Statistik II f¨ur Betriebswirte Vorlesung 13

(1)

Statistik II f¨ ur Betriebswirte Vorlesung 13

Dr. Andreas W¨ unsche

TU Bergakademie Freiberg Institut f¨ur Stochastik

20. Januar 2020

(2)

8. Stichprobenpl¨ ane zur Qualit¨ atskontrolle

I

Eingangs- und Endkontrolle

I Ziel: F¨ur Empf¨anger und Lieferanten ist sicherzustellen, dass die Ware den vereinbarten Bedingungen entspricht.

⇒ Ein Test, ob eine gewisse Ausschusswahrscheinlichkeitp¨uberschritten wird oder nicht, ist erforderlich.

I Als Testgröße dafür bietet sich die zufällige Anzahl der AusschussstückeX in einer Stichprobe an.

I Problem: Bestimmung des erforderlichenStichprobenumfanges n und derAnnahmezahlc, d.h. einesStichprobenplanes (n,c), so dass dasProduzentenrisiko(d.h. die Ablehnung eines guten Postens) und dasKonsumentenrisiko (d.h. die Annahme eines schlechten Postens) vorgegeben klein sind. Der Stichprobenumfang sollte aus

Kostengr¨unden so klein wie m¨oglich sein.

I

Laufende Kontrolle einer Produktion, um zu pr¨ ufen, ob

Parameter der Produkte innerhalb vorgeschriebener Grenzen liegen

(z.B. unter Nutzung sogenannter Kontrollkarten).

(3)

Ideales Pr¨ ufverfahren

I

Ein ideales Pr¨ ufverfahren (bei dem keine Fehlentscheidungen getroffen werden) w¨ are eine fehlerfreie Totalkontrolle (d.h. eine fehlerfreie Kontrolle aller Teile des Postens).

I

Dies ist aber sehr oft nicht m¨ oglich oder nicht sinnvoll, wenn z.B.

I zerst¨orende Kontrollenangewendet werden;

I keine sorgf¨altige, durch geschultes Personal durchgef¨uhrte

Untersuchung m¨oglich w¨are, bedingt durch die zu große Anzahl der zu kontrollierenden Teile;

I die Kosten f¨ur eine solche Kontrolle zu hoch w¨aren.

(4)

8.1 Einstufige (n, c )-Stichprobenpl¨ ane

I

Geg.: Grundgesamtheit (=

” Los“,

” Posten“) vom Umfang N , darunter M Ausschussst¨ ucke (M ist unbekannt) .

I

Damit ist

p

=

M

N

ein unbekannter Ausschussanteil bzw. eine unbekannte Ausschusswahrscheinlichkeit .

I

Ein Posten mit einer Ausschusswahrscheinlichkeit von h¨ ochstens

pα

ist

gut

und sollte mit großer Wahrscheinlichkeit angenommen werden.

I

Ein Posten mit einer Ausschusswahrscheinlichkeit von mindestens

p_β

ist

schlecht

und sollte mit geringer Wahrscheinlichkeit angenommen werden.

I

Dabei muss gelten: p

_α <

p

_β

.

I

Es werden die folgenden zusammengesetzten Hypothesen getestet:

H

₀

: p

≤

p

_α

gegen H

_A

: p

≥

p

_β.

(5)

Verteilung der Testgr¨ oße und Approximationen

I

Testvorschrift: Ziehe Stichprobe vom Umfang

n

. Die zuf¨ allige Anzahl der schlechten St¨ ucke

X

in der Stichprobe ist dann die Testgr¨ oße.

I

Verteilung der Testgr¨ oße: X

∼Hyp(N,

M

,

n) Hypergeometrische Verteilung.

I

Es werden auch Approximationen genutzt:

I Approximation durch die Binomialverteilung:

Hyp(N,M,n)≈Bin

n,M N

, falls n≤ N 20;

I Poissonapproximation:

Bin(n,p)≈Poi(np) , falls p≤0.05,n≥30 ;

I Normalverteilungsapproximation:

Bin(n,p)≈N(np,np(1−p)) , falls np(1−p)>9 ; (Satz von Moivre-Laplace als Form des zentralen Grenzwertsatzes) .

