at Karlsruhe WS2004/2005
Institut f
ur Theoretishe Teilhenphysik
Institut f
ur Theorie der Kondensierten Materie
Dr. Robert Harlander, Dr. JanBrinkmann 01.12.04
http://www.tkm.uni-karlsruhe.de/lehre robert.harlanderern.h janbritkm.uni-karlsruhe.de
Ubungsblatt Nr. 7 zur Theorie C f
ur Lehramtskandidaten
1 Polarisation:
Eine ebene Welleistgegeben durh
E=(E
1 e
1 +E
2 e
2 )e
i(kr !t)
; E
1
;E
2
=komplexeKonstanten.
a) Wie sind dieVektoren e
1
; e
2
; k orientiert? Woraus folgtdas?
Warum gibt eskeinE
3 e
3
?
b) Es seinun k=ke
z
; e
1
=e
x
; e
2
=e
y
; und E
1
=A; E
2
=Be i'
; A;B =reell.
Furwelhe A;B;' handeltes sih um eine
linear, zirkular, elliptish polarisierte Welle? Man beshreibe/skizziere jeweils
den zeitlihen Verlaufder Spitze des Vektors Re(E) in der x-y-Ebene.
2 Fourier-Transformation:
a) Man berehne dieFourier-Transformierte e
f(!)= 1
p
2 R
1
1 dte
i!t
f(t)
fur f(t)=(T jtj) ; f(t)=os (!
0
t) ; f(t)=(t)e t
sin(!
0
t); >0.
b) ManberehnediedreidimensionaleFourier-Transformierte e
f(k) = 1
(2) 3=2
R
d 3
re ikr
f(r)
fur f(r)=os(qr) ; f(r)=Æ(R jrj) ; f(r)=g(z)h(x).
3 Inhomogene Shwingungsgleihung:
DieDGL eines gedampften harmonishen Oszillatorsmit externerKraft h(t) lautet
[ 2
t
+2
t +!
2
0
℄f(t)=h(t) ; 1<t<1.
a) Die Greenshe Funktionist deniert durh
[ 2
t
+2
t +!
2
0
℄G(t t 0
)=Æ(t t 0
) mitden Randbedingungen G(1)=G( 1)=0.
Angenommen, Gsei bekannt. Wodurh istf(t) gegeben (BeweisdurhEinsetzen)?
b) G ergibt sihaus der Fourier-Transformierten e
G(!)durh
G(t t 0
) = 1
p
2 R
1
1 d!e
i!(t t 0
)
e
G(!). Bestimmen Sie e
G, und zeigen Sie, da e
G fur
kleine Dampfung() 2
!0 dieForm e
G(!)= 1
p
2 1
2!
0 h
1
!
0
!+i +
1
!
0 +! i
i
annimmt.
[Siebenotigen dieFourier-Darstellungder Æ-Funktion.℄
) Bestimmen Sie daraus G(t t 0
) (z.B. durh Raten und Beweis
uber die Umkehrtrans-
formation). ErfulltG(t t 0
)die Randbedingungen?
d) Man berehne f(t) furh(t)=h
0
Æ(t t
0 ).
Wodurh ist e
f(!)gegeben, wenn e
G(!)und e
h(!) bekanntsind?
Berehnen Sie e
f(!)furh(t)=h
0
os(!^t).
Welhe Bedeutung haben alsoG(t t 0
), Betrag von e
G(!),Phase von e
G(!)?
4 Inhomogene Wellengleihung:
ZeigenSiedurh Einsetzen, da e
G(r r 0
;!)= 1
4 e
ikjr r 0
j
jr r 0
j
; k=!=
eine Losung der Helmholtz-Gleihung [r 2
+k 2
℄ e
G(r r 0
;!)= Æ(r r 0
) ist.
[Sie konnen das Ergebnisaus der Elektrostatik verwenden, r 2 1
jr r 0
j
= 4Æ(r r 0
).℄
