Statistik I f¨ur Betriebswirte Vorlesung 6

Statistik I f¨ ur Betriebswirte Vorlesung 6

Dr. Andreas W¨ unsche

TU Bergakademie Freiberg Institut f¨ur Stochastik

13. Mai 2019

1.7.2 Exponentialverteilung

I

Parameter: λ > 0 .

I

Zufallsgr¨ oße X mit Dichtefunktion f

bzw. Verteilungsfunktion F

f

(x) =

0 , x ≤ 0 ;

λe

, x > 0 ; F

(x) =

0 , x ≤ 0 ; 1 − e

, x > 0 .

I

Bezeichnung: X ∼ Exp(λ) .

I

Kenngr¨ oßen: EX =

, VarX =

und x

=

≈

.

I

Exponentialverteilte Zufallsgr¨ oßen nehmen nur nichtnegative Werte

an, daher sind sie prinzipiell zur Modellierung von zuf¨ alligen

Lebensdauern oder Wartezeiten geeignet.

Exponentialverteilung II

Beispiel: λ = 0.5 (blau), λ = 1 (rot), λ = 2 (schwarz)

0 1 2 3 4 5 6

0.00.51.01.52.0

Dichtefunktionen Exponentialverteilung

x

Beispielaufgabe 1.16 zur Exponentialverteilung

Die zuf¨ allige Lebensdauer eines Bauteils sei exponentialverteilt, dabei betrage die erwartete Lebensdauer 3 Jahre.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Bauteil l¨ anger als 6 Jahre

funktioniert ?

Exponentialverteilung als Lebensdauerverteilung

I

Wird die zuf¨ allige Lebensdauer eines Bauteils durch eine Exponentialverteilung modelliert, dann werden Alterungseffekte nicht mit ber¨ ucksichtigt (sogenannte Ged¨ achtnislosigkeit der Exponentialverteilung).

I

Angenommen, das Bauteil hat schon das Alter x

> 0 erreicht.

Dann gilt f¨ ur die Restlebensdauer X

und x > 0

P (X

> x) = P (X > x

+ x|X > x

) = P (X > x

+ x) P (X > x

)

=

I

Damit kann die Exponentialverteilung als Lebensdauerverteilung nur

dann ein gutes Modell sein, wenn ¨ außere Ereignisse das Leben

beenden und keine Alterung vorliegt.

1.7.3 Gammaverteilung

I

Parameter: λ > 0, p > 0 .

I

Dichtefunktion: f

(x) =

( 0 , x ≤ 0 ;

λ^p

Γ(p)

x

e

, x > 0 .

I

Gammafunktion:

Γ(1) = 1 , Γ(p ) = (p − 1)Γ(p − 1) ⇒ Γ(n) = (n − 1)! f¨ ur n ∈ N . Allgemeine Definition: Γ(p) =

Z

e

t

dt (p > 0) .

I

Bezeichnung: X ∼ Gam(p, λ) .

I

Kenngr¨ oßen: EX =

und VarX =

.

I

Spezialfall: p = n ∈ N ⇒ Erlangverteilung.

Gammaverteilung II

Beispiele: p = 2 , λ = 0.5 (blau), λ = 1 (rot), λ = 2 (schwarz);

0 2 4 6 8 10

0.00.20.40.6

Dichtefunktionen Gammaverteilung

x

Gammaverteilung III

Beispiele: λ = 1 , p = 0.9 (blau), p = 2 (rot), p = 5 (schwarz)

0 2 4 6 8 10

0.00.20.40.60.81.0

Dichtefunktionen Gammaverteilung

x

Gammaverteilung IV

I

Anwendung: Lebensdauerverteilung, flexibler als die

Exponentialverteilung (diese ergibt sich als Spezialfall f¨ ur p = 1) . Eigenschaften:

I

X

∼ Gam(p

, λ) , i = 1, 2 , unabh. ⇒ X

+ X

∼ Gam(p

+ p

, λ) .

I

X

∼ Exp(λ) , i = 1, ..., n , unabh. ⇒ X

+ . . . + X

∼ Gam(n, λ) .

I

Beispiel:

X

∼ Exp 1

2

, i = 1, ..., 100 , unabh¨ angig ,

⇒ S

=

100

X

i=1

X

∼ Gam

100, 1 2

,

Zentraler GWS ⇒ S

=

100

X

i=1

X

∼

N(200, 400) .

Beispiel 1.17 zentraler Grenzwertsatz

150 200 250

0.0000.0050.0100.0150.020

Zentrale Grenzwertsatz (Dichtefunktionen)

x

µ =200, σ =20 Sn~Gam(p, λ) ^mit:

p=100, λ =1 2

Y~N(µ, σ²) ^mit:

1.7.4 Stetige Gleichverteilung

I

Parameter: endliches Intervall [a, b] ⊂ R .