(6)

Testentscheidung, G¨ utefunktion und OC-Funktion

I

Entscheidung: entsprechend der

” Annahmezahl

c“ :

x

≤

c

⇒

Annahme des Postens (des Loses, der Lieferung) ; x

>

c

⇒

Ablehnung des Postens (des Loses, der Lieferung) .

I

Problem: Bestimmung des einstufigen Stichprobenplanes (n,

c)

.

I

Hilfsmittel: G¨ utefunktion oder Operationscharakteristik.

I

G¨ utefunktion dieses Testes, d.h.

g (p) = P (X

>

c

|p) = Ablehnwkt. des Postens in Abh. von

p

,

I

bzw. Operationscharakteristik (OC-Funktion, Annahmekennlinie) L(p) = P (X

≤

c

|p) = Annahmewkt. in Abh. von

p

.

I

Wegen: L(p ) = 1

−

g (p)

reicht es f¨ ur die weiteren Betrachtungen, die OC-Funktion zu nutzen.

(7)

OC-Funktion und ihre Approximationen

I

Zufallsgr¨ oße X : Anzahl der Ausschussst¨ ucke in der Stichprobe.

I

Wegen X

∼Hyp(N,

M, n)

,

L(p) = P(X

≤

c|p)

,

p = M N gilt

L(p) =

c

X

m=0 M m

_N−M

n−m

N n

=:

L_N,(n,c)

(p) und n¨ aherungsweise

≈

c

X

m=0

n m

p

^m

(1

−

p)

^n−m

=:

L_(n,c)

(p) falls n

≤

N 20 ;

≈

c

X

m=0

(np)

^m

m!

e^−np

=:

L^∗_(n,c)

(p) falls p

<

0.05

,

n

≥

30 ;

≈

Φ c + 0.5

−

np

p

np(1

−

p )

!

=:

L^∗∗_(n,c)

(p) falls np(1

−

p)

>

9

.

(8)

Allgemeines qualitatives Aussehen von OC-Funktionen

n = 500

,

c = 10

n = 500, c = 5 (rot) n

= 1000

, c

= 10 (blau) (Normalverteilungsapproximation)

Je gr¨ oßer n , desto

I

steiler ist die OC-Funktion;

I

kleiner werden die Wahrscheinlichkeiten f¨ ur Fehlentscheidungen;

I

teurer ist aber auch das Verfahren .

(9)

Bestimmung des Stichprobenplanes

I

Ein Stichprobenplan (n, c) ist bestimmbar, wenn man zwei Forderungen an die OC-Funktion stellt. ¨ Ublich sind z.B.

I die Vorgabe zweier Punkte der OC-Funktion (ab n¨achster Folie);

I die Vorgabe des Indifferenzpunktes und der Steilheit:

Indifferenzpunkt p0.5: Argument, bei dem der Funktionswert der OC-Funktion gleich 0.5 ist;

Steilheit h: Wert der 1. Ableitung der OC-Funktion beim Indifferenzpunkt.

(zur Bestimmung von (n,c) in diesem Fall siehe Literatur).

(10)

Vorgabe zweier Punkte der OC-Funktion

I

Forderung des Produzenten: Die Ablehnung eines

guten Postens

(die Ausschussquote betr¨ agt h¨ ochstens

pα

) darf h¨ ochstens mit Wahrscheinlichkeit

α

, dies ist das

Produzentenrisiko, passieren, d.h.

g (p

α

)

≤α

und damit

L(p

α

)

≥

1

−α .

(1)

I

Forderung des Konsumenten: Die Annahme eines

schlechten Postens

(die Ausschussquote betr¨ agt mindestens

p_β

) darf h¨ ochstens mit Wahrscheinlichkeit

β

, dies ist das

Konsumentenrisiko,

passieren, d.h.

L(p

_β

)

≤β .

(2)

I

Durch diese zwei Bedingungen (1) und (2) wird die gew¨ unschte

Steilheit der OC-Funktion erreicht.

(11)

8.1.1 Poissonverteilungsapproximation

I

Man nutzt folgenden Zusammenhang zwischen Poisson- und

χ²−Verteilung:

Seien X

∼Poi(λ) und

Y

∼χ²_2m

, dann gilt:

P(X

≥

m) = P (Y

≤

2λ)

.

I

Es ist also (wobei X

∼Poi(np),

Y

∼χ²_2(c+1)

)

L

^∗_(n,c)

(p) = P (X

≤

c ) = 1

−

P (X

≥

c + 1) = 1

−

P (Y

≤

2np)

.

