Der freie Schr¨odinger-Operator

BACHELORARBEIT

Der freie Schr¨ odinger-Operator

ausgef¨ uhrt am Institut f¨ ur

Analysis und Scientific Computing

der Technischen Universit¨ at Wien

unter der Anleitung von

Ao. Univ. Prof. Dr. techn. Harald Woracek

durch

David Kofler Gießaufgasse 1/19

1050 Wien

25. November 2015

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 2

1 Operatortheorie 3

1.1 Abgeschlossene und selbstadjungierte Operatoren . . . 3 1.2 Spektrum abgeschlossener Operatoren . . . 5

2 Der Freie Schr¨odinger-Operator H0 7

2.1 Definition vonH0. . . 7 2.2 Absolut stetiges Spektrum . . . 8 2.3 Freie Resolvente und Green’sche Funktion . . . 14

3 Quantendynamik der freien Schr¨odingergleichung 17

3.1 Der Operatore^−itT . . . 17 3.2 Die explizite Form vone^−itH0 . . . 19 3.3 RAGE . . . 21

A Anhang 28

Einleitung

In einem quantenmechanischen Modell treten meistens drei mathematische Problemstellungen auf. Man interessiert sich f¨ur

(i) Selbstadjungiertheit von Observablen.

(ii) Spektrum von Observablen.

(iii) Langzeitverhalten und Streutheorie von Observablen.

Wir wollen diese drei Problemstellungen f¨ur die freie Schr¨odingergleichung id

dtu(t) =−∆xu(t), x∈Rⁿ, t∈R, untersuchen.

In Kapitel 1 beweisen wir die wichtigsten S¨atze ¨uber unbeschr¨ankte Operatoren, um ¨uberhaupt den freien Schr¨odinger OperatorH0=−∆xdefinieren zu k¨onnen.

In Kapitel 2 definieren wir den OperatorH0. Wir zeigen, dass dieser selbstadjungiert ist und berechnen das Spektrum. Anschließend zeigen wir, wie man das Spektrum in Punktspektrum, absolut-stetiges Spektrum und singul¨ar-stetiges Spektrum zerlegt und beweisen, dass der freie Schr¨odinger OperatorH0

nur absolut stetiges Spektrum besitzt. Als Beispiel berechnen wir noch die Resolvente f¨ur Dimension 1 und 3.

In Kapitel 3 besch¨aftigen wir uns mit der Zeitentwicklung des freien Schr¨odinger-Operators, welche durch den Operatore^−itH0gegeben ist. Wir zeigen, dass so ein Ausdruck wohldefiniert werden kann und die freie Schr¨odingergleichung l¨ost. Weiters berechnen wir eine explizite punktweise Darstellung vone^−itH0. Zum Schluss zeigen wir den RAGE-Satz, welcher uns einen engen Zusammenhang zwischen den spektralen Teilr¨aumen eines selbstadjungieren OperatorsT und dem asymptotischen Verhalten des Operatorse^−itT liefert. Als Anwendung dieses Satzes erhalten wir interessante Aussagen ¨uber die Asymptotik der freien Schr¨odingergleichung.

1 Operatortheorie

1.1 Abgeschlossene und selbstadjungierte Operatoren

Wir bezeichnen mitH1 bzw. H2 immer einen Hilbertraum mit zugeh¨origem Skalarprodukt h·,·i1 bzw.

h·,·i2.

Wir verstehen unter einem linearen Operator T eine lineare Abbildung eines linearen Teilraumes von H1 nachH2. Den Definitionsbereich vonT bezeichnet man mit domT und man schreibtT : domT ⊆ H1→ H2 oder, abk¨urzend, T:H1→ H2.

Weiters setzt man

kerT ={x∈domT :T x= 0} ⊆ H1

ranT ={y∈ H₂:∃x∈domT mit T x=y} ⊆ H₂

Der GraphG(T) eines linearen Operators istG(T) ={(x, T x) :x∈domT} ⊆ H1× H2.

Eine große Klasse von unbeschr¨ankten Operatoren sind die abgeschlossenen bzw. abschließbaren Opera- toren.

Definition 1.1.1. Ein linearer Operator T : H1 → H2 heißt abgeschlossen, wenn G(T) abgeschlossen bzgl. der Produkttopologie aufH1× H2 ist.

Ein linearer Operator T :H1 → H2 heißt abschließbar, falls eine abgeschlossene Erweiterung S von T existiert, d.h.S abgeschlossen,domT ⊆domS undT x=Sxf¨ur x∈domT.

Meistens ist die folgende Charakterisierung einfacher zu ¨uberpr¨ufen:

Lemma 1.1.2. SeiT :H1→ H2 ein linearer Operator. Dann sind ¨aquivalent:

(i) T ist abgeschlossen.

(ii) Sei (x_n)_n∈N eine Folge aus domT, lim

n→∞x_n =x und lim

n→∞T x_n =y. Dann folgt x∈ domT und T x=y.

Lemma 1.1.3. Ein linearer UnterraumM ⊆ H₁⊕ H₂ ist genau dann Graph eines Operators, wenn aus (0, y)∈M immer y= 0folgt.

Beweis. SeiM=G(T) Graph eines Operators T. Dann gilt y=T(0) = T(0 + 0) =T(0) +T(0) = 2y.

Offensichtlich ist dies nur f¨ur y= 0 erf¨ullt.

Setze domT :={x∈ H1:∃y∈ H2 sodass (x, y)∈ M}und T x:=y, x∈domT. Wegen der Vorausset- zung und der Linearit¨at ist dadurch ein linearer Operator wohldefiniert.

Lemma 1.1.4. SeiT :H₁→ H₂ ein linearer Operator. Dann sind ¨aquivalent:

(i) T ist abschließbar.

(ii) Sei(xn)_n∈Neine Folge aus domT mit lim

n→∞xn = 0und lim

n→∞T xn=y. Dann folgty= 0.

(iii) G(T)ist der Graph eines linearen Operators.

Beweis. (i)⇒ (iii): SeiS eine abgeschlossene Erweiterung von T mit G(T)⊆ G(S). Dann giltG(T)⊆ G(S), also istG(T) Graph eines Operators.

(ii) ⇔(iii): Lemma 1.1.3.

(iii)⇒(i): Es giltG(T) =G(S) f¨ur einen abgeschlossenen OperatorSundT ⊆S. Also istT abschließbar.

SeiT :H1→ H2ein linearer Operator und domT dicht inH1. Dann ist auf

domT^∗ :={y∈ H2:∃u∈ H1 mithT x, yi2=hx, ui1, x∈domT} durchT^∗y=uein linearer Operator definiert.

Nach Riesz-Fischer ist y ∈ domT^∗ genau dann, wenn das Funktional x 7→ hT x, yi2 stetig ist. Das zugeh¨orige Element u∈ H1 ist eindeutig, da domT dicht inH1ist.

Definition 1.1.5. SeiT :H1→ H2 ein linearer Operator unddomT dicht inH1. T heißt symmetrisch, falls T ⊆T^∗ und selbstadjungiert, fallsT =T^∗.

Bemerkung 1.1.6. F¨ur unbeschr¨ankte Operatoren ist die Unterscheidung zwischen symmetrisch und selbstadjungiert wesentlich, nur f¨ur Letztere gilt der Spektralsatz. Im beschr¨ankten Fall ist jeder sym- metrische Operator selbstadjungiert.

Proposition 1.1.7. Sei T :H1→ H2 ein linearer Operator unddomT dicht in H1. Dann gilt (i) T^∗ ist abgeschlossen.

