Der Spektralsatz f¨ur unbeschr¨ankte normale Operatoren

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Der Spektralsatz f¨ ur unbeschr¨ankte normale Operatoren

Arpad Pinter 22. Februar 2011

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Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 2

2 Ergebnisse aus der Spektraltheorie 3

3 Grundlagen ¨uber lineare Relationen 7

4 Funktionalkalkül für unbeschränkte messbare Funktionen 13 5 Vorbereitungen für den Beweis des Spektralsatzes 15

6 Einige Bemerkungen zu orthogonalen Summen 22

7 Der Spektralsatz f¨ur unbeschr¨ankte normale Operatoren 27

8 Multiplikationsoperatoren 33

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1 Einleitung

Diese Arbeit beschäftigt sich, wie der Titel bereits aussagt, mit dem Spektralsatz für unbe- schränkte normale Operatoren. Bereits der Name dieses Satzes sollte dem Leser Respekt ein- flößen, denn es handelt sich dabei um ein mächtiges mathematisches Werkzeug aus der Funk- tionalanalysis. Der Spektralsatz für unbeschränkte normale Operatoren ist dabei die Krönung aller Spektralsätze aus der Spektraltheorie, denn er umfasst alle weiteren Spektralsätze, von den Spektralsätzen aus der Linearen Algebra für Matrizen bis hin zu den Spektralsätzen für unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren.

In der Physik findet der Spektralsatz große Verwendung. Besonders in der Quantenmechanik wird oft auf verschiedene Spektrals¨atze der Mathematik zur¨uckgegriffen.

Auch im mathematischen Teilgebiet der Partiellen Differentialgleichungen wird oft der Spektral- satz herangezogen, um komplizierte Aufgabenstellungen zu vereinfachen und Lösungen zu be- rechnen. Zum Beispiel zerlegt man bei parabolischen Differentialgleichungen den Lösungsoperator der Differentialgleichung mit Hilfe des Spektralsatzes für kompakte, selbstadjungierte Operato- ren, um eine Lösung des Problems konstruieren zu können.

Doch worum geht es eigentlich beim Spektralsatz? Was macht ihn so besonders?

Der Spektralsatz für unbeschränkte normale Operatoren erlaubt es, gewisse lineare Operatoren, nämlich genau die normalen, dazu zählen auch selbstadjungierte und unitäre, eindeutig mit einem Spektralmaß darzustellen. Dabei spielt das Spektrum des Operators eine große Rolle, daher auch der Name dieses Satzes. Mit diesem Spektralmaß lässt sich nicht nur der Operator darstellen, man erhält noch viel mehr. Auch gewisse Funktionen des Operators können dann mit Hilfe dieses Spektralmaßes dargestellt werden.

Die Begriffsbildungen mögen auf den ersten Blick ein wenig kompliziert erscheinen, doch man sollte sich nicht scheuen, trotzdem weiterzulesen. Mit einigen Vorkenntnissen aus der Funk- tionalanalysis sollte es keine Probleme bereiten, diese Arbeit zu verstehen bzw. sie sogar zu genießen. Als Voraussetzung zum besseren Verständnis einiger Sachverhalte dienen die Erkennt- nisse aus dem Vorlesungsskriptum Funktionalanalysis von M.Kaltenbäck,H.Woracek und M.Blümlinger. Außerdem werden auch einige Kapitel aus dem SkriptumFunktionalanalysis II von M.Kaltenbäckund M.Weberndorfer vorausgesetzt. Besonders wichtig sind einige Vorkenntnisse über das Funktionalkalkül für beschränkte und unbeschränkte messbare Funktio- nen bei Spektralmaßen, die Gelfandtransformation und das Funktionalkalkül fürC^∗-Algebren bzw. der Spektralsatz für beschränkte normale Operatoren.

Doch genug der großen Worte. Im Folgenden wird nun versucht, dem Leser den Beweis des Spek- tralsatzes für unbeschränkte Operatoren auf eine möglichst verständliche Weise zu präsentieren.

Arpad Pinter

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2 Ergebnisse aus der Spektraltheorie

Als Einstieg in das Thema werden wir zuerst einige Definitionen, Sätze und Lemmata angeführt, die bereits bekannt sein sollten, aber als Auffrischung der eigenen Kenntnisse trotzdem noch einmal aufgelistet werden. Die entsprechenden Beweise dieser Sätze kann man in [F] nachlesen.

Definition 2.1.

• Sei H ein Hilbertraum. Dann bezeichnetB(H) die Menge aller linearen, stetigen Funktionen auf H. FunktionenB ∈ B(H) werden auch alsOperatoren bezeichnet.

• Sei Ω eine Menge und A eine σ-Algebra auf Ω. Dann bezeichnet B(Ω,A) die Menge der beschr¨ankten, A-messbaren, komplexwertigen Funktionenφ: Ω→C.

• Sei D⊆Ceine Borelmenge. Dann bezeichnet B(D) die Menge aller Borelteilmengen vonD.

Definition 2.2. Sei Ω eine Menge,Aeine σ-Algebra auf Ω undH ein Hilbertraum.

EinSpektralmaß f¨urhΩ,A, Hi ist eine FunktionE:A → B(H), sodass gilt (i) F¨ur jedes ∆∈ Aist E(∆) eine orthogonale Projektion;

(ii) E(∅) = 0 und E(Ω) =I;

(iii) E(∆1∩∆2) =E(∆1)E(∆2) f¨ur je zwei ∆1,∆2∈ A;

(iv) Sind ∆n∈ A, n∈N,paarweise disjunkt, so gilt E

∞

[

n=1

∆_n

!

=

∞

X

n=1

E(∆_n).

Bemerkung 2.3.Die Reihe in Bedingung (iv) ist als Grenzwert im starken Sinne zu verstehen.