I

Folglich gilt (1):

L

^∗_(n,c)

(p

α

)

≥

1

−α ⇔

P (Y

≤

2np

α

)

≤α

⇔

2np

_α≤χ²_2(c+1);α.

I

Analog gilt (2): L

^∗_(n,c)

(p

β

)

≤β ⇔

2np

β ≥χ²_{2(c+1);1−β}

.

(12)

Stichprobenplan bei Poissonverteilungsapproximation

I

Ergebnis: L

^∗_(n,c)

erf¨ ullt sowohl die Produzenten- (1) als auch die Konsumentenbedingung (2) genau dann, wenn

χ²_{2(c+1);1−β}

2p

_β ≤

n

≤ χ²_2(c+1);α

2p

_α .

I

Vorgehen bei L¨ osung: Man w¨ ahlt das kleinste c

∈N0

mit

χ²_{2(c+1);1−β}

2p

_β < χ²_2(c+1);α

2p

_α

und in diesem Intervall dann das kleinste n

∈N

.

(13)

Beispiel 8.1 bei Approximation mit der Poissonverteilung

I

Beispiel 8.1:

α

= 0.1 ;

β

= 0.1 ; p

α

= 0.01 ; p

β

= 0.03 .

I

Suchen das kleinste c, so dass

χ²_{2(c+1);1−β}

2p

β

=

χ²_2(c+1);0.9

0.06

< χ²_2(c+1);0.1

0.02 =

χ²_2(c+1);α

2p

α

:

c 0 1 2 3 4 5

χ²_2(c+1);0.9

0.06 76.8 129.7 177.3 222.7 266.5

309.2

χ²_2(c+1);0.1

0.02 10.6 53.2 110.0 174.5 243.5

315.0

⇒

Der kleinste g¨ ultige Wert f¨ ur c ist

c

= 5 und die kleinste nat¨ urliche

Zahl zwischen 309.2 und 315.0 ist dann

n

= 310 .

(14)

8.1.2 Normalverteilungsapproximation

I

Benutzt man die Normalverteilungsapproximation L

^∗∗_(n,c)

f¨ ur die Bedingungen an die Risiken, m¨ ussen gelten:

(1):

Φ c + 0.5

−

np

α

p

np

_α

(1

−

p

_α

)

!

≥

1

−α ⇔

c + 0.5

−

np

α

p

np

_α

(1

−

p

_α

)

≥

z

1−α

⇔

c + 0.5

−

np

α≥

z

1−α

p

np

α

(1

−

p

α

) (2):

Φ c + 0.5

−

np

_β p

np

_β

(1

−

p

_β

)

!

≤β ⇔

c + 0.5

−

np

_β

p

np

_β

(1

−

p

_β

)

≤

z

β

=

−z_1−β

⇔ −c −

0.5 + np

_β ≥

z

1−β

q

np

_β

(1

−

p

_β

)

.

(15)

Stichprobenplan bei Normalverteilungsapproximation

I

Addiert man beide Ungleichungen erh¨ alt man n(p

_β−

p

_α

)

≥

z

1−α

p

np

_α

(1

−

p

_α

) + z

1−β

q

np

_β

(1

−

p

_β

)

I

Hieraus ergibt sich f¨ ur n

n

≥

"

z

1−α

p

_α

(1

−

p

_α

) + z

1−β

p

_β

(1

−

p

_β

) p

_β−

p

_α

#2

.

I

Stellt man beide Ungleichungen nach c um, so erh¨ alt man:

np

α

+ z

1−α

p

np

α

(1

−

p

α

)

−

0.5

≤

c

≤

np

_β−

z

1−β

q

np

_β

(1

−

p

_β

)

−

0.5

.

(16)

Beispiel 8.1 bei Approximation mit der Normalverteilung

I

Beispiel 8.1:

α

= 0.1 ;

β

= 0.1 ; p

α

= 0.01 ; p

β

= 0.03 .

⇒

n

≥

"

1.282

·√

0.01

·

0.99 + 1.282

·√

0.03

·

0.97 0.02

#2

= 299.7 .

