Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie
Ubungen zur Klassischen Theoretischen Physik III¨ (Theorie C – Elektrodynamik) WS 12-13
Prof. Dr. Alexander Mirlin Blatt 1
Dr. Igor Gornyi Besprechung 17.10.2012
1. Nabla-Kalk¨ul: (14+6+8+4+4=36 Punkte)
Auf diesem ¨Ubungsblatt verwenden wir die folgenden Symbole:
∇⃗f ≡gradf, ∇⃗⃗v ≡div⃗v, ∇ ×⃗ ⃗v ≡rot⃗v; ∇⃗2 ≡∆ a. Finden Sie (mit r=|⃗r|)
∇⃗r, ∇⃗⃗r, ∇⃗ 1
r, ∇⃗ 1
r3, ∇ ×⃗ ⃗r, ∇⃗f(r), ∇ ×⃗ [
f(⃗r) ⃗r r ]
.
b. Berechnen Sie
∇⃗ ( ei⃗k⃗r
)
, ∇⃗ ( d e⃗ i⃗k⃗r
)
, ∇ ×⃗ ( d e⃗ i⃗k⃗r
) , wobei⃗k und d⃗die konstante Vektoren sind.
c. Rechnungen, die in der Elektrodynamik auftreten, verwenden oft folgende Iden- tit¨aten. Zeigen Sie, dass
• ∇⃗(⃗v×w) =⃗ w(⃗ ∇ ×⃗ ⃗v)−⃗v(∇ ×⃗ w)⃗
• ∇ ×⃗ (⃗v×w) =⃗ ⃗v(∇⃗w)⃗ −w(⃗ ∇⃗⃗v) + (w ⃗⃗∇)⃗v−(⃗v ⃗∇)w⃗
• ∇⃗(∇ ×⃗ ⃗v) = 0
• ∇ ×⃗ (∇ ×⃗ ⃗v) =∇⃗(∇⃗⃗v)−∆⃗v
gilt, wobei ⃗v(⃗r) undw(⃗⃗ r) die Vektorfunktionen sind.
d. Bestimmen Sie die folgende Produktregeln [f(⃗r) : R3 → R – Skalarfunktion ,
⃗
v(⃗r) : R3 →R3 – Vektorfunktion]:
• ∇⃗(f⃗v) =⃗v(∇⃗f) +f ⃗∇⃗v
• ∇ ×⃗ (f⃗v) =−⃗v×(∇⃗f) +f ⃗∇ ×⃗v
e. Bestimmen Sie die folgende Kettenregeln [f(⃗r) : R3 →R – Skalarfunktion, P⃗(f) : R→R3 – Vektorfeld auf R]:
• ∇⃗P⃗(f(⃗r)) =P⃗˙(f(⃗r))∇⃗f(⃗r)
• ∇ ×⃗ P⃗(f(⃗r)) =−P⃗˙(f(⃗r))×(∇⃗f(⃗r)) mit P⃗˙(f) =∂ ⃗P /∂f
