Ubungen zur Vorlesung ¨

Technische Universit¨at Darmstadt Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. S. Ulbrich

Sommersemester 2011 Blatt 5

Ubungen zur Vorlesung ¨

Optimierung bei partiellen Differentialgleichungen

G10. Semiglatte Newton-Verfahren

a) Bestimmen Sie f¨ur die AbbildungG : (x, y) ∈ R² 7→ max(x, y) ∈Rdas Clarkesche Differential∂^clG(x, y). Weisen Sie die∂^clG-Semiglattheit vonGnach.

b) Betrachte das Optimierungsproblem

min ˆf(u) s. t. u≥a

mitu ∈U :=R^m,fˆ:R^m → Rzweimal stetig differenzierbar,a∈R^m. Die notwendi- gen Optimalit¨atsbedingungen lauten bekanntlich

¯

u≥a, (∇fˆ(¯u))^T(u−u)¯ ≥0 ∀u≥a oder ¨aquivalent

∇fˆ(¯u)−z¯

¯

u−P(¯u−γz)¯

=

0

0

, (O)

wobeiγ >0beliebig ist undP(u) = max(u, a)die Projektion auf{u:u≥a}bezeich- net.

Zeigen Sie mit a): Der Operator links in (O) ist semiglatt. Ist∇²fˆ(¯u)positiv definit, dann konvergiert das semiglatte Newton-Verfahren lokal q-superlinear gegen(¯u,z).¯

G11. Projizierte Gradientenschritte sind Abstiegsrichtungen Betrachte das Problem

w∈Wminf(w) w∈ S (P)

mit einem Hilbert-RaumW,S ⊂W nichtleer, abgeschlossen und konvex undf :W → R stetig F-differenzierbar. Sei∇f(w)∈W die Riesz-Darstellung vonf⁰(w)∈W^∗.

SeiP :W → S die Projektion aufS. Um (P) zu l¨osen, betrachten wir dasprojizierte Gradi- entenverfahren:

0. W¨ahleδ∈]0,1/2[und einen Startpunktw₀ ∈ S. F¨urk= 0,1, . . .:

1. Fallskw_k−P(wk− ∇f(wk))k_W = 0: STOP mit station¨arem Punktwk.

2. Bestimme das maximaleσ_k∈ {1,2⁻¹,2⁻², . . .}, so dassw_k(σ_k) :=P(w_k−σ_k∇f(w_k)) die Armijo-Bedingung erf¨ullt

f(w_k)−f(w_k(σ_k))≥ −δ(∇f(w_k), w_k(σ_k)−w_k)_W. 3. Setzew_k+1 :=w_k(σ_k).

Der wesentliche Punkt, warum dieses Verfahren funktioniert, ist die Tatsache, dass der proji- zierte Gradientenschrittw_k(σ_k)−w_k =P(w_k−σ_k∇f(w_k))−w_keineAbstiegsrichtungist, also gilt

(∇f(w_k), w_k(σ_k)−w_k)_W <0 solangew_k(σ_k)−w_k 6= 0,σ_k >0.

Zeigen Sie mit Hilfe von Lemma 5.1.2:

a) F¨ur jedesw∈ S gilt

(∇f(w), w(σ)−w)_W <0 solangew(σ)−w6= 0,σ >0.

b) Es gilt sogar

(∇f(w), w(σ)−w)_W ≤ −1

σ kw(t)−wk²_W ≤ −kw(1)−wk_Wkw(σ)−wk_W ∀σ∈]0,1].

c^∗) Warum ist also die Armijo-Bedingung in Schritt 2 f¨urσ_k= 2^−jkklein genug erf¨ullt?