(ii) Wenn domT^∗ dicht inH₂ ist, dann gilt T ⊆T^∗∗, wobei T^∗∗:= (T^∗)^∗. Beweis. (i) Sei (yn)_n∈N eine Folge aus domT^∗ mit lim

n→∞yn = y und lim

n→∞T^∗yn = z. Wir m¨ussen y∈domT^∗ undT^∗y=zzeigen:

Seix∈domT. Aus der komponentenweisen Stetigkeit des Skalarproduktes folgt hx, zi= lim

n→∞hx, T^∗yni= lim

n→∞hT x, yni=hT x, yi.

Damit isty∈domT^∗ undT^∗y=z.

(ii) Wenn domT^∗ dicht inH2 ist, ist auf

dom (T^∗)^∗ ={x∈ H1:∃v∈ H2 mithx, T^∗yi=hv, yi, y∈domT^∗}

(T^∗)^∗ definiert. F¨ur x ∈ domT w¨ahle v = T x, dann gilt hx, T^∗yi = hv, yi, y ∈ domT^∗, d.h.

x∈dom (T^∗)^∗. Womit wirT ⊆T^∗∗ erhalten.

Der Beweis der folgenden Proposition benutzt die sogenannte Graph-Methode. Wir gehen wie in [5, Proposition 1.8] vor:

SeiV :H1× H2→ H2× H1 der unit¨are Operator definiert durch V(x, y) := (−y, x), x∈ H₁, y∈ H₂.

Lemma 1.1.8. SeiT :H1→ H2 ein linearer Operator unddomT dicht in H1. Dann gilt G(T^∗) =V(G(T))^⊥=V(G(T)^⊥)

Beweis. Seienx∈domT undy∈domT^∗. Wegen

hV(x, T x),(y, T^∗y)i=h(−T x, x),(y, T^∗y)i=h−T x, yi2+hx, T^∗yi1= 0 folgtG(T^∗)⊆V(G(T))^⊥.

Sei umgekehrt (y, u)∈V(G(T))^⊥. F¨urx∈domT gilt

hV(x, T x),(y, u)i=h−T x, yi2+hx, ui1= 0.

Also folgthT x, yi=hx, ui. Nach Definition vonT^∗folgt damitT^∗y=uundy∈domT^∗. Daher erhalten wirV(G(T))^⊥⊆ G(T^∗).

Die dritte Gleichheit folgt direkt aus der Unitarit¨at vonV, daV das Skalarprodukt erh¨alt.

Proposition 1.1.9. Sei T :H₁→ H₂ ein dicht definierter, linearer Operator. Dann gilt (i) T ist genau dann abschließbar, wenndomT^∗ dicht inH2 ist.

(ii) IstT abschließbar, dann ist (T)^∗=T^∗ und T =T^∗∗. (iii) T ist genau dann abgeschlossen, wennT =T^∗∗.

(iv) IstT invertierbar, dann istT genau dann abgeschlossen, wenn T⁻¹ abgeschlossen ist.

Beweis. (i) SeiT abschließbar undu∈(domT^∗)^⊥. Dann ist (−u,0)∈ G(T^∗)^⊥ und mit Lemma 1.1.8 folgt

(0, u) =V⁻¹(−u,0)∈V⁻¹(G(T^∗)^⊥) =V⁻¹(V(G(T))^⊥⊥) =G(T)^⊥⊥=G(T).

Nach Lemma 1.1.4 ist G(T) Graph eines Operators. Also folgt mit Lemma 1.1.3 u= 0. Damit ist domT^∗ dicht inH₂, da (domT^∗)^⊥={0}.

Umgekehrt sei domT^∗ dicht in H2. Dann existiert der Operator T^∗∗ mit T ⊆T^∗∗. Da T^∗∗ abge- schlossen ist, hat T eine abgeschlossene Erweiterung.

(ii) F¨ur einen abschließbaren OperatorT gilt offensichtlichG(T) =G(T), damit folgt G((T)^∗) =V(G(T)^⊥) =V(G(T)^⊥) =V(G(T)^⊥) =G(T^∗).

Daher ist (T)^∗=T^∗. Wegen der Voraussetzung und Punkt (i) existiertT^∗∗. ¨Ubertragen wir Lemma 1.1.8 aufT^∗, so ist der zugeh¨orige unit¨are Operator−V⁻¹. Zweimaliges Anwenden liefert

G(T^∗∗) = (−V⁻¹)(G(T^∗)^⊥) =V⁻¹(V(G(T))^⊥⊥) =G(T)^⊥⊥=G(T) =G(T).

Damit istT^∗∗=T.

(iii) Folgt unmittelbar aus Punkt (ii).

(iv) Betrachte den unit¨aren OperatorU :H1× H2→ H2× H1 definiert durch U(x, y) := (y, x), x∈ H1, y∈ H2.

F¨ur x ∈ domT und T x = y gilt wegen der Voraussetzung U(x, T x) = (y, T⁻¹y). Also bildet U den GraphenG(T) aufG(T⁻¹) ab, d.h.U(G(T)) =G(T⁻¹). Damit istT genau dann abgeschlossen, wennT⁻¹ abgeschlossen ist.

Oft l¨asst sich ein abgeschlossener Operator T als Abschluss eines Operators T0 schreiben. Dann ist es sinnvoll zun¨achst Eigenschaften f¨urT0 nachzuweisen, um dann mit einem Abschlussargument auf T zu schließen.

Definition 1.1.10. SeiT :H1→ H2abgeschlossen. Ein linearer dichter UnterraumDvon(domT ,k·k_T) heißt Core, wenn gilt (T|_D) =T, wobei kxk_T =kxk+kT xk.

1.2 Spektrum abgeschlossener Operatoren

Ahnlich wie f¨¨ ur beschr¨ankte Operatoren, definieren wir Resolventenmenge und Spektrum f¨ur abgeschlos- sene Operatoren:

Definition 1.2.1. SeiT :H → Habgeschlossen.ρ(T) :=

λ∈C: (T−λ)⁻¹∈ B(H) und

σ(T) := C\ρ(T). Der Operator Rλ(T) : H → H mit Rλ(T) = (T −λI)⁻¹ heißt die Resolvente des Operators T f¨ur λ∈ρ(T).

Bemerkung 1.2.2.Istλ∈ρ(T) so ist der auf ganzHbeschr¨ankte Operator (T −λ)⁻¹ abgeschlossen.

Wegen Proposition 1.1.9 damit auch die Inverse (T −λ). W¨are T nicht abgeschlossen, w¨urde immer ρ(T) =∅undσ(T) =Cgelten.

Proposition 1.2.3. ρ(T) ist die Menge aller λ∈C sodass T−λ bijektiv domT auf H abbildet oder

¨aquivalentkerT −λ={0} undranT −λ =H.

Beweis. Zu zeigen ist, dass aus der Bijektivit¨at vonT−λdie Beschr¨anktheit des Operators (T−λ)⁻¹ folgt.

Aus der Abgeschlossenheit vonT folgt die vonT−λund damit auch die von (T−λ)⁻¹nach Proposition 1.1.9 (iv). Da (T−λ)⁻¹abgeschlossen ist auf ganzH, folgt mit dem Satz vom abgeschlossenen Graphen, dass (T−λ)⁻¹ beschr¨ankt ist.

Als Beispiel betrachten wir den maximal definierten Multiplikationsoperator M_ϕ mit einer Funktionϕ aufL²(Rⁿ). Das ist der auf

domMϕ =

f ∈L²(Rⁿ) :ϕf ∈L²(Rⁿ) durchMϕf :=ϕf definierte lineare Operator.

Istϕreellwertig und stetig, so hat der OperatorMϕ bemerkenswerte Eigenschaften:

Proposition 1.2.4. Sei ϕ:Rⁿ→Rstetig. Dann gilt f¨ur den Multiplikationsoperator Mϕ: (i) Mϕ ist abgeschlossen und domMϕ ist dicht inL²(Rⁿ).

(ii) M_ϕ ist selbstadjungiert.