I

n 300 . . . 312 313

np

α

+ z

1−α

p

np

α

(1

−

p

α

)

−

0.5 4.709 . . . 4.873 4.887 np

_β−

z

1−β

p

np

_β

(1

−

p

_β

)

−

0.5 4.712 . . . 4.997 5.021 (Man erh¨ oht n

≥

300 solange, bis das Intervall ein ganzzahliges c enth¨ alt.)

⇒

(n, c)-Stichprobenplan:

n

= 313

, c

= 5 .

I

Bemerkung: In diesem Beispiel liefert die Normalverteilung noch keine sehr gute Approximation, da z.B. f¨ ur p

_α

= 0.01 die

Forderung np

α

(1

−

p

α

)

>

9 erst f¨ ur n

≥

910 erf¨ ullt ist !

(17)

8.1.3 Stichprobenpl¨ ane mit Statgraphics

I

Statgraphics arbeitet mit der hypergeometrischen Verteilung und nicht mit einer Poisson- oder Normalverteilungsapproximation.

I

In englischer/deutscher Version:

SPC

→

Acceptance Sampling

→

Attributes /

SPC

→

Stichprobenpl¨ ane f¨ ur Abnahmepr¨ ufung

→

Attributive Merkmale dort:

I ”OC/AOQL/LTPD plans”/

”OC/AOQL/LTPD Pl¨ane“ ausw¨ahlen;

I Lieferumfang (N) bei ”Lot size” /

”Losgr¨oße“ eintragen;

I α bei ”Producer’s risk (alpha)” /

”Produzentenrisiko (alpha)“

eintragen;

I β bei ”Consumer’s risk (beta)” /

”Konsumentenrisiko (beta)“

eintragen;

I pα bei ”Acceptance quality level (AQL)” /

”annehmbare Qualit¨atsgrenzlage“ eintragen;

I pβ bei ”Lot tolerance percent defective (LTPD)” /

”prozentuale Ausschußtoleranz f¨ur Lose“ eintragen;

I auf ”OK” dr¨ucken.

(18)

Beispiel 8.1 Statgraphics-Eingabe

Beispiel 8.1:

α

= 0.1 ;

β

= 0.1 ; p

α

= 0.01 ; p

β

= 0.03 .

F¨ ur die exakte Rechnung mit der hypergeometrischen Verteilung wird noch die Gr¨ oße des Postens ben¨ otig. Diese sei im Beispiel N = 100000.

Eingabe:

Acceptance Sampling for Attributes Lot size: 100000

Desired features Producer's risk (alpha): 10,0%

Consumer's risk (beta): 10,0%

Generated plan Sample size (n) = 307 Acceptance number (c) = 5 Plan attributes

Acceptable quality level (AQL): 1,0%

Producer's risk (alpha) = 8,9801%

Lot tolerance percent defective (LTPD): 3,0%

Consumer's risk (beta) = 9,96578%

Dr. Andreas W¨unsche Statistik II f¨ur Betriebswirte Vorlesung 13 Version: 14. Januar 2020 18

(19)

Beispiel 8.1 Statgraphics-Ergebnis

Acceptance Sampling for Attributes

Lot size: 100000 Desired features

Producer's risk (alpha): 10,0%

Consumer's risk (beta): 10,0%

Generated plan Sample size (n) = 307 Acceptance number (c) = 5 Plan attributes

(20)

Beispiel 8.1 OC-Funktion des Statgraphics-Ergebnisses

(21)

Analyse der Poissonverteilungsapproximation

Bei der Poissonverteilungsapproximation erh¨ alt man den (n, c)-Stichprobenplan mit

n

= 310 und

c

= 5 .

Eingabe:

Existing plan Sample size (n) = 310 Acceptance number (c) = 5 Plan attributes

(22)

Statgraphics-Ergebnis beim (n, c )-Plan der Poissonverteilungsapproximation

Acceptance Sampling for Attributes

Lot size: 100000

Existing plan

Sample size (n) = 310 Acceptance number (c) = 5

Plan attributes

Acceptable quality level (AQL): 1,0%

Producer's risk (alpha) = 9,29883%

Lot tolerance percent defective (LTPD): 3,0%

Consumer's risk (beta) = 9,48633%

(23)

Analyse der Normalverteilungsapproximation

Bei der Normalverteilungsapproximation erh¨ alt man den (n, c)-Stichprobenplan mit

n

= 313 und

c

= 5 .

Eingabe:

Existing plan Sample size (n) = 313 Acceptance number (c) = 5 Plan attributes