sch¨ atzung der Wechselwirkungseffekte (balancierter Fall)

I

Wechselwirkungseffekt Faktor A auf Stufe i und Faktor B auf Stufe j :

ˆ

γ

ij

= X

ij•

− X

i••

− X

•j•

+ X

•••

.

I

Im Beispiel 5.3:

ˆ

γ

₁₁

= 0.5802 , ˆ γ

₁₂

= −2.0494 , ˆ γ

₁₃

= 1.4691, ˆ

γ

₂₁

= −2.0123 , ˆ γ

₂₂

= 0.8025 , ˆ γ

₂₃

= 1.2099 , ˆ

γ

31

= 1.4321 , ˆ γ

32

= 1.2469 , ˆ γ

33

= −2.679 .

(27)

Friedman-Test

I

Ausgangspunkt:

Stichprobe i Block j 1 2 3 . . . c

1 x

11

x

21

x

31

. . . x

c1

2 x

₁₂

x

₂₂

x

₃₂

. . . x

_c2

3 x

₁₃

x

₂₃

x

₃₃

. . . x

_c3

.. . .. . .. . .. . . .. .. .

n x

_1n

x

_2n

x

_3n

. . . x

_cn

I

Es liegen c verbundene ( abh¨ angige ) Stichproben vom Umfang n vor. Die Daten werden in n Bl¨ ocken (Objekte, Individuen) erfasst und jeder Block umfasst f¨ ur jede der c Stichproben einen

Stichprobenwert. Damit liegen die Daten wie bei der zweifachen Klassifikation mit einfacher Besetzung vor.

(28)

Modell und Hypothesen f¨ ur den Friedman-Test

I

Modell:

X

_ij

= µ + α

_i

+ β

_j

+ ε

_ij

, i = 1, . . . , c , j = 1, . . . , n ; α

_i

ist der zu untersuchende Stichprobeneffekt und β

_j

ein unbekannter Blockeffekt.

I

Es wird jetzt nur vorausgesetzt, dass die Zufallsgr¨ oßen ε

_ij

unabh¨ angig und identisch verteilt mit stetiger Verteilung sind.

I

Hypothesen:

H

₀

: α

₁

= . . . = α

_c

= 0 gegen H

_A

: α

_i

6= 0 f¨ ur mind. ein i .

I

Unterschied zum Kruskal-Wallis-Test:

Im zugrunde liegenden Modell des Kruskal-Wallis-Tests X

ij

= µ + α

i

+ ε

ij

, i = 1, . . . , p , j = 1, . . . , n , werden die zeilenweisen Unterschiede allein durch zuf¨ allige

Schwankungen erkl¨ art, w¨ ahrend im Modell f¨ ur den Friedman-Test

noch ein Block-Effekt ber¨ ucksichtigt wird.

(29)

Testgr¨ oße und kritischer Bereich f¨ ur den Friedman-Test

I

Zum Test werden Rangzahlen in jedem Block (Zeile) nach den

¨ ublichen Regeln vergeben. Diese werden mit r

_ij

bezeichnet, d.h. f¨ ur den Block j erh¨ alt man die Werte r

1j

, . . . , r

cj

, die alle im Bereich von 1 bis c liegen.

I

Dann werden die Rangzahlensummen in jeder Stichprobe berechnet, R

i

=

n

X

j=1

r

ij

, j = 1, . . . , c .

I

Testgr¨ oße ohne Bindungen:

T = 12 nc(c + 1)

c

X

i=1

R

_i²

− 3n(c + 1) .

I

Gibt es in den beobachteten Daten Bindungen, so ist die Testgr¨ oße durch einen Korrekturfaktor zu modifizieren.

I

Kritischer Bereich: (asympt.) K = {t ∈ R : t > χ

²_c−1;1−α

} .

(30)

Beispiel 5.4 Krebs erzeugende Substanz in Zigarettensorten

Quelle: J. Hartung : Statistik, Oldenbourg Verlag 2009, Kap. XI , Abschnitt 2.1 .

Gehalt in Zigarettensorte i

1 2 3 4

Labor j x

1j

r

1j

x

2j

r

2j

x

3j

r

3j

x

4j

r

4j

1 3 2 6 4 5 3 1 1

2 7 2 21 4 12 3 5 1

3 5 2 17 4 8 3 3 1

4 24 4 14 3 4 2 1 1

5 6 1 19 4 13 3 7 2

6 3 2 13 4 6 3 1 1

R

_i

13 23 17 7

T = 12

6 · 4 · 5 13

²

+ 23

²

+ 17

²

+ 7

²

− 3 · 6 · 5 = 13.6 > 7.81 = χ

²_3;0.95

(31)

Friedman-Test (Statgraphics in deutsch) f¨ ur Beispiel 5.4

Friedman-Test in Statgraphics:

Vergleichen → Mehrere Stichproben → Vergleich mehrerer Stichproben...

F¨ ur den Friedman-Test m¨ ussen die Daten in mehrere Datenspalten aufgeteilt sein.

Im Auswahlfenster f¨ ur Tabellen und Grafiken unter TABELLEN Kruskal-Wallis- und Friedman-Test aktivieren

Rechtsklick ins Ergebnisfenster ”Kruskal-Wallis-Test” → unter Ergebnisfenster-Optionen... Friedman-Test ausw¨ ahlen

Friedman-Test

St.pr.umfang Mittlerer Rang

Sorte1 6 2,16667

Sorte2 6 3,83333

Sorte3 6 2,83333

Sorte4 6 1,16667

Teststatistik = 13,6 p-Wert = 0,00350325

Der StatAdvisor

Der Friedman-Test überprüft die Null-Hypothese, dass die Mediane innerhalb der 4 Spalten alle gleich sind. Die Daten in jeder Zeile werden in eine Rangfolge vom kleinsten zum größten Wert gebracht. Anschließend wird für jede Spalte die mittlere Rangzahl berechnet. Da der p-Wert kleiner ist als 0,05, existiert ein statistisch signifikanter Unterschied zwischen den Medianen bei einem 95,0%-Konfidenzniveau. Um herauszufinden, welcher der Mediane sich signifikant von anderen unterscheidet, wählen Sie das Box-Whisker-Plot aus der Liste der Grafiken und verwenden die Option