(iii) σ(M_ϕ) =ϕ(Rⁿ).

Beweis. (i) Siehe [1, Satz 2.3.1].

(ii) Sei g ∈ domM_ϕ. F¨ur f ∈ domM_ϕ gilt hM_ϕf, gi_L2 = hf, M_ϕgi_L2 f¨ur reellwertiges ϕ. Also ist g∈domM_ϕ^∗ nach Definition des Adjungierten, womitMϕ⊆M_ϕ^∗.

Sei umgekehrt f ∈ domM_ϕ^∗ und h = M_ϕ^∗f. Sei χn := χK_n die charakteristische Funktion von Kn={x∈Rⁿ:|ϕ(x)| ≤n}. Wegen χn∈L^∞(Rⁿ) sindχnh∈L²(Rⁿ) undχnϕf ∈L²(Rⁿ).

F¨urg∈domMϕ folgt wegenχng∈domMϕ

hg, χnM_ϕ^∗fi_L2 =hχng, hi_L2 =hMϕχng, fi_L2 =hϕχng, fi_L2 =hg, χnϕfi_L2. Also ist

Z

Rⁿ

gχ_n(h−ϕf)dλ_n = 0, g∈domM_ϕ.

Da domMϕ dicht in L²(Rⁿ) ist, folgt h = ϕf f.¨u. auf Kn und damit auf ganz Rⁿ. Jetzt ist h∈L²(Rⁿ) und damit auchϕf ∈L²(Rⁿ), d.h. aberf ∈domMϕ.

(iii) Seiλ=ϕ(x₀). Wegen der Stetigkeit vonϕexistiertK⊆Rⁿ kompakt mit λ_n(K)>0, sodass kϕ(x)−ϕ(x₀)k ≤, x∈K.

Damit folgt

k(Mϕ−λ)χKk ≤kχKk. Angenommen λ∈ρ(Mϕ), d.h. (Mϕ−λ)⁻¹ist beschr¨ankt und damit

kχKk=

(Mϕ−λ)⁻¹(Mϕ−λ)χK

≤

(Mϕ−λ)⁻¹

kχKk. F¨ur

(Mϕ−λ)⁻¹

<1 ist das offensichtlich unm¨oglich, also muss λ∈σ(Mϕ) sein. Wir erhalten ϕ(Rⁿ)⊆σ(Mϕ) und wegen der Abgeschlossenheit des Spektrums auchϕ(Rⁿ)⊆σ(Mϕ).

Sei umgekehrtλ /∈ϕ(Rⁿ). Dann existiert einc >0, sodass|ϕ(x)−λ| ≥c f¨urx∈Rⁿ. Damit ist die Funktionψ(x) := (ϕ(x)−λ)⁻¹aufRⁿbeschr¨ankt. Daher ist der zugeh¨orige Multiplikationsoperator M_ψf = ψf auf ganz L²(Rⁿ) definiert und M_ψ = (M_ϕ−λ)⁻¹. Also ist (M_ϕ −λ) beschr¨ankt invertierbar, d.h.λ∈ρ(M_φ).

Das Spektrum ist bei unit¨ar ¨aquivalenten OperatorenT, S gleich:

Lemma 1.2.5. SeiT =U⁻¹SU, wobei U :H1→ H2unit¨ar undS:H2→ H2. Dann giltσ(T) =σ(S).

Beweis. Seiλ∈ρ(S). Mit Proposition 1.2.3 undT−λ=U⁻¹(S−λ)U folgt ranT−λ =U⁻¹ranS−λ =H1

kerT−λ=U⁻¹kerS−λ={0}.

Also istλ∈ρ(T). F¨ur die andere Richtung vertausche die Rollen vonS undT.

2 Der Freie Schr¨ odinger-Operator H

2.1 Definition von H

Lemma 2.1.1. Seienf, g∈C₀^∞(Rⁿ). Dann gilth∆f, gi_L2 =hf,∆gi_L2.

Beweis. Folgt direkt aus der 2. Green’schen Formel. Die Randintegrale verschwinden, daf, gkompakten Tr¨ager haben.

Um dem Differentialausdruck−∆ einen operatortheoretischen Sinn zu geben, gibt es mehrere M¨oglichkeiten.

Wir definieren:

(i) Auf domT₀ =C₀^∞(Rⁿ) sei der OperatorT₀durchT₀f :=−∆f,f ∈domT₀ definiert. Aus Lemma 2.3.3 folgtT₀⊆T₀^∗, damit istT₀^∗dicht definiert. Nach Proposition 1.1.9 (i) istT₀daher abschließbar.

(ii) SeiTmin=T0, der minimale Operator.

(iii) Auf domTmax =

f ∈L²(Rⁿ) :−∆f =g∈L²(Rⁿ) im distributionellem Sinn =H²(Rⁿ) sei der maximale OperatorTmax durchTmaxf :=−∆f, f ∈domTmax definiert.

(iv) Auf domT_F =n

f ∈L²(Rⁿ) :|k|²fˆ(k)∈L²(Rⁿ)o

sei der OperatorT_F durchT_Ff =F⁻¹M_|k|2Ff, f ∈domT_F definiert. WobeiF der Fourier-Plancherel Operator ist und|k|²=Pn

i=1k_i²f¨urk∈Rⁿ. Proposition 2.1.2. (T0)^∗= (Tmin)^∗=Tmax und(Tmax)^∗=Tmin.

Beweis. Seif ∈domT_max undϕ∈C₀^∞(Rⁿ). Wegen hT_maxf, ϕi=h−∆f, ϕi=hf,−∆ϕi, folgtT_max⊆ T₀^∗ nach Definition des Adjungierten, daϕ∈domT₀ ist.

Sei umgekehrtf ∈domT₀^∗ und setzeg=T₀^∗f. Dann gilt f¨ur ϕ∈domT₀: hg, ϕi=hf, T0ϕi=hf,−∆ϕi.

Andererseits gilt f¨ur die regul¨are Distribution−∆f:

−∆f(ϕ) =f(−∆ϕ) =hf,−∆ϕi, ϕ∈C₀^∞(Rⁿ).

Kombinieren wir beide Formeln, so erhalten wir, dass die regul¨are Distribution−∆f durchg∈L²(Rⁿ) gegeben ist und damitf ∈domTmax. Wir haben also gezeigt (T0)^∗=Tmax.

DaTmin=T0 folgt mit Proposition 1.1.9 (ii) T_min^∗ = (T0)^∗= (T0)^∗ =Tmax undT_max^∗ =T_min^∗∗ =Tmin= Tmin.

Proposition 2.1.3. (T_F)^∗=T_F und T_F=Tmin=Tmax.

Beweis. Wir zeigen T_min = T_F. Nach Proposition 1.2.4 ist M_|k|2 = M_|k|^∗ 2 und da F unit¨ar ist folgt T_F=T_F^∗.

F¨ur den Beweis ist es sinnvoll einen weiteren Operator zu definieren. Wir definieren auf domT₁ =S(Rⁿ) den OperatorT₁ durchT₁f =−∆f =F⁻¹|k|²Ff,f ∈domT₁.

F¨urf ∈ S(Rⁿ) gilt ˆf ∈ S(Rⁿ) und−∆f =F⁻¹|k|²Ff. Daher ist domT1 ⊆domT_F, womitT1⊆T_F. Außerdem istT1abschließbar, daT_F abgeschlossen ist. Da offensichtlichT0⊆T1 gilt, folgtTmin=T0⊆ TF.

