Institut f
ur Theoretishe Teilhenphysik
Institut f
ur Theorie der Kondensierten Materie
Dr. Robert Harlander, Dr. JanBrinkmann 20.10.04
http://www.tkm.uni-karlsruhe.de/lehre robert.harlanderern.h janbritkm.uni-karlsruhe.de
Ubungsblatt Nr. 1 zur Theorie C fur Lehramtskandidaten
1 Dierentialoperatoren:
Es sei r = (x;y;z) der Ortsvektor, '(r) eine skalare Funktionen von r (Skalarfeld) und
A(r) = (A
x (r);A
y (r);A
z
(r)) eine vektorwertige Funktion von r (Vektorfeld). Der Nabla-
Operator ist deniert als Vektor der partiellen Ableitungen, r = (
x
;
y
;
z ),
x
x et.
r =jrj;=Konstante;a=konstanter Vektor,f(r)=eine beliebigeFunktionvon r.
a) Manberehne grad(') =r' fur: '(r) =x sin(yz) ; '(r) =ar ; '(r) =f(r)
b) Berehnen Sie div(A)=rA fur: A(r)= r ; A(r)=ar ; A(r)=ar
) Wasergibt rot(A)=rA fur: A(r)=(y; x;0) ; A(r)=ar ; A(r)=f(r)r
d) Manzeige, da furbeliebige'(r), A(r) gilt:(unter welher Voraussetzung?)
rot(grad('))=r(r')=0 div(rot(A))=r(rA)=0
div(grad('))=r(r')=' ; :=
2
x 2
+
2
y 2
+
2
z 2
2 Deltafunktion:
a) ZeigenSie, da die\Æ-Funktion" gegeben istdurh(Skizzieren SieÆ
"
(x)!)
Æ(x)=lim
"!0 Æ
"
(x) ; Æ
"
(x)= 1
p
"
exp ( x
2
"
2 ) ;
da alsogilt: lim
"!0 Z
1
1 Æ
"
(x)dx=1 ; lim
"!0 Z
1
1 f(x)Æ
"
(x a)dx=f(a)
fur eine beliebigestetige Funktion f(x).
b) Berehnen Sie Z
1
0 e
x
Æ(x y)dx,y2R.(Integrationsgrenzenbeahten!)
3 Wegintegral: Gegeben istdas Kraftfeld (Vektorfeld) F(r)=(x;
1
2 z
2
;yz).
a) Man berehne W = Z
r
b
r
a
F(r) dr entlang der Geraden, die r
a
= 0 und r
b
= b
verbindet. b istein beliebiger,fest gewahlter Ortsvektor.
b) ZeigenSie rF=0 und F(r)=r'(r). BestimmenSie das Potential'(r).
4 Volumenintegral:
Z
f(r)d 3
r= Z
1
Z
1 Z
f(x;y;z)dxdydz
a) Geben Sie das Volumenelement d 3
r inZylinder- und Kugelkoordinaten an.
BerehnenSiedas Volumeneines ZylindersmitRadiusR undHohe hinZylinder-und
auhin kartesishen Koordinaten.
b) Die Ladungsdihteeines Atomkerns mit\Radius" R sei (r)= aR
6
R 6
+jrj 6
.
Berehnen Siedie Gesamtladung Q= Z
(r)d 3
r ingeeigneten Koordinaten.
[Versuhen Sie, Z
1
0 1
b 2
+u 2
du=
2b
zu verwenden.℄