Man beachte, dass f¨ur eine Folge von orthogonalen ProjektionenEnderen Bildr¨aume paarweise orthogonal sind, stets die Reihe P∞

n=1E_n im starken Sinne konvergiert, und zwar gegen die orthogonale Projektion auf

span{ranEn:n∈N}.

Lemma 2.4. SeiΩ eine Menge, A eine σ-Algebra aufΩ und H ein Hilbertraum.

Sei E ein Spektralmaß f¨ur hΩ,A, Hi, und seien g, h∈H festgehalten.

Dann ist die AbbildungEg,h:A →C

E_g,h(∆) := (E(∆)g, h),

ein komplexes Maß aufA. F¨ur die Variation |E_g,h|gilt die Absch¨atzung |E_g,h|(∆)≤ kE(∆)gk · kE(∆)hk.

Die Totalvariation vonEg,h ist somit h¨ochstens gleichkgk · khk. F¨ur diese komplexen Maße gilt E_g,h =E_h,g. Außerdem ist Eg,g ein positives Maß.

Lemma 2.5. SeiΩ eine Menge, A eine σ-Algebra aufΩ und H ein Hilbertraum.

SeiE ein Spektralmaß f¨urhΩ,A, Hi, und seiφ∈B(Ω,A). Dabei bezeichnetB(Ω,A)die Menge

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aller beschr¨ankten,A-messbaren, komplexwertigen Funktionen und ist mit der Supremumsnorm k.k_∞ versehen.

Dann existiert ein eindeutiger Operator A∈ B(H), sodass f¨ur alle g, h∈H (Ag, h) =

Z

Ω

φ dE_g,h.

Dabei ist kAk ≤ kφk_∞.

Der Operator A heißt das Integral von φ bzgl. E, und wird bezeichnet mit R φ dE.

Definition 2.6. SeiA ein Vektorraum ¨uberC. Sei Aversehen mit einer bilinearen Abbildung A×A→A, (a, b)7→ab,

die assoziativ ist und ein Einselement besitzt. Weiters seiA mit einer Norm versehen, die kabk ≤ kak · kbk, ∀a, b∈A

erf¨ullt und dieA zu einem Banachraum macht. Dann spricht man von einerBanachalgebra.

IstAnoch zus¨atzlich versehen mit einer Abbildung.^∗:A→A, die f¨ur allea, b∈Aundλ, µ∈C (a^∗)^∗=a,(ab)^∗=b^∗a^∗,(λa+µb)^∗=λa^∗+µb^∗,ka^∗k=kakund kaa^∗k=kak²

erf¨ullt, dann wirdA als C^∗-Algebra bezeichnet.

Bemerkung 2.7. B(Ω,A) ist nicht nur eine Menge, sondern, versehen mit der punktweisen Addition, der Skalarmultiplikation, der punktweisen Multiplikation, dem Konjugieren und der Supremumsnorm eine C^∗-Algebra.

B(H) ist ebenfalls eineC^∗-Algebra, und zwar mit der punktweisen Addition, der Skalarmultipli- kation, der Hintereinanderausf¨uhrung von Funktionen, dem Adjungieren und der Operatornorm, siehe [F2].

Eine Abbildung zwischen zwei C^∗-Algebren wird auch als C^∗-Algebren-Homomorphismus bezeichnet, wenn er mit den algebraischen Strukturen auf den beidenC^∗-Algebren vertr¨aglich ist, vgl. Bemerkung 2.9.

Genauere Informationen über diese Sachverhalte und generell über C^∗-Algebran kann man in [F2, Kapitel 1] nachlesen. Dort wird auch mit Hilfe der Gelfandtransformation ein Funktional- kalkül fürC^∗-Algebren konstruiert, von dem im weiteren Verlauf an einigen Stellen Gebrauch gemacht wird.

Satz 2.8(Funktionalkalkül für beschränkte messbare Funktionen).

Sei Ω eine Menge, A eine σ-Algebra auf Ω, H ein Hilbertraum und E ein Spektralmaß f¨ur hΩ,A, Hi.

Dann ist die Abbildung

Φ_E:

(B(Ω,A) → B(H)

φ 7→R

φ dE ein C^∗-Algebren-Homomorphismus mit folgenden Eigenschaften:

(i) Φ_E(1∆) =E(∆) ∀∆∈ A (ii) kΦ_Ek= 1

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(iii) Vertauscht ein B ∈ B(H) mit allen ProjektionenE(∆),∆∈ A, so auch mit allen Opera- toren der Form Φ_E(φ), φ∈B(Ω,A).

(iv) Jeder Operator im Bild von Φ_E ist normal.

(v) F¨urg∈H und φ∈B(Ω,A) gilt kR φ dE

gk² =R

Ω|φ|²dEg,g.

Bemerkung 2.9. Satz 2.8 besagt, dass Φ_E ein C^∗-Algebren-Homomorphismus ist, also dass Φ_E mit allen algebraischen Operationen vertr¨aglich ist. Das bedeutet gerade f¨urφ, ψ∈B(Ω,A) und λ∈C

Φ(φ+ψ) = Φ(φ) + Φ(ψ), Φ(λφ) =λΦ(λ), Φ(φ·ψ) = Φ(φ)Φ(ψ), Φ(φ) = (Φ(φ))^∗, Φ(1Ω) =I

Den Beweis des folgenden Lemmas findet man in [F2, Bemerkung 2.1.10].

Lemma 2.10. Sei Ω eine Menge, A eine σ-Algebra auf Ω, H ein Hilbertraum und E ein Spektralmaß f¨urhΩ,A, Hi. Sei Ω⁰ eine weitere Menge, Beine σ-Algebra aufΩ⁰ und T: Ω→Ω⁰ sei A-B-messbar. Definiere E^T(∆) :=E(T⁻¹(∆)),∆∈ B.

Dann ist E ein Spektralmaß f¨urhΩ⁰,B, Hi und f¨ur alleφ∈B(Ω⁰,B) gilt Z

φ dE^T = Z

φ◦T dE.