F¨ur die andere Richtung gehen wir in zwei Schritten vor:

(i) T1⊆Tmin: Seif ∈domT1. W¨ahleϕ∈C₀^∞(Rⁿ) mitϕ(x) = 1 f¨urkxk ≤1. Wir definierenϕn(x) :=

ϕ(n⁻¹x) und fn(x) := ϕn(x)f(x) f¨ur x∈Rⁿ. Offensichtlich istfn ∈C₀^∞ und lim

n→∞fn(x) =f(x) f¨ur allex∈Rⁿ. Wegenfn∈domT0 und wegen

∆fn=ϕn(∆f) +2

n∇(ϕn)∇(f) + 1

n²(∆ϕn)f, folgt lim

n→∞T0fn(x) = lim

n→∞−∆fn(x) =−∆f(x) =T0f(x) f¨ur allex∈Rⁿ. Also ist f im Abschluss von T₀, d.h.f ∈domT_min undT_minf =T₁f. DaT_minabgeschlossen ist, folgt damit T₁⊆T_min. (ii) T_F ⊆ T1: Sei g ∈ domT_F. Dann ist ˆg ∈ domM_|k|2 nach Definition von T_F. Sei ε > 0. Da

C₀^∞(Rⁿ) dicht in L²(Rⁿ) ist, gibt es ein ϕε ∈ C₀^∞(Rⁿ), sodass

(1 +|k|²)(ˆg−ϕε)

< ε. Dann ist ψ_ε := F⁻¹(ϕ_ε)∈ S(Rⁿ) und ˆψ_ε =ϕ_ε, also gilt kg−ψ_εk = kˆg−ϕ_εk < ε, da F unit¨ar. Mit

−∆ψε=F⁻¹(|k|²ψˆε) =F⁻¹(|k|²ϕε) erhalten wir kTFg−(−∆)ψεk =

F⁻¹(|k|²(ˆg−ϕε)) =

|k|²(ˆg−ϕε) < ε.

Wir haben also gezeigt, dassg∈domT₁ undT_Fg=T₁g, daT_Fgim Abschluss von (−∆)ψε=T₁ϕ_ε ist.

Damit folgt insgesamt T_F = Tmin. Wegen Tmax = T_min^∗ = T_F^∗ = T_F folgt T_F = Tmin = Tmax mit Proposition 2.1.2.

Definition 2.1.4. Der auf domH0 =n

f ∈L²(Rⁿ) :|k|²fˆ(k)∈L²(Rⁿ)o

durch H0f =−∆f definierte Operator heißt der freie Schr¨odinger Operator oder der freie Hamiltonian.

Korollar 2.1.5. H0 ist selbstadjungiert mit Spektrumσ(H0) = [0,∞)und Core C₀^∞(Rⁿ).

Beweis. Das Spektrum vonM_|k|2ist laut Proposition 1.2.3σ(M_|k|2) = [0,∞). Wegen unit¨arer ¨Aquivalenz folgt mit Proposition 1.2.4 σ(H0) =σ(M_|k|²) = [0,∞). Dass C₀^∞(Rⁿ) Core f¨ur H0 ist, folgt aus der Tatsache, dassH0 nach Proposition 2.1.3 der Abschluss vonT0 ist.

2.2 Absolut stetiges Spektrum

Ahnlich wie wir das Spektrum eines Operators¨ T in Punktspektrum, stetiges Spektrum und Resdiual- spektrum aufteilen k¨onnen, wollen wir das Spektrum bzgl. dem SpektralmaßE_T bzw. dem zugeh¨origen Borelmaßµ_x zerlegen.

Satz 2.2.1 (Stone’sche Formel). Sei T : domT → H selbstadjungiert und c ∈ R. Dann gilt f¨ur das SpektralmaßE von T im Sinne der starken Operatortopologie

E((−∞, c]) = lim

δ→0lim

ε→0

1 πi

Z c+δ

−∞

(T −(s+iε))⁻¹−(T −(s−iε))⁻¹ds. (2.2.1) Beweis. Wir definieren f¨urλ, t∈Rdie Funktionen

f_ε(λ, t) := 1 πi

(λ−(t+iε))⁻¹−(λ−(t−iε))⁻¹ , f_ε,a,b(λ, t) :=

Z b a

f_ε(λ, t)dt.

1. Falla, b∈R: Sei (gn)_n∈N eine Folge von Riemann-Summen die punktweise gegen fε,a,b(λ, t) konver- giert, f¨ur alleλ∈R. Wegen

|fε(λ, t)|= 1 π

|2i|

(λ−t)²+ε² ≤ 2 επ, folgt

|gn| ≤ 2(b−a) επ .

Also ist (gn)n∈Neine gleichm¨aßig beschr¨ankte Folge, die punktweise gegenfε,a,b konvergiert. Damit folgt aus Proposition A.1.2 (v)

n→∞lim g_n(T, t) =f_ε,a,b(T, t).

in der starken Operatortopologie. WegenR_T(z) =R

R(λ−z)⁻¹dE(λ) erhalten wir fε(T, t) = 1

πi

(T−(t+iε))⁻¹−(T−(t−iε))⁻¹ .

Somit ist (g_n(T))_n∈Neine Folge von Riemann Summen f¨ur das operatorwertige IntegralRb

af_ε(T, t)dt und damit folgtfε,a,b(T) =Rb

afε(T, t)dt.

2. Falla=−∞,b∈R: Wegen arctan(−∞) :=−^π₂ und arctan(+∞) := ^π₂ folgt

|fε,α,b| ≤ 2 π

Z b α

ε

(t−λ)²+ε²dt= 2 π

arctanb−λ

ε −arctanα−λ ε

≤2.

Damit und wegenfε,α,b→f_ε,−∞,bf¨urα→ −∞erhalten wir aus dem Satz von der dominierenden Konvergenz

f_ε,−∞,b(T) = lim

α→−∞f_ε,α,b(T) = Z b

−∞

f_ε(T, t)dt.

3. Falla∈R,b= +∞bzw. 4. Falla=−∞,b= +∞: Analog.

Wir haben also gezeigt

fε,a,b(T) = Z b

a

fε(T, t)dt f¨ura, b∈R, a < b.

Wir wollen nun das Integralf_ε,a,b explizit berechnen f¨urε→0+

ε→0+lim fε,a,b(λ) = lim

ε→0+

Z b a

1 πi

2iε

(t−λ)²+ε²dt= lim

ε→0+

2 π

Z b a

ε

(t−λ)²+ε²dt

= lim

ε→0+

2 π

arctanb−λ

ε −arctana−λ ε

=







0, λ /∈[a, b]

1, λ=a, b 2, λ∈(a, b)

=χ_[a,b](λ) +χ_(a,b)(λ).

Da|fε,a,b| ≤2 inRerhalten mit dem Satz von der dominierenden Konvergenz

ε→0+lim fε,a,b(T) =E([a, b]) +E((a, b)).

F¨ura=−∞undb=c erhalten wir

E((−∞, c]) +E((−∞, c)) = lim

ε→0

1 πi

Z c

−∞

(T−(s+iε))⁻¹−(T−(s−iε))⁻¹ds.

Aus der Rechtsstetigkeit vonE((−∞, c]) folgt E((−∞, c]) =1

2 lim

δ→0lim

ε→0

1 πi

Z c+δ

−∞

(T−(s+iε))⁻¹−(T−(s−iε))⁻¹ds.

Lemma 2.2.2. Sei Mϕ wieder der maximal definierte Multiplikationsoperator mit ϕ:Rⁿ →R. Dann gilt f¨ur das Spektralmaß EMϕ:

EM_ϕ(∆)f =χ_ϕ⁻¹_(∆)f, f ∈L²(Rⁿ),∆∈B(R).

