(1)Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f”ur Theoretische Festk¨orperphysik Ubungen zu Moderne Theoretische Physik III¨ SS 13 Prof

Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f”ur Theoretische Festk¨orperphysik

Ubungen zu Moderne Theoretische Physik III¨ SS 13

Prof. Dr. G. Sch¨on L¨osungsvorschlag zu Blatt 7

Dr. M. Marthaler, Dr. A. Poenicke 31.05.2010

1. Dichteoperator f¨ur Spin-1/2 Systeme:

(a)

ρ_|+i=Πi|+ii h+i| (1)

ρ_|+i=|+ + + +. . .ih+ + + +. . .| (2) (b) F¨ur einen Spin,

ρ_|+i

x,i = (|+ii+|−ii) (h+i|+h−i|)

= (|+ii h+i|+|+ii h−i|+|−ii h+i|+|−ii h−i|) (3) F¨ur alle Spins

ρ_|+i

x = Πiρ_|+i

x,i (4)

(c)

ρ_|+ix|−ix =1

2ρ_|+ix+ 1

2ρ_|−ix (5)

(6) (d)

hσ_x^ji=h(σ^j₊+σ^j₋)i= tr(ρ(σ₊^j +σ₋^j)) (7) Da alle Spins ausser Spin-j raussummiert werden, reicht es f¨ur einen Spin den Erwartungswert auszurechnen.

F¨ur b) ergibt sich sofort

hσ_x^ji= = 1 (8)

F¨ur c) ergibt sich damit

hσ_x^ji=0 (9)

2. Reduzierte Dichtematrix:

|Ψi= ^√1₂ (|+−i − |−+i)

(a) Nicht verschwindende Matrixelemente:

h+− |Ψi hΨ|+−i=h−+|Ψi hΨ| −+i= 1

2 (10)

h+− |Ψi hΨ| −+i=h−+|Ψi hΨ|+−i=−1

2 (11)

Rest 0

⇒ρ=









0 0 0 0

0 ¹₂ −¹₂ 0 0 −¹₂ ¹₂ 0

0 0 0 0









(12)

Reiner Zustand wenn ρ² =ρ:

ρ² =









0 0 0 0

0 ¹₂ −¹₂ 0 0 −¹₂ ¹₂ 0

0 0 0 0









=ρ⇒Reiner Zustand (13)

(b)

ρ_red=X

σ₂

(11⊗ hσ2|)1

2(|+−i − |−+i)(h+−| − h−+|)(11⊗ |σ2i) (14)

=1

2(|+i h+|+|−i h−|) (15)

= ₁

2 0 0 ¹₂

(16) ρ²_red=

₁

4 0 0 ¹₄

6=ρred⇒Gemischter Zustand (17) 3. Bewegungsgleichung der Dichtematrix:

H|ii=E_i|ii (18)

QM Liouville-Gleichung: i~^∂

∂tρ(t) = [H,ˆ ρ(t)]ˆ

i~hn|ρ˙|mi=hn|[H,ρ]ˆ |mi (19)

=hn|Hρˆ|mi − hn|ρHˆ |mi nutze: H =H^† (20)

=Enρnm−Emρnm (21)

⇒ρ˙nm =− i

~(En−Em)ρnm (22)

⇒ρ_nm(t) =ρnm(0)e^{−~i(En−Em)} (23)

4. Nichtdiagonalelemente der Dichtematrix:

Gegeben: H=B_z^σ₂^z, zum Zeitpunkt t= 0: |+i_x = ^√1₂(|+i+|−i)

˙

ρ₊₊= ˙ρ₋₋ = 0 (24)

˙

ρ₊₋=− ~ⁱ(1 + 1)Bz

2 ρ₊₋ ⇒ρ₊₋(t) = ρ₊₋(0)e^−~iBzt (25)

˙

ρ₋₊=− _~ⁱ(−1−1)B_z

2 ρ₋₊ ⇒ρ₋₊(t) = ρ₋₊(0)e^~iBzt (26)