Da die folgenden beiden Spektralsätze eine wesentliche Rolle im Beweis des Spektralsatzes für unbeschränkte normale Operatoren spielen, werden sie an dieser Stelle formuliert. Die Beweise erfordern ein tiefliegendes Hilfsmittel aus der Theorie derC^∗-Algebren, nämlich die so genannte Gelfand-Transformation. Die Theorie dazu und auch die entsprechenden Beweise der beiden Spektralsätze findet man in [F2]. Dabei ist der Spektralsatz für beschränkte selbstadjungierte Operatoren eine einfache Folgerung aus dem Spektralsatz für beschränkte normale Operatoren.

Satz 2.11(Spektralsatz f¨ur beschr¨ankte normale Operatoren).

Sei H ein Hilbertraum und T ∈ B(H) ein normaler Operator.

Dann existiert ein eindeutiges SpektralmaßEf¨urhC,B(C), Hi, sodass f¨ur eine gewisse kompakte Menge K ⊆C gilt, dass E(C\K) = 0 und

T = Z

K

z dE(z) :=

Z

z·1K(z)dE(z) Weiters gilt:

(i) Man kann K=σ(T) w¨ahlen, d.h. E lebt nur auf σ(T) (ii) F¨ur alle φ∈ C(σ(T))gilt

φ(T) = Z

σ(T)

φ dE,

wobeiφ(T)der eindeutige beschränkte Operator im Sinne des Funktionalkalküls fürC^∗-Algebren ist, siehe [F2][Kapitel 1].

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(iii) LiegtB ∈ B(H), so ist

BT =T B ∧ T^∗B=BT^∗ ⇔ BE(∆) =E(∆)B ∀∆∈B(C)

Satz 2.12(Spektralsatz f¨ur beschr¨ankte selbstadjungierte Operatoren).

Sei H ein Hilbertraum und A∈ B(H) ein selbstadjungierter Operator.

Dann existiert ein eindeutiges SpektralmaßEf¨urhR,B(R), Hi, sodass f¨ur eine gewisse kompakte Menge K ⊆R gilt, dass E(R\K) = 0 und

A= Z

K

t dE(t)

Weiters gilt:

(i) Man kann K=σ(A) w¨ahlen, d.h. E lebt nur auf σ(A) (ii) LiegtB ∈ B(H), so ist

BA=AB ⇔ BE(∆) =E(∆)B ∀∆∈B(R)

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3 Grundlagen ¨ uber lineare Relationen

Mit den Vorbereitungen aus der Spektraltheorie wollen wir uns jetzt auf unser eigentliches Ziel konzentrieren, nämlich den Beweis des Spektralsatzes für unbeschränkte normale Operatoren.

Doch gleich zu Beginn treten schon Schwierigkeiten auf. Was ist denn eigentlich ein unbeschr¨ankter normaler Operator?

Wenn T ∈ B(H), also T ein beschr¨ankter Operator auf dem Hilbertraum H ist, dann existiert immer ein adjungierter OperatorT^∗ zuT, der ebenfalls beschr¨ankt ist. Dann heißt der Operator T normal, wenn T^∗T =T T^∗ gilt.

Doch was passiert, wennT nicht mehr beschr¨ankt ist, alsoT unbeschr¨ankt ist? Kann man dann

¨uberhaupt eine Adjungierte zuT definieren? Wie soll man nun einen unbeschr¨ankten normalen Operator definieren?

Außerdem treten in vielen Problemen der Analysis lineare AbbildungenT von einem RaumX in einem Raum Y auf, meist Banachr¨aume oder Hilbertr¨aume, die nicht auf ganz X definiert sind, sondern nur auf einem dichten Teilraum.

Man könnte sich partiell definierte lineare Funktionen anschauen und diese studieren. Wir wählen aber nicht diesen Zugang, sondern einen viel interessanteren, nämlich den Zugang über lineare Relationen, der uns eine geeignete Definition einer Adjungierten zu einem unbeschränkten Operator ermöglicht.

SindX, Y Vektorr¨aume, dann benutzen wir f¨ur Elemente aus dem kartesischen ProduktX×Y die Schreibweise (f;g) ∈X×Y, wobei f ∈X,g∈Y, damit Verwechslungen mit dem Skalar- produkt (., .) auf einem Hilbertraum vermieden werden.

Definition 3.1.T heißt lineare Relation zwischen den Vektorr¨aumen X und Y, falls T ein linearer Unterraum von X×Y ist, d.h.T ≤X×Y.

SindX und Y topologische Vektorr¨aume, so sei X×Y mit der Produkttopologie versehen. Ist T ≤ X×Y abgeschlossen, so spricht man von einer abgeschlossenen linearen Relation.

Weiters bezeichne T den Abschluss von T ≤X×Y.

Definition 3.2.Seien X, Y Vektorr¨aume undT ≤X×Y eine lineare Relation, dann definiert man analog zu linearen Abbildungen bzw. Operatoren

(i) denDomain oder DefinitionsbereichdomT :={x∈X:∃y∈Y: (x;y)∈T}, (ii) den Rangeoder BildbereichranT :={y∈Y:∃x∈X: (x;y)∈T},

(iii) denKernkerT :={x∈X: (x; 0)∈T},

(iv) denMulti-Valued-PartmulT :={y∈Y: (0;y)∈T}.

Bemerkung 3.3.SindX und Y topologische Vektorr¨aume und ist T ≤X×Y abgeschlossen, so sind kerT und mulT abgeschlossene Unterr¨aume von X bzw.Y. In der Tat gilt

kerT =πX(T∩(X× {0})).

Dabei ist T ∩(X× {0}) ein abgeschlossener Unterraum von X× {0}. Die Projektion auf die erste Komponente πX eingeschr¨ankt aufX× {0}ist aber ein Hom¨oomorphismus vonX× {0}

auf X. Also ist kerT abgeschlossen. Die Abgeschlossenheit von mulT sieht man genauso.

