Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie Ubungen zur Theoretischen Physik Fa¨ WS 17/18
Prof. Dr. A. Shnirman Blatt 1
PD Dr. B. Narozhny L¨osungsvorschlag
1. Landau-Niveaus:
(a) Schreiben Sie die Schr¨odinger-Gleichung.
1 2m
"
ˆ
px+eH c y
2
+ ˆp2y + ˆp2z
#
ψ =Eψ.
(b) Leiten Sie eine Gleichung f¨ur die Funktion χ(y) her.
χ00+2m
~2
E− p2z 2m
−m
2ω2H(y−y0)2
χ= 0.
Die Eigenfrequenz:
ωH = |e|H
mc = 2µBH.
Das Zentrum der Schwingung:
y0 =−cpx eH.
(c) die Eigenenergien
Energieniveaus des Oszillators:
E0 =~ωH
n+1 2
Die Landau-Niveaus:
E =~ωH
n+ 1 2
+ p2z
2m.
(d) Warum sind die Landau- Niveaus entartet? Finden Sie den Entartungsgrad Die Entartung: die Landau-Niveaus sind unabh¨angig von px!
Der Mittelpunkty0 muss innerhalb von der Fl¨ache LxLy liegen:
06y0 6Ly.
Deswegen, diepx-Werte geh¨oren zu einem begrenzten Interval
∆px= eH c Ly.
Die Zahl der m¨oglichen Werte im Interval ∆px ist Npx = Lx
2π~∆px. Deswegen der Entartungsgrad der Landau-Niveaus ist
N = eHS
2π~c, S =LxLy.
2. Landau-Diamagnetismus in 2D: hohe Temperaturen:
(a) Finden Sie die EinteilchenzustandssummeZ1 in Bezug auf den Bohrschen Magneton µB =|e|/(2m) und die thermische Wellenl¨ange λT.
Die Einteilchenzustandssumme ist
Z1 =X
{α}
e−Eα/T.
Die Mikrozust¨ande {α} sind durch die Quantenzahlen n und px charakterisiert (~= 1)
{α} → {n, px}, Eα =ωH
n+ 1 2
.
Die kanonische Einteilchenzustandssumme ist dann Z1 =
∞
X
n=0
X
px
exp
−ωH T
n+1
2
.
Da die Zust¨ande mit unterschiedlichenpxentartet sind, k¨onnen wir die Summe ¨uber px direkt auswerten, die ergibt den Entartungsfaktor
Z1 = eHLxLy 2πc
∞
X
n=0
exp
−ωH T
n+1
2
= eHLxLy 2πc
e−ωH/(2T)
1−e−ωH/T = eHLxLy 4πc
1 sinhω2TH. MitλT =p
2π/(mT) erhalten wir Z1 = LxLy
λ2T
ωH/(2T) sinh[ωH/(2T)].
(b) Bestimmen Sie die Magnetisierung
Die Zustandssumme faktorisiert, deshalb ist die freie Energie F =−TlnZ =−N TlnZ1+T lnN!.
Wir setzenZ1 ein und ber¨ucksichtigen nur Terme, die zur Magnetisierung beitragen:
F =−N T lnµBH
T +N T ln sinhµBH
T +. . . . Daraus ergibt sich die Magnetisierung
Mz =− ∂F
∂H
V,T
= N T
H −N µBcothµBH T <0.
Das bedeutet dass die Magnetisierung dem in positivez-Richtung zeigenden Feld H entgegengerichtet ist. Die “spinlosen” Elektronen verhalten sich also diamagnetisch.
3. Magnetismus des zwei-dimensionalen Fermigases:
(a) Schreiben Sie das großkanonischen Potential Ω als die Summe ¨uber n. Ber¨ucksich- tigen Sie auch die Spinentartung.
Das großkanonische Potential
Ω =−T X
λ
ln 1 +eβ(µ−λ) .
Die Mikrozust¨ande sind durch n bezeichnet. Man muss auch die Spinentartung (2) und die Entartung der Landau-Niveaus bemerken. Deswegen:
X
λ
→2NX
n
.
Dann
Ω = −TeHLxLy πc
∞
X
n=0
ln
1 +e[µ−ωH(n+1/2)]/T
(b) Leiten Sie den foldgenden Ausdruck her Ω = 2µBH
∞
X
n=0
f(µn), µB = |e|
2mc, und finden Sie die Funktion f(µn).
Ω = −2µBH×2LxLy
λ2T
∞
X
n=0
ln
1 +e[µ−ωH(n+1/2)]/T
= 2µBH
∞
X
n=0
f(µn),
mit
µn =µ−(2n+ 1)µBH.
Deswegen
f(µ) =−2LxLy λ2T ln
1 +eµ/T .
(c) Zeigen Sie, dass Ω als
Ω = Ω0(µ)− 1
6µ2BH2∂2Ω
∂µ2 geschrieben werden kann.
Die Summationformel:
∞
X
n=0
F
n+1 2
≈
∞
Z
0
dxF(x) + 1
24F0(0).
Dann
Ω = 2µBH
∞
Z
0
dxf(µ−2µBHx) + 2µBH 24
∂
∂nf(µ−2µBHn) n=0
=
µ
Z
−∞
dxf(x)− (2µBH)2 24
∂f(µ)
∂µ .
Das erste Glied ist unabh¨angig vom Magnetfeld. Deswegen Ω = Ω0(µ)−1
6µ2BH2∂2Ω0
∂µ2 .
(d) Finden Sie einen Ausdruck f¨ur die Suszeptibilit¨at.
Die Suszebilit¨at ist
χdia= µ2B 3
∂2Ω
∂µ2
Vergleichen Sie die erhaltene Suszeptibilit¨at mit der Pauli-Suszeptibilit¨at, die Sie in der Vorlesung kennengelernt haben:
χP =µ2B ∂N
∂µ
T ,V
.
Bemerken Sie, dass
N =− ∂Ω
∂µ
T,V
.
Es folgt:
χdia=−1 3χP.
Was ist die gesamte Suszeptibilit¨at des Elektrongases? Ist das Gas para- oder dia- magnetisch?
Die gesamte Suszebilit¨at:
χ=χdia+χP = 2 3χP. Das Gas ist paramagnetisch.