Beweis. F¨ur z ∈ ρ(Mϕ) gilt (Mϕ−z)⁻¹f = _ϕ−z¹ f. Damit und mit der Stone’schen Formel (2.2.1) erhalten wir f¨urc∈R:

hE((−∞, c]f, gi = lim

δ→0lim

ε→0

1 2πi

Z c+δ

−∞

Z

Rⁿ

(M_ϕ−(s+iε))⁻¹−(M_ϕ−(s−iε))⁻¹

f g dλ(x)ds

= lim

δ→0lim

ε→0

1 2πi

Z

Rⁿ

Z c+δ

−∞

1

ϕ(x)−(s+iε)− 1 ϕ(x)−(s−iε)

f g ds dλ(x)

= Z

Rⁿ

δ→0limlim

ε→0

1 2πi

Z c+δ

−∞

2iε

(s−ϕ(x))²+ε²f g ds dλ(x)

= Z

Rⁿ

lim

δ→0lim

ε→0

1 π

Z c+δ

−∞

ε

(s−ϕ(x))²+ε²f g ds dλ(x)

= Z

Rⁿ

δ→0limlim

ε→0

1

πarctans−ϕ(x)

ε |^c+δ_−∞f g dλ(x)

= Z

Rⁿ δ→0lim

1

πh f g dλ(x), wobei

h=







1, c+δ > ϕ(x) 1/2, c+δ=ϕ(x) 0, c+δ < ϕ(x) Also erhalten wir

hE((−∞, c]f, gi = Z

Rⁿ

χ_{{x:ϕ(x)≤c}}f g dλ(x)

= Z

Rⁿ

χ_{ϕ((−∞,c])}⁻¹f g dλ(x)

=hχ_{ϕ((−∞,c])}−1f, gi.

Da die Mengen (−∞, c] f¨urc∈Rdie Sigmaalgebra der BorelmengenB(R) erzeugen, gilt die Gleichheit f¨ur alle ∆∈B(R).

Lemma 2.2.3. Seien S : domS → H und T : domT → H selbstadjungiert mit T =U⁻¹SU, wobei U :H → Hunit¨ar ist. Dann gilt

(i) R f dET

=U⁻¹R f dES

U. (ii) ET =U⁻¹ESU.

Beweis. Wir zeigen, dass durch das Spektralmaß ˜E(∆) := U⁻¹E_S(∆)U ein Funktionalkalk¨ul f¨ur T definiert wird.

Wegen ˜E²(∆) = U⁻¹E_S(∆)U U⁻¹E_S(∆)U = ˜E(∆) und hE(∆)x, yi˜ = hE(∆)U x, U yi = hx,E(∆)yi,˜ x, y ∈ H ist ˜E wirklich eine orthogonale Projektion. Die anderen Eigenschaften folgen leicht aus der Tatsache, dassE_S ein Spektralmaß ist. Sei nunf Borel messbar aufσ(S) =σ(T) und{∆₁, . . . ,∆_m(n)} eineB(R)-Partition vonσ(S). Dann gilt f¨urx∈ H

Z

R

f(λ)dE(λ)x˜ = lim

n→∞

m(n)

X

i=1

f(ξ_iⁿ) ˜E(∆ⁿ_i)x= lim

n→∞U⁻¹

m(n)

X

i=1

f(ξ_iⁿ)E_S(∆ⁿ_i)U x=U⁻¹ Z

R

f(λ)dE(λ)U x.

Insbesondere f¨urf =idund damitR

Rλ dE(λ)x˜ =U⁻¹SU x=T xf¨ur allex∈ H. Also ist ˜E wirklich ein Spektralmaß f¨urT. Wegen der Eindeutigkeit folgtET = ˜E.

F¨ur den freien Schr¨odinger Operator, wo der unit¨are Operator U genau die Fouriertransformation F ist, erhalten wir eine elegante Darstellung f¨ur den Funktionalkalk¨ul als Faltungsoperator. Dieses Lemma wird uns helfen die ResolventeR_H0 und den Zeitentwicklungsoperatore^−itH0 zu definieren:

Lemma 2.2.4. Seig Borel messbar aufσ(H₀), sodass g◦ |k|²∈L²(Rⁿ). Dann gilt (g(H0)f)(x) = 1

(2π)^n/2 Z

Rⁿ

(F⁻¹(g◦ |k|²))(x−y)f(y)dy.

Beweis. Seif ∈L²(Rⁿ). Dann gilt wegen Lemma 2.2.2

g(H0) =F⁻¹(g(|k|²)F(f)) =F⁻¹(F(F⁻¹(g(|k|²))F(f)).

DaF⁻¹(g(|k|²)∈L²(Rⁿ) nach Voraussetzung, folgt aus der Faltungsregel f¨ur die Fouriertransformation g(H0)f = 1

(2π)^n/2F⁻¹(g(|k|²))∗f = (g(H0)f)(x) = 1 (2π)^n/2

Z

Rⁿ

(F⁻¹(g◦ |k|²))(x−y)f(y)dy.

Definition 2.2.5. Sei T : domT → H ein linearer Operator und H0 ein abgeschlossener, linearer Teilraum vonH. Wir sagenH0reduziert den OperatorT, falls es lineare OperatorenT0: domT∩H0→ H undT1: domT ∩ H^⊥₀ → Hgibt mit T =T0⊕T1.

Lemma 2.2.6. Sei T : domT → H ein linearer Operator, H0 ein abgeschlossener, linearer Teilraum vonHund P_H0 die Projektion aufH₀. Gilt P_H0T ⊆T P_H0, dann reduziert H₀ den OperatorT.

Beweis. DaH₀ abgeschlossen ist, existiert ein orthogonales KomplementH^⊥₀, sodass H=H₀⊕ H^⊥₀. Seix∈domT. AusP_H0T x=T P_H0xfolgtT P_H0⊆ H0f¨urx∈domT. Analog folgtT(I−P_H0)⊆ H^⊥₀. Also sindH0 undH^⊥₀ invariant unter T und wir definieren

T0: domT ∩ H0, T0x=T P_H0x T1: domT ∩ H₀^⊥, T1x=T(I−P_H0)x.

Offensichtlich giltT =T0⊕T1. Also reduziertH0 den OperatorT.

Proposition 2.2.7. Sei T : domT → H selbstadjungiert mit Spektralmaß E und S ∈ B(H). Ist SE(∆) =E(∆)S f¨ur alle∆∈B(R), dann folgt ST ⊆T S.

Beweis. Seif Borel messbar aufσ(T) undx∈dom [R

f dE] =

x∈ H:R

|f|²dhEx, xi<∞ . Weiteres sei (∆_n)_n∈N eine aufsteigende Folge ausB(R) mit lim_n→∞∆_n=σ(T). Dann gilt

S Z

f dE

x= lim

n→∞S Z

χ∆_nf dE

x= lim

n→∞

Z

χ∆_nf dE

Sx.

Aus dem Satz von der monotonen Konvergenz folgt Z

|f|²dhE(λ)Sx, xi

= lim

n→∞

Z

|χ_∆nf|²dhE(λ)Sx, xi

= lim

n→∞

Z

∆_nf dE

Sx

2

<∞.

Also ist Sx ∈ domR f dE

. Womit lim_n→∞R

χ_∆nf dE

Sx = R f dE

Sx. Insbesondere f¨ur f = id.

F¨ur den wichtigen Satz 2.2.14 werden wir den HilbertraumHgeschickt zerlegen. F¨ur die grundlegenden Eigenschaften ben¨otigen wir folgende Propositionen. Wir gehen wie in [5, Chapter 9.1] vor.

Definition 2.2.8. SeiT ein selbstadjungierter Operator mit Spektralmaß E undx, y∈ H fest. Wir be- zeichnen mitµx(·)das nichtnegative endliche BorelmaßhE(·)x, xiund mitµx,y(·)das endliche komplexe MaßhE(·)x, yi.