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Folgendes Lemma legt nahe, lineare Relationen als mehrwertige Funktionen zu sehen:

Lemma 3.4. Ist (f;g)∈T, so gilt {h∈Y: (f;h)∈T}=g+ mulT. Beweis. Sei W :={h∈Y: (f;h)∈T}.

Sind (f;g) und (f;h) ∈T, d.h. h ∈W, so ist (f−f;h−g) ∈T, da T ein linearer Raum ist.

Daher ist h−g∈mulT bzw. h∈g+ mulT.

Ist umgekehrt z ∈mulT, dann ist nach Definition (0;z)∈ T, und weiter (f;g+z) = (f;g) +

(0;z)∈T, also g+z∈W.

Bemerkung 3.5.Indem man einen linearen OperatorT vonM ≤X nachY mit seinem Graph identifiziert, kann man T als lineare Relation betrachten. Umgekehrt ist eine Relation T mit mulT ={0}wegen Lemma 3.4 offensichtlich der Graph eines Operators.

Definition 3.6.SeienX, Y topologische Vektorr¨aume undM ≤Xein linearer Unterraum. Ein linearer Operator B:M → Y heißt abgeschlossen, wenn sein Graph in X×Y abgeschlossen bzgl. der Produkttopologie ist.

Lemma 3.7. Seien X, Y topologische Vektorr¨aume, M ≤ X ein linearer Unterraum und B:M →Y linear. Dann gilt:

(i) Sei B stetig. Ist M abgeschlossen, so auch (der Graph von) B.

(ii) Sind X und Y Banachr¨aume, und sind M und B abgeschlossen, so ist B stetig.

Beweis.

(i) Konvergiert das Netz ((xi;Bxi))i∈I in B ≤ X×Y gegen (x :y) ∈ X×Y, so heißt das x_i → x und Bx_i → y. Ist M abgeschlossen, so folgt x ∈ M = domB, und wegen der Stetigkeit von B gilt Bxi → Bx. Die Eindeutigkeit des Grenzwertes zeigt y = Bx. Also ist (x;y) im Graph vonB und dieser somit abgeschlossen.

(ii) Diese Aussage folgt unmittelbar aus dem Satz von abgeschlossenen Graphen, siehe [F].

Definition 3.8. SindX, Y, Z Vektorr¨aume,S, T ≤X×Y,R≤Y ×Z undα∈C, so definiert man

(i) S+T :={(f;g)∈X×Y:∃h, k∈Y:g=h+k,(f;h)∈S,(f;k)∈T} (ii) αT :={(f;αg∈X×Y: (f;g)∈T}

(iii) T⁻¹ :={(g;f)∈Y ×X: (f;g)∈T} und

(iv) RS:={(f;k)∈X×Z:∃g∈Y: (f;g)∈S∧(g;k)∈R}

Bemerkung 3.9.Man überprüft unmittelbar, dass mitR, S, T auchS+T, αT, T⁻¹, RS lineare Relationen sind. Außerdem überzeugt man sich leicht, dass P(RS) = (P R)S und (RS)⁻¹ = S⁻¹R⁻¹, wenn noch P ≤Z×V für einen Vektorraum V.

Man sieht unmittelbar, dass dom(T⁻¹) = ranT,ran(T⁻¹) = domT,ker(T⁻¹) = mulT und mul(T⁻¹) = kerT gilt. Insbesondere ist T⁻¹ genau dann ein Operator, wenn kerT ={0}.

Bemerkung 3.10. SeienR, S, T Operatoren.

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• Dann ist αT die ¨ubliche Multiplikation einer linearen Abbildung mit einem Skalar.

• S+T ist eine lineare Abbildung von domS∩domT nachY und stimmt dort mit der punktweisen Addition vonS und T ¨uberein.

• RS ist eine lineare Abbildung von {f ∈domS:Sf ∈domR} nach Z und stimmt dort mit der üblichen Hintereinanderausführung zweier Funktionen überein.

IstS ein Operator undT eine lineare Relation, so gilt

S+T :={(f;g+Sf)∈X×Y: (f;g)∈T, f ∈domS}

IstX =Y und I der Identit¨atsoperator auf X undα∈C, so gilt T +αI :={(f;g+αf)∈X×X: (f;g)∈T}.

Lemma 3.11. Seien X, Y, Z Vektorr¨aume und seien S, T ≤ X ×Y, P, R ≤ Y ×Z lineare Relationen. Dann gilt

(i) R(S+T)⊇RS+RT

Falls S ein Operator mit S(dom(S+T))⊆domR ist, dann gilt sogar Gleichheit.

(ii) (P +R)S ⊆P S+RS

Falls S ein Operator ist, dann gilt sogar Gleichheit.

Beweis.

(i) Sei (a;b)∈RS+RT. Dann existierenb₁, b₂ ∈Z mitb₁+b₂ =b, sodass (a;b₁)∈RS und (a;b2) ∈ RT gilt. Nach Definition existieren g, h ∈ Y, sodass (a;g) ∈ S,(g;b1) ∈ R und (a;h)∈T,(h;b2)∈R. Nun ist (a;g+h)∈S+T. DaR ein Unterraum vonY ×Z ist, gilt

(g+h;b) = (g+h;b1+b2) = (g;b1) + (g;b2)∈R.

Daher ist (a;b)∈R(S+T).

Sei nun zus¨atzlichS ein Operator mit S(dom(S+T))⊆domR. Wenn (a;b)∈R(S+T), dann existiert g ∈ Y, sodass (a;g) ∈ S+T und (g;b) ∈ R gilt. Wegen der zus¨atzlichen Forderung anS ist Sa∈domR, also (Sa;RSa)∈R. Daraus erhalten wir (a;g−Sa)∈T und (g−Sa;b−RSa)∈R. Das bedeutet (a;b−RSa)∈RT bzw. (a;b)∈RS+RT. (ii) Sei (a;b)∈(P+R)S. Nach Definition existiertg∈Y, sodass (a;g)∈Sund (g;b)∈P+R

gilt. Dann existierenb1, b2 ∈Z mit b1+b2 =b, sodass (g;b1)∈P und (g;b2)∈R. Daher gilt (a;b₁)∈P Sund (a;b₂)∈RS, woraus wir auf (a;b) = (a;b₁+b₂)∈P S+RS schließen k¨onnen.

