Abteilung f¨ur Reine Mathematik
Vorlesung:
Zuf¨ allige Graphen
Dozent: PD Dr. Daniel Hug
Zeit/Ort: Mi. 9-11 Uhr, SR 226, Hermann-Herder-Str. 10 Web-Seite: http://home.mathematik.uni-freiburg.de/hug/
Inhalt:
Ein Graph ist durch eine endliche Menge von Punkten mit Kanten zwischen gewissen dieser Punkte gegeben. Gegenstand der Vorlesung sind zuf¨allige Graphen. Sind etwa X1, . . . , Xn fest gew¨ahlte Punkte, so erh¨alt man einen zuf¨alligen Graphen G(n, p), in- dem man unabh¨angig jeweils mit Wahrscheinlichkeit pzwischen je zwei der n2
m¨oglichen Punktepaare eine Kante zieht. Zu einem anderen, geometrisch motivierten Modell gelangt man, wenn man die Punkte X1, . . . , Xn zuf¨allig w¨ahlt und zwei Punkte durch eine Kante verbindet, falls ihr Abstand kleiner als eine vorgegebene Schranke ist.
Zwei typische Fragen, die zun¨achst behandelt werden sollen, lauten: IstAeine Eigenschaft von Graphen (z.B. ein Dreieck zu enthalten), wie groß ist die WahrscheinlichkeitPn,p, daß ein zuf¨alliger Graph G(n, p) diese Eigenschaft besitzt? Wie verh¨alt sich Pn,p f¨ur n → ∞ in Abh¨angigkeit von p=p(n)? Hierbei treten interessante Schwellenph¨anomene auf.
Literatur:
1. B. Bollob´as. Random Graphs. Academic Press, London, 1985.
2. S. Janson, T. Luczak, A. Rucinski. Random Graphs. Wiley, New York, 2000.
3. M. Penrose. Random Geometric Graphs. Oxford University Press, Oxford, 2002.
Typisches Semester: ab 5. Semester
Studienschwerpunkt: Mathematik und Informatik
Notwendige Vorkenntnisse: Wahrscheinlichkeitstheorie I oder vergleichbare Kenntnisse Sprechstunde Dozent: Mo. 14-15 Uhr und nach Vereinbarung