Definition 2.2.9. SeiT ein selbstadjungierter Operator mit SpektralmaßE.Wir definieren Hp(T) := cls{ker(T−λ) :λ∈R}

Hc(T) :={x∈ H:λ7→µx((−∞, λ])stetig inR}

H_ac(T) :={x∈ H:µ_x(·)ist absolut stetig bzgl. dem Lebesguemaß}

Hsing(T) :={x∈ H:µx(·)ist singul¨ar bzgl.λ}={x∈ H:E(N)x=xf¨ur alle Lebesgue NullmengenN ⊆R} Hsc(T) :=Hc(T)∩ Hsing(T)

Proposition 2.2.10. SeiT selbstadjungiert mit Spektralmaß E. Dann gilt

(i) x∈ Hp(T) genau dann, wenn eine h¨ochstens abz¨ahlbar unendliche Menge N ⊆Rexistiert, sodass E(N)x=x.

(ii) x∈ Hc(T) genau dann, wenn f¨ur jede einelementige Menge N ⊆R gilt E(N)x= 0 (und damit auch f¨ur jede abz¨ahlbar unendliche MengeN ⊆R).

(iii) Hp(T)undHc(T)sind abgeschlossen und orthogonal aufeinander.

Beweis. (i) Sei x∈ Hp(T). Dann istxvon der Form P∞

n=1x_n, wobei T x_n =λ_nx_n mit λ_n ∈R. Da E({λn}) genau die orthogonale Projektion auf den Eigenraum von λ_n ist, gilt E({λn}xn = x_n. SetzeN :={λ_n:n∈N}, dann folgt

E(N)x=E(N)

∞

X

n=1

xn=

∞

X

n=1

E({λn})xn=

∞

X

n=1

xn =x.

Existiere umgekehrt eine h¨ochstens abz¨ahlbare MengeN ⊆R, deren Elemente wir mitλnindizieren, sodassE(N)x=x. Setzexn:=E({λn})x. Aus Proposition A.1.3 folgt, dassxngenau dann ungleich 0 ist, wennxn Eigenvektor zum Eigenwertλn ist. MitT xn=λnxn erhalten wir

x=E(N)x=

∞

X

n=1

E({λn})x=

∞

X

n=1

xn. Womitx∈ Hp(T).

(ii) Die monoton steigende Funktion λ 7→ hE((−∞, λ])x, xi ist genau dann stetig, wenn sie keine Sprungstellen besitzt. Das ist genau dann der Fall, wenn hE(λ)x, xi = 0 bzw. E(λ)x = 0 f¨ur alle λ∈R, da E orthogonale Projektion ist. Aus der Sigmaadditivit¨at vonE folgt schließlich die Behauptung f¨ur abz¨ahlbaresN.

(iii) Hp(T) ist laut Definition abgeschlossen, wir zeigen Hc(T) = Hp(T)^⊥. Damit istHc(T) als ortho- gonales Komplement abgeschlossen.

Sei x∈ Hp(T)^⊥ und setze xλ :=E({λ})x∈kerT−λ⊆ Hp(T) f¨ur λ∈R. Wegen 0 =hxλ, xi = hE({λ})x, xi, folgtE({λ})x= 0 und daher mit Punkt (ii)x∈ Hc(T).

Sei umgekehrt x ∈ Hc(T) und y ∈ Hp(T). Nach Punkt (i) existiert eine h¨ochstens abz¨ahlbare MengeN ⊆R, sodass E(N)y=y. Außerdem giltE(N)x= 0 wegen Punkt (ii) und daher folgt

hx, yi=hx, E(N)yi=hE(N)x, yi= 0.

Also istx∈ Hp(T)^⊥.

Proposition 2.2.11. Hp(T),Hc(T),Hac(T),Hsing(T)undHsc(T)sind abgeschlossene lineare Teilr¨aume vonH, sodass H=Hac(T)⊕ Hsing(T)undHsing(T) =Hp(T)⊕ Hsc(T).

Beweis. Zuerst zeigen wir, dass Hsing(T) ein linearer Raum ist. Offensichtlich ist mit x ∈ Hsing(T) auch λx ∈ Hsing(T) f¨ur λ ∈ C. Seien x1, x2 ∈ Hsing(T), dann gibt es Lebesgue Nullmengen N1, N2

mit E(N₁)x₁ =x₁ undE(N₂)x₂ =x₂. Offensichtlich ist N := N₁∪N₂ eine Lebesgue Nullmenge und

es gilt E(N)xj = E(Nj)xj = xj f¨ur j = 1,2. Daher erhalten wir E(N)(x1+x2) = x1+x2, womit x1+x2∈ Hsing(T).

Wir zeigen , dassHsing(T) abgeschlossen ist. Sei (x_n)_n∈N eine Folge ausHsing(T), die gegen einx∈ H konvergiert. Nach der Definition vonHsing(T) gibt es Lebesgue NullmengenN_n, sodassE(N_n)x_n=x_n. Dann ist N =S∞

n=1N_n auch eine Lebesgue Nullmenge und E(N)x_n =E(N_n)x_n =x_n f¨ur alle n∈N. Womitx= lim

n→∞x_n= lim

n→∞E(N)x_n=E(N)x. Also istx∈ H_sing(T).

Wir zeigen Hac(T) =Hsing(T)^⊥. Sei x∈ Hac(T) und y ∈ Hsing(T). Nach der Definition von Hac(T) und Hsing(T) existiert eine Lebesgue Nullmenge N mit E(N)x = 0 und E(N)y = y. Daher folgt hx, yi=hx, E(N)yi=hE(N)x, yi= 0, somit istx∈ Hsing(T)^⊥. Sei umgekehrtx∈ Hsing(T)^⊥ undN eine Lebesgue Nullmenge. F¨ur y ∈ H erhalten wir uy :=E(N)y ∈ Hsing(T) und somit hE(N)x, yi = hx, E(N)yi = hx, uyi = 0 f¨ur alle y ∈ H. Also folgt E(N)x = 0. Da N beliebig war, folgern wir x∈ Hac(T).

Somit folgtH=Hac(T)⊕ Hsing(T).

F¨ur x∈ Hp(T) gilt wegen Proposition 2.2.10 (i) E(N)x=xf¨ur alle h¨ochstens abz¨ahlbar unendlichen Mengen N ⊆ R. Da solche N immer Lebesgue Nullmengen sind, erhalten wir Hp(T) ⊆ Hsing(T).

Da H_sc(T) = H_c(T)∩ H_sing(T) erhalten wir aus H = H_p(T)⊕ H_c(T) die Zerlegung H_sing(T) = H_p(T)⊕ H_sc(T).

Proposition 2.2.12. Hp(T),Hc(T),Hac(T),Hsing(T), undHsc(T)reduzieren den selbstadjungierten Operator T, d.h. T =Tsing⊕Tac=Tp⊕Tsc⊕Tac.

Beweis. Wir zeigen, dassHsing(T) den OperatorT reduziert. Sei dazux∈ Hsing(T) und bezeichnePsdie orthogonale Projektion aufHsing(T). Dann existiert eine Lebesgue Nullmenge N, sodass E(N)x=x.

Wegen E(N)E(λ)x = E(λ)E(N)x = E(λ)x, erhalten wir E(λ)x ⊆ Hsing(T). Mit Adjungieren folgt P_sE(λ) = (E(λ)P_s)^∗= (P_sE(λ)P_s)^∗=P_sE(λ)P_s=E(λ)P_sf¨ur alleλ∈R. Damit kommutiertE mitP_s f¨ur alle BorelmengenB∈B(R). Mit Proposition 2.2.7 folgtP_sT ⊆T P_sund damit folgt mit Proposition 2.2.6, dassH_sing(T) den OperatorT reduziert.

Ist x∈ Hp(T), dann existiert eine h¨ochstens abz¨ahlbar unendliche Menge N ⊆R, sodassE(N)x=x.

Derselbe Beweis zeigt, dass auchHp(T) den OperatorT reduziert.