Sei zusätzlich S ein Operator und sei (a;b) ∈ P S+RS gegeben. Dann ist (a;b1) ∈ P S und (a;b₂)∈RS für Elemente b₁, b₂ ∈Z, die b₁+b₂ =berfüllen. Da S ein Operator ist, gilt daher (Sa;b₁)∈P und (Sa;b₂)∈R, also (Sa;b) = (Sa;b₁+b₂)∈P+R. Folglich ist dann (a;b)∈(P+R)S.

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Lemma 3.12.Sei H ein Hilbertraum undT ∈ B(H), aufgefasst als lineare Relation. Dann gilt T T⁻¹⊆I ⊆T⁻¹T.

Beweis. Wenn (a;b)∈T T⁻¹ ist, dann existiert h∈H, sodass (a;h)∈T⁻¹ und (h;b)∈T gilt.

Außerdem ist (h;a)∈T. Da T ein Operator ist, gilta=b. Somit haben wirT T⁻¹⊆I gezeigt.

Da T uberall definiert ist, gilt f¨¨ ur jedes h ∈ H, dass (h;T h) ∈ T und (T h;h) ∈T⁻¹. Daraus folgt (h;h)∈T⁻¹T f¨ur jedesh∈H, womitI ⊆T⁻¹T gezeigt ist.

Seien von nun an H₁ und H₂ immer Hilbertr¨aume. Das Produkt H₁×H₂ ist bekannterweise auch ein Hilbertraum, wenn man f¨ur (x;y),(u;v)∈H₁×H₂

((x;y),(u;v))_H₁×H2 := (x, u)_H₁ + (y, v)_H₂

definiert. Dann l¨asst sichH1×H2 offensichtlich zerlegen inH1×H2 = (H1× {0})⊕({0} ×H2), wobei⊕ f¨ur die orthogonale direkte Summe steht.

Definition 3.13.F¨ur eine lineare RelationT ≤H1×H2 sei

T^∗ :={(x;y)∈H2×H1: (x, v)H2 = (y, u)H1 ∀(u;v)∈T} dieadjungierte Relation zu T, oder einfach nur die Adjungierte zu T.

Bemerkung 3.14. Die adjungierte RelationT^∗ zuT ist eine lineare Relation aufH2×H1. Direkt aus der Definition folgt f¨ur lineare RelationenS, T ≤H₁×H₂ mitS ⊆T, dassT^∗ ⊆S^∗.

Bemerkung 3.15. IstT:H1 →H2 ein beschr¨ankter linearer Operator, und bezeichne

T⁺:H2 → H1 den adjungierten Operator zu T im klassischen Sinn. Dieser ist ebenfalls linear und beschr¨ankt und erf¨ullt

(x, T u) = (T⁺x, u), x∈H2

f¨ur alle (u;T u)∈T. Damit folgt (x;T⁺x)∈T^∗, also T⁺⊆T^∗. Ist umgekehrt (x;y)∈T^∗, so gilt

(T⁺x, u) = (x, T u) = (y, u) f¨ur alle u∈H₁, also y=T⁺x. Insgesamt gilt T⁺=T^∗.x∈H₂

Bemerkung 3.16. Wir definieren die Abbildungen J:H1×H2 → H2×H1,(u;v)7→ (−v;u) und ˜J: H₂ ×H₁ → H₁ ×H₂,(u;v) 7→ (−v;u). Man überprüft leicht, dass die Inverse von J gerade −J, bzw. die Inverse von ˜˜ J gerade −J ist und dassJ und ˜J Homöomorphismen sind.

Klarerweise ist (x;y)∈T^∗ genau dann, wenn

((x;y),(−v;u))H2×H1 = (x, v)H2 −(y, u)H1 = 0 ∀(u;v)∈T.

Nun ist {(−v;u)∈H1×H2: (u;v)∈T} das Bild vonT unterJ. Also gilt

T^∗=J(T)^⊥, (3.1)

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wobei rechts das orthogonale Komplement von J(T) im HilbertraumH₂×H₁ gemeint ist.

Insbesondere ist T^∗ immer ein abgeschlossener linearer Unterraum von H₂ ×H₁. Da J ein Hom¨oomorphismus ist, gilt außerdemT^∗ =T^∗.

Ebenso erkennt man, dass (x;y)∈T^∗ genau dann, wenn

((−y;x),(u;v))_H₁×H₂ = (x, v)_H₂ −(y, u)_H₁ = 0 ∀(u;v)∈T.

Das bedeutet ˜J(T^∗) = T^⊥ bzw. T^∗ =−J(T^⊥). Wenden wir nun diese Tatsache und (3.1) auf T^∗ statt T an, so folgt

T^∗∗:= (T^∗)^∗ = ˜J(T^∗)^∗ = ˜J(−J(T^⊥))^⊥= (T^⊥)^⊥=T (3.2) Insbesondere istT genau dann abgeschlossen, wennT^∗∗=T

Satz 3.17. Seien H₁, H₂ Hilbertr¨aume und T ≤H₁×H₂ eine lineare Relation.

Dann gilt mulT^∗ = (domT)^⊥ und kerT^∗= (ranT)^⊥.

Beweis. Durch Einsetzen in die Definitionen ergibt sich sofort

mulT^∗ ={y∈H₁: (0, v)−(y, u) = 0,∀(u;v)∈T}

={y∈H1: (y, u) = 0,∀u∈domT}= (domT)^⊥ und

kerT^∗={x∈H₂: (x_v)−(0, u) = 0,∀(u;v)∈T}

={x∈H₂: (x_v) = 0,∀v∈ranT}= (ranT)^⊥.