I

Zufallsgr¨ oße X mit Dichtefunktion f

bzw. Verteilungsfunktion F

f

(x) =

b−a

, a ≤ x ≤ b ;

0 , sonst ; F

(x) =







0 , x < a ;

x−a

b−a

, a ≤ x ≤ b ; 1 , x > b .

I

Bezeichnung: X ∼ U[a, b] .

I

Kenngr¨ oßen: EX =

= x

und VarX =

.

I

F¨ ur Teilintervalle [c , d ] ⊂ [a, b] gilt P (c ≤ X ≤ d ) = d − c

b − a = L¨ ange von [c , d ] L¨ ange von [a, b]

(wird genutzt bei der geometrischen Wahrscheinlichkeitsdefinition).

Stetige Gleichverteilung II

I

Beispiel 1.2: a = 0, b = 1 ,

Dichtefunktion f

(links) und Verteilungsfunktion F

(rechts) .

I

Um zuf¨ allige Modelle am Computer zu realisieren, erzeugen

Rechnerprogramme Pseudozufallszahlen (auch kurz Zufallszahlen

genannt), die sich wie Realisierungen von unabh¨ angigen, auf dem

Intervall [0, 1] gleichverteilten Zufallsgr¨ oßen verhalten. Diese werden

bei Monte-Carlo-Simulationen verwendet.

1.7.5 Weibullverteilung

I

Parameter: α ∈ R , β > 0 , m > 0 .

I

Dichtefunktion: f

(x) =







0 , x ≤ α ;

m β

e

x−α β

m

, x > α .

I

Verteilungsfunktion: F

(x) =

( 0 , x ≤ α ; 1 − e

x−α β

m

, x > α .

I

Bezeichnung: X ∼ Wei[α, β, m] .

I

Erwartungswert: EX = α + βΓ

1 + 1 m

.

I

Varianz: VarX = β

Γ

1 + 2 m

− Γ

1 + 1 m

.

I

Median: x

= α + β (ln 2)

.

I

Spezialf¨ alle: α = 0 : zweiparametrische Weibullverteilung;

α = 0 , m = 1 , β =

: Exponentialverteilung Exp(λ) .

Weibullverteilung II

Beispiel:

α = 0 , m = 1.5 , β = 0.5 (blau), β = 1 (rot), β = 3 (schwarz) .

0 2 4 6 8 10

0.00.51.01.5

Dichtefunktionen Weibullverteilung

x

Weibullverteilung III

Beispiel:

α = 0 , β = 1 , m = 0.8 (blau), m = 2 (rot), m = 3 (schwarz) .

0 1 2 3 4 5

0.00.51.01.52.02.53.0

Dichtefunktionen Weibullverteilung

x

Weibullverteilung IV

I

Die Weibullverteilung ist durch die Parameter sehr anpassungsf¨ ahig.

I

Die Weibullverteilung kann als Grenzverteilung f¨ ur das Minimum einer großen Zahl von unabh¨ angigen Zufallsgr¨ oßen auftreten (Verteilung des schw¨ achsten Kettengliedes). Deshalb sind Lebensdauern von Systemen oft weibullverteilt.

I

In der mechanischen Verfahrenstechnik findet die Weibull-Verteilung

Anwendung als eine spezielle Partikelgr¨ oßenverteilung. Hier wird sie

auch als RRSB- Verteilung (nach Rosin, Rammler, Sperling und

Bennet) bezeichnet.

1.7.6 Lognormalverteilung

I

Parameter: µ ∈ R , σ

> 0 .

I

Bezeichnung: X ∼ LN(µ, σ

) .

I

X ∼ N(µ, σ

) ⇔ e

∼ LN(µ, σ

) .

I

Kenngr¨ oßen: EX = e

2

2

, VarX = e

e

− 1 . Anwendungen der Lognormalverteilung:

I

als Verteilung von Aktienkursen in der stochastischen Finanzmathematik;

I

bei Zeitstudien und Lebensdaueranalysen in ¨ okonomischen, technischen und biologischen Vorg¨ angen;

I

f¨ ur wirtschaftsstatistische Merkmale, wie den Bruttomonatsverdienst

von Angestellten oder Ums¨ atze von Unternehmen.

Lognormalverteilung II

I

Beispiele: µ = −1 , σ = 0.5 , µ = 0 , σ = 1 , µ = 1 , σ = 2 .

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.00.51.01.52.02.5

Dichtefunktionen Lognormalverteilung

x

1.7.7 Weitere stetige Verteilungen

I

Statistische Pr¨ ufverteilungen (sp¨ ater).

I

χ

-Verteilung (Chi-Quadrat-Verteilung).

I

t-Verteilung (Student-Verteilung).

I

F-Verteilung (Fisher-Verteilung).

I

Fr´ echet-Verteilung (siehe Formelsammlung).

I

Gumbel-Verteilung (siehe Formelsammlung).

I

Logistische Verteilung (siehe Formelsammlung).

I

Betaverteilung .

I

...