Die Unterr¨aumeHc(T),Hac(T) undHsc(T) reduzieren den OperatorT, da sie orthogonale Komplemente von reduzierenden Unterr¨aumen sind, siehe Proposition 2.2.10 (iii) und Proposition 2.2.11.

Definition 2.2.13. Sei T ein selbstadjungierter Operator mit SpektralmaßE. Wir definieren σpp(T) :=σ(T|Hp),

σ_ac(T) :=σ(T|Hac), σsc(T) :=σ(T|Hsc).

Wir wenden die neue Zerlegung des Spektrums auf den freien Schr¨odinger OperatorH₀ an und zeigen, dass es nur absolut stetiges Spektrum gibt.

Satz 2.2.14. Der freie Schr¨odinger Operator H0 hat rein absolut stetiges Spektrum, d.h. σac(H0) = [0,∞)und σpp(H0) =σsc(H0) =∅.

Beweis. Das Spektrum kennen wir aus Korollar 2.1.5. Bleibt zu zeigen, dass das Borelmaß µ(·)f rein absolut stetig bzgl. dem Lebesgue Maßλf¨ur allef ∈L²(Rⁿ) ist.

DaH₀ unit¨ar ¨aquivalent zum MultiplikationsoperatorM_ϕmit ϕ(x) =kxk²₂ ist, gilt wegen Lemma 2.2.3 E_H0 =F⁻¹E_MϕF. Weiters wissen wir aus Lemma 2.2.2, dass das SpektralmaßE_Mϕ durchE_Mϕ(N)f = χ_ϕ−1(N)f gegeben ist. Damit folgt

µf(N) =kEH₀(N)fk²=

F⁻¹EM_ϕ(N)Ff

2 =

χ_ϕ⁻¹_(N)Ff

2

= Z

Rⁿ

χ_ϕ−1(N)(x)|Ff(x)|²dλn(x), wobeiϕ⁻¹(N) =n

x∈Rⁿ:kxk²₂∈No .

Aufgrund der besonderen Gestalt vonϕ⁻¹(N) bietet es sich an, das Integral auf sph¨arische Koordinaten zu transformieren und in Radial- und Oberfl¨achenanteil aufzuteilen:

Z

Rⁿ

χ_ϕ−1(N)(x)|Ff(x)|²dλn(x) = Z

(0,+∞)

rⁿ⁻¹ Z

Sⁿ⁻¹

χ_ϕ−1(N)(ry)|Ff(ry)|²dν(y)dλ(r)

= Z

(0,+∞)

rⁿ⁻¹ Z

Sⁿ⁻¹

C_nχ_ϕ−1(N)(r)|Ff(ry)|²dν(y)dλ(r)

= Z

{r≥0:r²∈N}

rⁿ⁻¹ Z

Sⁿ⁻¹

Cn|Ff(ry)|²dν(y)dλ(r).

Dabei ist Sⁿ⁻¹ = {x∈Rⁿ :kxk= 1} die n-dimensionale Einheitssph¨are, ν das zugeh¨orige (n−1)- dimensionale Oberfl¨achenmaß undCn eine nur vonnabh¨angige Konstante.

IstN eine Lebesgue-Nullmenge, so ist

r≥0 :r²∈N als injektives Bild vonN wieder eine Lebesgue- Nullmenge. Also istµf(·) absolut stetig bez¨uglich dem Lebesguemaßλf¨ur beliebigesf ∈L²(Rⁿ) . Wir erhalten also f¨ur den freien Schr¨odinger OperatorH0,Hac(H0) =L²(Rⁿ) undHp(H0) =Hsc(H0) = {0}.

2.3 Freie Resolvente und Green’sche Funktion

Als Beispiel wollen wir die ResolventeRH₀(z) vonH0 explizit berechnen. Wir beschr¨anken uns hier auf die F¨allen= 1 undn= 3.

Lemma 2.3.1. Sei G ⊆ C ein Gebiet und f : G×R → C eine Funktion. Weiters sei x 7→ f(x, z) messbar f¨ur allezundz7→f(x, z)analytisch f¨ur allex. Existiert f¨ur alle kompakten TeilmengenK⊆G eine integrierbare Funktiong, sodass |f(x, z)| ≤g(x) f¨ur allez∈K, dann ist die Funktion

F(z) = Z

R

f(x, z)dx analytisch auf ganzG.

Beweis. SeiK⊆Ckompakt. Wegen Z

K

Z

R

|f(x, z)|dx dz≤ Z

K

Z

R

g(x)dxdz <∞ k¨onnen wir Fubini anwenden und erhalten mit der Voraussetzung

Z

K

F(z)dz= Z

K

Z

R

f(x, z)dx dz= Z

R

Z

K

f(x, z)dz dx= 0.

Nach dem Satz von Morera istF(z) daher analytisch inG.

Lemma 2.3.2. Seif(x) =e^−z|x|2/2∈L¹(Rⁿ),Re(z)>0. Dann giltfˆ(k) = _zn/2¹ e^−|k|2/(2z), wobei z^n/2 durch den komplexen Logarithmus auf G=C\ {z∈C:Re(z)≤0} definiert sei.

Beweis. Wegen

e^−z|x|2/2=e^{−zPni=1x2i/2}=

n

Y

i=1

e^−zx2i/2, reicht es die Behauptung f¨urx∈Rzu beweisen.

Sei zun¨achstz >0 und setzeφz(x) =e^−zx2/2. Dann erf¨ulltφz(x) die Differentialgleichung φz(x)⁰+zxφz(x) = 0, φz(0) = 1.

Betrachten wir die Fouriertransformierte Gleichung

i(kφˆ_z(k) +zφˆ⁰_z(k)) = 0.

Dann erf¨ullt ˆφz(k) dieselbe Differentialgleichung wieφ1/z(x). Wegen der Eindeutigkeit der L¨osung folgt φˆz(k) =Cφ_1/z(x), wobei

C= ˆφz(0) = 1

√ 2π

Z

R

e^−zx2/2dx= 1

√z. Also erhalten wir ˆφ_z(k) = ^√1_ze^−x2/(2z)f¨urz >0.

Sei nunz∈CmitRe(z)>0. Offensichtlich iste^−zx2/2analytisch inz. Setze f¨ur jede kompakte Teilmenge K⊆G:={z∈C:Re(z)>0} m:= min_z∈KRe(z), dann gilt

|e^−zx2/2| ≤e^−mx2/2=:g(x).

Also sind die Voraussetzungen von Lemma 2.3.1 erf¨ullt, daher istF(z) =R

Re^−zx2/2analytisch inz∈G.

Da F(z) = ^√1_z f¨ur z > 0 gilt und beide Funktionen analytisch in Gsind, folgt die Gleichheit f¨ur alle z∈Gund damit die Behauptung.

Lemma 2.3.3. Seif ∈L¹(Rⁿ)mitf(x) =f(|x|). Dann gilt fˆ(k) = ˆf(|k|)undfˇ(k) = ˇf(|k|).

Beweis. SeiU eine orthogonale lineare Transformation, sodass|U(x)|=|x|. Dann folgt wegen detU = 1 undλ_n(U(·)) = detU λ_n(·)

fˆ(U k) = Z

Rⁿ

e^{−iU k·x}f(x)dλn(x) = Z

Rⁿ

e^{−ik·U−1x}f(U⁻¹x)dλn(x) = Z

Rⁿ

e^−ik·xf(x)dλn(x) = ˆf(k).

Analog f¨ur ˇf.

Satz 2.3.4. Seiz∈ρ(H₀)und√

z so definiert, dassIm√

z >0 gilt. Dann gilt f¨urf ∈L²(Rⁿ) (i) n= 1

RH₀(z)f(x) = Z

R

G0(z, x−y)f(y)dλ(y) = Z

R

i 2√

zeⁱ

√z|x−y|f(y)dλ(y).