Korollar 3.18.Seien H₁, H₂ Hilbertr¨aume und T: domT(⊆H₁)→H₂ ein Operator.

(i) IstT dicht definiert, d.h.domT =H₁, dann ist die lineare RelationT^∗ auch ein Operator, d.h. mulT^∗ ={0}.

(ii) IstT abgeschlossen, dann ist T^∗ dicht definiert, d.h. domT^∗=H2. Beweis.

(i) Die Aussage folgt unmittelbar aus mulT^∗ = (domT)^⊥= (domT)^⊥=H₁^⊥={0}.

(ii) Da T abgeschlossen ist, gilt (T^∗)^∗ = T. Daraus ergibt sich (domT^∗)^⊥ = mul(T^∗)^∗ = mulT ={0} bzw. domT^∗ = (domT^∗)^⊥⊥={0}^⊥=H₂.

Bemerkung 3.19.SeiT ein linearer Operator, der auf einem Teilraum von einem Hilbertraum H definiert ist. Dann ist die Adjundierte T^∗ vorerst nur eine lineare Relation nach Definition 3.13. IstT^∗jedoch ein Operator, zum Beispiel wennT dicht definiert ist, dann gilt die bekannte Beziehung aus der Funktionalanalysis. F¨ur (y;T^∗y)∈T^∗ bzw. ¨aquivalent y∈domT^∗ gilt

(T x, y) = (x, T^∗y) ∀x∈domT.

(13)

Lemma 3.20. Es gilt (T⁻¹)^∗ = (T^∗)⁻¹ und (B+T)^∗ =B^∗+T^∗ f¨ur jedes B∈ B(H₁, H₂).

Beweis. Es gilt (x;y) ∈ (T⁻¹)^∗ genau dann, wenn (x, v) = (y, u) f¨ur alle (u;v) ∈ T⁻¹, bzw.

(x, a) = (y, b) f¨ur alle (a;b) ∈T. Das ist aber ¨aquivalent zu (y;x) ∈ T^∗, bzw. (x;y)∈ (T^∗)⁻¹. Insgesamt also (T⁻¹)^∗ = (T^∗)⁻¹.

Weiters ist (x, y) ∈ (B+T)^∗ genau dann, wenn (x, v) = (y, u) f¨ur alle (u;v) ∈ B +T, bzw.

(x, b+Ba) = (y, a) f¨ur alle (a;b)∈T. Wegen

(x, b+Ba) = (y, a) ⇔(x, b) = (y−B^∗x, a)

ist das ¨aquivalent zu (x;y−B^∗x)∈T^∗ und weiter zu (x;y)∈B^∗+T^∗.

Lemma 3.21. Seien H1, H2, H3 Hilbertr¨aume, R ≤H1×H2 und S ≤ H2×H3 lineare Rela- tionen.

Dann gilt R^∗S^∗⊆(SR)^∗.

Beweis. Wenn (a;c)∈R^∗S^∗, dann existiert einb ∈H₂, sodass (a;b)∈S^∗ und (b;c)∈R^∗. Das bedeutet aber gerade

[(a, x) = (b, y1) ∀(y₁;x)∈S] und [(b, y2) = (c, z) ∀(z;y2)∈R].

Insbesondere gilt für Elemente aus R und S, für die ein y ∈H₂ mit (z;y)∈ R und (y;x) ∈S existiert, d.h. (z;x)∈SR, dass (a, x) = (b, y) = (c, z). Damit haben wir (a, x) = (c, z) für alle (z;x)∈SR, also (a;c)∈(SR)^∗.

Insgesamt alsoR^∗S^∗ ⊆(SR)^∗.

(14)

4 Funktionalkalk¨ ul f¨ ur unbeschr¨ ankte messbare Funktionen

Mit Hilfe von linearen Relationen kann man auch einen Funktionalkalkül für unbeschränkte messbare Funktionen bzgl. einem Spektralmaß aufbauen.

Die Beweise sind nicht schwierig, werden aber an dieser Stelle nicht gebracht und k¨onnen in [F2][Kapitel 3] nachgelesen werden.

Sei Ω eine Menge und A eine σ-Algebra auf Ω. Bezeichne die Menge aller A-messbaren, komplexwertigen Funktionen φ: Ω → C mit U(Ω,A). Wir wollen nun überlegen, wie man eine Funktion φ ∈ U(Ω,A) bezüglich eines Spektralmaßes E für hΩ,A, Hi integrieren kann, wobei H ein Hilbertraum ist.

Im Allgemeinen erhalten wir keinen beschränkten, sondern nur abgeschlossenen Operator. Für den Spezialfall φ∈B(Ω,A) wird dieses Integral mit dem schon bekannten beschränkten Ope- ratorR

φ dE ubereinstimmen.¨

Bemerkung 4.1. Ist φ∈U(Ω,A), so kann man φ immer als Summeφ =φ₁+φ₂ schreiben, wobei φ1, φ2 in U(Ω,A) liegen, φ1 beschr¨ankt ist und |φ₂| ≥ δ f¨ur ein festes δ > 0 gilt. Man nehme zum Beispiel

φ2=1{t∈Ω :|φ(t)|≥1}·φ+1{t∈Ω :|φ(t)|<1} und φ1=1{t∈Ω :|φ(t)|<1}(φ−1).

Gemäß dem Funktionalkalkül für beschränkte messbare Funktionen existieren R

φ₁dE und R ₁

φ2 dE in B(H). Man kann sogar zeigen, dass ker[R ₁

φ2 dE] = {0} und ran[R ₁

φ2 dE] = H.

Definition 4.2.Sei Ω eine Menge,Aeineσ-Algebra auf Ω und Hein Hilbertraum. Weiters sei E ein Spektralmaß f¨urhΩ,A, Hi.

Seiφ∈U(Ω,A) und seiφ=φ1+φ2 zerlegt wie in Bemerkung 4.1. Dann setzen wir Z

φ dE :=

Z 1 φ₂ dE

−1

+ Z

φ₁dE.

