Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie Theoretische Physik B - L¨osungen SS 10
Prof. Dr. Alexander Shnirman Blatt 8
Dr. Boris Narozhny, Dr. Holger Schmidt 01.06.2010
1. Hamilton-Funktionen (7 Punkte)
Vorbemerkung: Ist die Lagrangefunktion eine quadratische Form, d.h.
L(qi,q˙i) = 1 2
X
ik
mik(qi) ˙qiq˙k−U(qi)
mit mik =mki, so ergibt sich die Hamiltonfunktion als H = 1
2 X
ik
m−1ik (qi)pipk+U(qi). Dies ist in den Teilen (i)-(iv) der Fall.
(i) harmonischer Oszillator (ein Teilchen im quadratischen Potenzial).
H = p2
2m + mω2x2 2 (ii) ein Massenpunkt auf einer Kugel (Blatt 3),
H = p2θ
2mR2 +mgRcosθ.
(iii) das Pendel mit beweglicher Aufh¨angung (Blatt 4) H = 1
2M l2
(pxl)2 −2pθ(pxl) cosθ+p2θm1+m2 m2
−m2glcosθ.
mit
M =m1+m2sin2θ (iv) das ebene Doppel-Pendel (Blatt 4),
H = 1 2M l2
(~p1−~p2)2+ m1 m2p22
−(m1+m2)glcosφ1−m2glcosφ2. mit
M =m1+m2sin2ϕ und
ϕ=φ1 −φ2 (v) ein geladenes Teilchen (Blatt 6).
H = 1 2m
~ p−e
c
A(~~ r, t)2
+eφ(~r, t).
(vi) Die Hamiltonsche Bewegungsgleichung lautet
~r˙= ∂H
∂~p =c~p p.
Das Teilchen hat also eine konstante Geschwindigkeit v =c, die unabh¨anging von der Energie und dem Impuls ist.
Die Lagrange-Funktion ist damit
L=~v~p−H = 0.
Dieses Ergebnis hat keine physikalische Bedeutung. Deshalb kann diese Bewegung nicht mit dem Lagrange-Formalismus beschrieben werden.
2. Harmonischer Oszillator und Poissonklammern I (7 Punkte) (a) Aufl¨osen der angegebenen Beziehungens nachxundpergibt die Hamilton-Funktion
zu
H =ωa∗a.
(b) Mittels
∂qi
∂pk = ∂pi
∂qk = 0
und ∂qi
∂qk = ∂pi
∂pk =δik
und der Definition der Poisson-Klammer beweist man die angegebenen Relationen.
Dr¨uckt man nunaund a∗ wie auf dem Aufgabenblatt angegeben durchxundpaus und verwendet eben diese Relationen, so erh¨alt man das gew¨unschte Ergebnis.
(c) Die Bewegungsgleichungen findet man mittels der Beziehung (siehe Vorlesung)
˙
a(t) = {a(t), H}
und sind wegenH =ωa∗a gegeben durch
˙
a(t) = −iωa, a˙∗(t) = iωa∗(t).
Die L¨osung ist
a(t) =a0e−iωt. Die Koordinate ist dann
x= a+a∗
√2mω.
3. Funktionaldeterminante (4 Punkte)
(a) Im Falle der Polarkoordinaten hat man
|DJ|=
cosφ −rsinφ sinφ rcosφ
=r(cos2φ+ sin2φ) = r .
Im Falle der Kugelkoordinaten erh¨alt man
|DJ| =
sinθcosφ rcosθcosφ −rsinθsinφ sinθsinφ rcosθsinφ rsinθcosφ
cosθ −rsinθ 0
= cosθ
rcosθcosφ −rsinθsinφ rcosθsinφ rsinθcosφ
+rsinθ
sinθcosφ −rsinθsinφ sinθsinφ rsinθcosφ
= cosθ
r2cosθsinθ
+rsinθ
rsin2θ
=r2sinθ
(b) Man nimmt hier zweckm¨assigerweise Kugelkoordinaten. Setzt man diese in die Be- dingung von V~x ein, so erh¨alt man die Bedingung: 0 ≤ r ≤ R und damit ist das Volumen V~u gegeben durch
V~u ={(r, θ, φ) :r ∈[0, R], θ ∈[0, π], φ∈[0,2π]}. Das erste Integral ergibt
Z R 0
r2dr Z π
0
sinθdθ Z 2π
0
dφ= 4π r3
3 R
0
= 4 3πR3 also das Volumen einer Kugel.
(c) Hier ergibt sich mit x2+y2 =r2sin2θ Z R
0
r4dr Z π
0
sin3θdθ Z 2π
0
dφ= 2πR5 5
Z π 0
sin3θdθ
F¨ur dasθIntegral kann man nun sin3θ = sinθsin2(θ) = sinθ(1−cos2θ) verwenden.
Damit
Z π 0
sinθ(1−cos2θ) dθ=
−cos(θ) + cos3θ 3
π 0
= 4 3 Damit ergibt sich also insgesamt 158 πR5.