(ii) n= 3

RH₀(z)f(x) = Z

R³

G0(z, x−y)f(y)dλ3(y) = Z

R³

1 4π|x−y|eⁱ

√z|x−y|f(y)dλ3(y).

Beweis. Da die Funktion _|x|2¹_−z ∈L²(Rⁿ) ist, erhalten wir mit Proposition 2.2.4 f¨urf ∈L²(Rⁿ) RH₀(z)f(x) = 1

(2π)^n/2 Z

Rⁿ

F⁻¹( 1

|x|²−z)(x−y)f(y)dλn(y) = Z

Rⁿ

G0(z, x−y)f(y)dλn(y).

Wir m¨ussen also die Fourierkotransformation von _|x|2¹−z berechnen. F¨urn= 1 bzw.n= 3 erhalten wir:

(i) Betrachte das Integral

G0(z, x) = 1 2π

Z

R

e^i|x|k

|k|²−zdx.

Es bietet sich an das Integral mittels Residuensatz auszuwerten, da der Integrand nach Vorausset- zung nur bei|k|=√

z einen Pol 1-ter Ordnung hat und sonst analytisch ist.

SeiγR(t) : [0, π]→CdurchγR(t) :=Re^itdefiniert. Dann gilt

| 1 2π

Z

γR

e^i|x|k

|k|²−zdk| =| 1 2π

Z π 0

e^i|x|Reit

R²e^2it−zRie^itdt| ≤ 1 2π

Z π 0

e−R|x|sin(t)

|R²e^2it−z|R dt

≤ 1 2π

Z π 0

R

|R²− |z||dt→0 f¨urR→ ∞.

Damit erhalten wir G0(z, x) = lim

R→∞

1 2π

Z R

−R

e^i|x|k

|k|²−zdk+ Z

γR

e^i|x|k

|k|²−zdk

!

= 2πiRes(f(ζ), ζ =√ z)

= 2πi 1 2π

e^i|x|

√z

2√

z = i 2√

ze^i|x|

√z.

(ii) Da _|k|¹2−z nur von Betrag vonkabh¨angt, folgt mit Lemma 2.3.3 z.B.

G0(z, x) =G0(z,|x|e3) = 1 (2π)³

Z

R³

e^i|x|k3

|k|²−z.

Wir transformieren das Integral auf Kugelkoordinaten mit Funktionaldeterminante r²sin(θ) und erhalten

1 (2π)³

Z 2π 0

Z π 0

Z ∞ 0

e^i|x|rcos(θ)

r²−z r²sin(θ)dr dθ dϕ = 1 (2π)²

Z π 0

Z ∞ 0

e^i|x|rcos(θ)

r²−z r²sin(θ)dr dθ

= 1

(2π)² Z ∞

0

r² r²−z

ei|x|rcos(θ)

i|x|r

π

0

dr

= 1

(2π)²

−i

|x|

Z ∞ 0

r r²−z

e^i|x|r−e^−i|x|r dr

= 1

(2π)²

−i

|x|

Z ∞

−∞

r

r²−ze^i|x|rdr.

Analog wie im 1-dimensionalen Fall, wollen wir auch hier wieder den Residuensatz anwenden, um das Integral auszuwerten. Daf¨ur seiγR(t) gleich wie in (i) und es gilt

| Z

γR

r

r²−ze^i|x|rdr| =| Z π

0

Re^it

R²e^2it−ze^i|x|ReitRie^itdt| ≤ Z π

0

R²e^{−|x|Rcos(t)}

|R²e^2it−z| dt

≤ Z π

0

R²e^{−|x|Rcos(t)}

|R²− |z|| dt.

Der letzte Integrand ist f¨ur hinreichend großesRdurch 1 +εbeschr¨ankt und konvergiert gegen die 0 Funktion f¨urR→ ∞. Also erhalten wir mit dem Residuensatz

1 (2π)²

−i

|x|

Z ∞

−∞

r

r²−ze^i|x|rdr = lim

R→∞

1 (2π)²

−i

|x|

Z R

−R

r

r²−ze^i|x|rdr+ 1 (2π)²

−i

|x|

Z

γ_R

r

r²−ze^i|x|rdr

!

= 2πiRes(f(ζ), ζ=√

z) = 2πi 1 (2π)²

−i

|x|

√z 2√

ze^i|x|

√z= 1 4π|x|

e^i√z|x|

|x| .

Bemerkung 2.3.5. F¨ur allgemeines n ist es schwierig die Fourierkotransformation von _|x|2¹−z zu be- rechnen. Man kann zeigen, dass gilt

RH₀(z)ψ(x) = Z

Rⁿ

G0(z,|x−y|)ψ(y)dλn(y), wobei

G0(z, r) = Z ∞

0

1 (4πt)^n/2e^−r

2 4t+ztdt

= 1 2π

√

−z 2πr

ⁿ2−1

Kⁿ

2−1(√

−zr).

Dabei sindKn(ν) modifizierte Besselfunktionen von der zweiten Art.

3 Quantendynamik der freien Schr¨ odingergleichung

Beispiel 3.0.6.Sei T∈R^n×n eine Matrix und betrachte das Anfangswertproblem id

dtu(t) =T u(t), u(0) =u0.

Aus der Theorie ¨uber Differentialgleichungen wissen wir, dass die L¨osung von der Form u(t) =e^−itTu0

ist und das asymptotische Verhalten von den Eigenwerten der MatrixT abh¨angt.

Wir interessieren uns f¨ur die Verallgemeinerung des Anfangswertproblems, woT keine Matrix mehr ist, sondern ein selbstadjungierter Operator. Betrachten wir zum Beispiel das abstrakte Anfangswertproblem f¨ur die freie Schr¨odingergleichung

id

dtu(t) =T u(t), u(0) =u0,

f¨ur einen selbstadjungierten Operator T. Wir werden sehen, dass der Ausdruck e^−itTu₀ wohldefiniert ist und die eindeutige L¨osung dieses Anfangswertproblems ist. Weiters berechnen wir eine explizite punktweise Darstellung vone^−itH0. Anschließend zeigen wir, dass ein enger Zusammenhang zwischen der Asymptotik von Operatoren der Arte^−itT und den spektralen Teilr¨aumen Hc(T) bzw. Hp(T) besteht, was auch als RAGE-Satz bekannt ist.

3.1 Der Operator e

Definition 3.1.1. Eine MengeU ={U(t) :t∈R}auf einem HilbertraumHheißt stark stetige Gruppe, wenn gilt

(i) U(t)U(s) =U(t+s)f¨ur t, s∈R.

(ii) lim_h→0U(t+h)x=U(t)xf¨ur x∈ H undt∈R.

F¨ur einen selbstadjungierten OperatorT : domT → H mit SpektralmaßE k¨onnen wir den Operator e^−itT mittels Funktionalkalk¨ul definieren. Wegen

dome^itT =

x∈ H: Z

R

|e^itλ|²dhE(λ)x, xi

=H ist der durche^itT :=R

Re^−itλdE(λ) definierte Operator auf ganz Hdefiniert. Die folgende Proposition zeigt, dass Definition 3.1.1 genau das richtige Setting ist, um L¨osungen f¨ur Gleichungen wie die freie Schr¨odingergleichung zu definieren.

Proposition 3.1.2. Sei T : domT → Hselbstadjungiert mit Spektralmaß E und U =

U(t) :=e^itT :t∈R . Dann gilt

(i) Der Operator U(t) =e^itT ist unit¨ar f¨ur t∈R.

(ii) Die Menge U bildet eineC0-Gruppe aus unit¨aren Operatoren.

(iii) Der OperatorT ist durchU eindeutig festgelegt, d.h.

domT =

x∈ H: d dt t=0

U(t)x= lim

h→0h⁻¹(U(h)−I)xexistiert