Bemerkung 4.3. Wir haben in Bemerkung 4.1 gesehen, dassR ₁

φ2 dE ein injektiver Operator aus B(H) mit dichtem Bild ist. Somit ist [R ₁

φ2 dE]⁻¹ ein abgeschlossener mit dichtem Defi- nitionsbereich ran[R ₁

φ2dE]. Wegen R

φ₁dE ∈ B(H) ist dann auch R

φ dE ein abgeschlossener Operator mit dichtem Definitionsbereich ran[R ₁

φ2 dE].

Ist φ beschränkt, so ist auchφ₂ beschränkt. Nach der Multiplikativität des Funktionalkalküls für Funktionen aus B(Ω,A) gilt [R ₁

φ2 dE]⁻¹ =R

φ2dE. Man sieht also, dass die Definition von R φ dE in Definition 4.2 mit der ¨ublichen Definition vonR

φ dE ubereinstimmt.¨

Lemma 4.4. Sei Ω eine Menge, A eine σ-Algebra auf Ω und H ein Hilbertraum. Weiters sei E ein Spektralmaß f¨urhΩ,A, Hi.

Sei φ ∈ U(Ω,A) und sei ∆n ∈ A, n ∈N, eine monoton wachsende Folge von Mengen, sodass S

n∈N∆n= Ω und sodassφauf allen ∆n, n∈N,beschr¨ankt ist. Dann gilt (i) F¨urg∈H gilt: g∈dom[R

φ dE]⇔R

Ω|φ|²dE_g,g <∞ (ii) F¨urg∈dom[R

φ dE]und h∈H ist φbzgl. Eg,h integrierbar, wobei Z

φ dE

g, h

= Z

φ dE_g,h.

(15)

(iii) R

φ dE ist unabhängig von der gewählten Zerlegung φ=φ₁+φ₂. (iv) Für allen∈N gilt R

(φ·1∆n)dE _ran_E(∆

n) ⊆R φ dE.

Beweis. Die Beweise findet man in [F2, Lemma 3.5.4].

(16)

5 Vorbereitungen f¨ ur den Beweis des Spektralsatzes

Definition 5.1. SeiH ein Hilbertraum und T ≤H×H eine lineare Relation, dann heißt T

• symmetrisch, fallsT ⊆T^∗

• selbstadjungiert, falls T =T^∗

• normal, fallsT^∗T =T T^∗

Lemma 5.2.SeienH1, H2Hilbertr¨aume, seiT ≤H1×H₂ eine abgeschlossene lineare Relation.

• Sind a, h∈H₁, dann ist (a;h)∈I+T^∗T genau dann, wenn (h; 0)zerlegt werden kann in

(h; 0) = (a;b) + (d;−c), (5.3)

mit b, d∈H2 und c∈H1, sodass (a;b)∈T und (c, d)∈T^∗.

• Zu jedem h∈H1 existiert ein eindeutiges a∈H1, sodass (a;h)∈I +T^∗T gilt.

Beweis.

• Wenn (a;h) ∈ I +T^∗T gilt, dann ist (a;h−a) ∈ T^∗T. Laut Definition 3.8 bedeutet das aber, dass ein b∈H₂ existiert, sodass (a;b)∈T und (b;h−a)∈T^∗. Damit k¨onnen wir (h; 0) darstellen als (h; 0) = (a;b) + (h−a;−b).

Gilt umgekehrt die Gleichung (5.3) f¨ur (a;b) ∈ T und (c;d) ∈ T^∗, dann folgt offensichtlich, dass c =bund d=h−asein muss. Also ist (b;h−a)∈T^∗ und somit gilt (a;h−a) ∈T^∗T.

Daraus folgt dann (a;h)∈I +T^∗T.

• Nun zeigen wir, die Existenz und Eindeutigkeit der Zerlegung von (h; 0) in (5.3). Da T ein abgeschlossener Unterraum von H₁ ×H₂ ist, kann man H₁ ×H₂ eindeutig zerlegen in H₁×H₂=T⊕T^⊥. In Bemerkung 3.16 haben wir gesehen, dassT^⊥= ˜J(T^∗) gilt, wobei ˜J ein Hom¨oomorphismus vonH2×H1 nach H1×H2 ist, der ˜J((c;d)) = (d;−c) leistet. Somit gilt

T^⊥ = ˜J(T^∗) ={(d;−c)∈H1×H2: (c;d)∈T^∗}.

Damit lässt sich jedes Element (h₁;h₂) ∈ H₁ ×H₂ eindeutig zerlegen in (h₁;h₂) = (a;b) + (d;−c), mita, c∈H1,b, d∈H2, sodass (a;b)∈T und (c;d)∈T^∗. Insbesondere lässt sich also (h; 0) für jedesh∈H1 eindeutig zerlegen.

F¨urh∈H₁existieren eindeutigea, c∈H₁undb, d∈H₂, sodass die Zerlegung in (5.3) gilt. Aus dem vorigen Punkt ergibt sich daraus, dass f¨ur jedes h∈H1 ein eindeutiges a∈H1 existiert, sodass (a;h)∈I+T^∗T gilt.

Bemerkung 5.3. Seien H1, H2 Hilbertr¨aume, sei T ≤ H1 ×H2 eine abgeschlossene lineare Relation und sei h∈H₁. Wenn man (h; 0) wie in (5.3) zerlegt, mit a, c∈H₁, b, d∈H₂, sodass (a;b)∈T und (c;d)∈T^∗. Dann gilt

khk² =k(h; 0)k² =k(a;b)k²+k(d;−c)k²≥ k(a;b)k²=kak²+kbk²,

(17)

woraus wir auf

khk ≥ kak und khk ≥ kbk (5.4) schließen k¨onnen.

Satz 5.4.Seien H₁, H₂ Hilbertr¨aume und seiT ≤H₁×H₂ eine abgeschlossene lineare Relation.

