at Karlsruhe Sommersemester2004
Institut f
ur Theorie der Kondensierten Materie 23.4.04
Prof.Dr. Ralph v. Baltz, Dr. Philip Howell http://www-tkm.physik.uni-karlsruhe.de/lehre/
Sprehstunde: Mo 13:00{14:00 Physikhohhaus 10.14 howelltkm.physik.uni-karlsruhe.de
Ubungsblatt Nr. 0 zur Theorie B (Prasenzubung)
1 Selbstshwingender Oszillator
Durhdie Gleihung
x 2 (1 x 2
)x_ +! 2
0
x=0; >0 (1)
wird ein selbstshwingender Oszillator beshrieben. Die Gleihung kann niht exakt gelost
werden; wir suhen hier eine approximative Losung fur den Fall 1.
(a) BetrahtenSiedenAnsatzx(t)=A(t)os (!
0
t+(t)),wobeiA(t)und(t) nurlangsam
variieren, d.h.
A'0;
'0. Warum istdies vernunftig? Hinweis: !0:
Setzen Sieihn in (1) ein, benutzenSie os 3
= 3
4
os+ 1
4
os3 und sin 3
= 3
4 sin
1
4
sin3 und ordnenSie nah Termen mitgleihen trigonometrishen Funktionen.
Ahtung: Die resultierendeDGL ist etwaslang |lassen Siesih niht abshreken!
(b) In dem Ergebnisaus (a)vernahlassigen Siediedritten Harmonishen, alsodieTerme
proportionalzu sin3(!
0
t+)bzw.os3(!
0 t+).
Uberzeugen Siesih,dassderAnsatz
fur x(t) nun (1) (naherungsweise) erfullt,falls A(t)die folgende DGL lost:
_
A= 1
4
A(4 A 2
) (2)
Hinweis: Im Term proportionalzu sin(!
0
t+) lasst sih (!
0 +
_
) ausklammern.
Eine Losung zu (2) ist A = 2. Welhe Bedingung muss _
dann erfullen? Was sind
diezwei moglihen Losungen fur und wie sind dieresultierenden Ergebnisse fur x(t)
miteinander verwandt?
() Losen Sie die DGL (2) durh Trennung der Variablen, wobei Sie das Integral durh
Partialbruhzerlegung auswerten konen. Nehmen Sie bei den auftauhenden Logs an,
dass 0<A(t)<2. Ergebniss: A(t)=
2
p
1+Ce 2t
mitC = Konst.
(d) Wie lautet die Losung zu A(t) mit der Anfangsbedingung A(0) = A
0
1? Was ist
lim
t!1
A(t)? Skizzieren Sie A(t) und damit x(t), wobei Sie die Zeitabhangigkeit von
(t) vernahlassigen sollten.Wieso beshriebt(1)einenselbstshwingenden Oszillator?
(e) Diskutieren Sie die Annahmen und Naherungen, die Sie gemaht haben. Sind sie ge-
rehtfertigt?
|Besprehung inden
Ubungsgruppen am nahsten Montag, den 26.4.04|