Dann gilt:

(i) B := (I+T^∗T)⁻¹ ist ein beschr¨ankter linearer Operator mit NormkBk ≤1.

(ii) Die linearen Relation(I +T^∗T)⁻¹,(I+T^∗T) und T^∗T sind selbstadjungiert.

(iii) B ist ein positiver Operator, d.h. (Bh, h)≥0 f¨ur alleh∈H₁. (iv) kerB= mulT^∗T = mulT^∗ und ranB = domT^∗T = domT

(v) B(I+T^∗T)⊆I ⊆(I+T^∗T)B Beweis.

(i) Aus dem Lemma 5.2 wissen wir, dass es f¨ur jedes h ∈H1 genau ein a∈H1 gibt, sodass (a;h)∈I+T^∗T bzw. (h;a)∈(I+T^∗T)⁻¹. Damit istB ein ¨uberall definierter Operator.

F¨ur (h;a) ∈ B, a = Bh, ergibt sich aus (5.4), dass kBhk = kak ≤ khk ist. Daher gilt kBk ≤1 und damit ist B∈ B(H₁).´

(ii) Nun gilt wegen Lemma 3.20, Lemma 3.21 undT^∗∗=T, dass

((I+T^∗T)⁻¹)^∗ = ((I+T^∗T)^∗)⁻¹= (I^∗+ (T^∗T)^∗)⁻¹ ⊇(I+T^∗T^∗∗)⁻¹= (I+T^∗T)⁻¹. Wegen Bemerkung 3.15 ist B^∗ ein beschr¨ankter linearer Operator. Da B und B^∗ beides

¨uberall definierte Operatoren sind, muss wegen der Beziehung B ⊆ B^∗ bereits B = B^∗ gelten.

Das Lemma 3.20 zeigt, dass man das Adjungieren mit der Inversenbildung vertauschen kann. Das ergibt (I +T^∗T)⁻¹ = ((I +T^∗T)^∗)⁻¹. Aus der Definition der Inversen einer linearen Relation, vgl. Def. 3.8 (iii), folgt (I+T^∗T) = (I+T^∗T)^∗. Also ist auchI+T^∗T selbstadjungiert. Mit Hilfe von Lemma 3.20 undI^∗=I ergibt sichI+T^∗T = (I+T^∗T)^∗= I+ (T^∗T)^∗ und daraus folgtT^∗T = (T^∗T)^∗. Somit istT^∗T selbstadjungiert.

(iii) Sei h∈H1 und a=Bh, also (h;a)∈B. Nun ist (a;h)∈I+T^∗T und wegen Lemma 5.2 kann (h; 0) eindeutig als (h; 0) = (a;b) + (d;−b) dargestellt werden, wobeib∈H₂, d∈H₁, sodass (a;b) ∈ T und (b;d) ∈ T^∗. Einerseits ergibt sich daraus h = a+d. Andererseits erkennen wir aus der Definition von T^∗, dass für (b;d) ∈T^∗ die Gleichung (u, d) = (v, b) für alle (u;v) ∈ T gilt, insbesondere also auch für (a;b) ∈ T. Wir erhalten damit die Gleichung (a, d) = (b, b) =kbk. Nun gilt

(Bh, h) = (a, h) = (a, a) + (a, d) =kak²+kbk²≥0.

(iv) Ein x ∈ H₁ liegt genau dann in ker(I + T^∗T)⁻¹, wenn (0;x) ∈ I +T^∗T bzw. wenn (0;x)∈T^∗T. Also gilt kerB= mulT^∗T.

Wenn (0;x) ∈ T^∗T gilt, bedeutet das die Existenz von h ∈ H₁, sodass (0;h) ∈ T und (h;x) ∈ T^∗. Da (0;h) ein Element von T ist, erhalten wir aus der Definition von T^∗ die Gleichung khk² = (h, h) = (x,0) = 0. Somit muss h = 0 sein. Deshalb ist (0;x) ∈ T^∗T

¨aquivalent zu (0;x)∈T^∗. Insgesamt haben wir also kerB = mulT^∗T = mulT^∗.

Der zweite Teil der Aussage folgt aus dem ersten Teil mit Hilfe von Satz 3.17, indem man zu den orthogonalen Komplementen ¨ubergeht.

(18)

(v) Die Aussage folgt sofort aus Lemma 3.12, da B∈ B(H₁) und B⁻¹= (I+T^∗T), im Sinne von linearen Relationen, gilt.

Bemerkung 5.5.

(i) DaB = (I+T^∗T)⁻¹ ein positiver, beschr¨ankter Operator ist, ist das Spektrumσ(B) von B eine Teilmenge von [0,+∞). F¨ur den Spektralradius r(B) := sup{|λ|:λ ∈ σ(B)} gilt r(B) =kBk ≤1 ist. Daraus folgtσ(B)⊆[0,1].

Wegen Satz 2.12 existiert ein eindeutiges SpektralmaßP zu T, sodass T =R

σ(B)t dP(t).

Dieses Hilfsmittel ist ein entscheidender Schritt beim Beweis des Spektralsatzes f¨ur unbeschr¨ankte normale Operatoren.

(ii) Ist T zus¨atzlich dicht definiert, dann ist nach Korollar 3.18 T^∗ ein Operator und damit auchI+T^∗T, vgl. Satz 5.4 (iv). Dann gilt in Satz 5.4 (v) bei der zweiten Inklusion sogar Gleichheit, denn sowohl I als auch I+T^∗T sind Operatoren und I ist ¨uberall definiert.

Daher kannI+T^∗T keine echte Obermenge vonI sein.

F¨urh∈domT^∗T gilt in diesem Fall

B(I+T^∗T)h= (I+T^∗T)Bh=h. (5.5)

Satz 5.6.Seien H1, H2 Hilbertr¨aume und seiT ≤H1×H₂ eine abgeschlossene lineare Relation.

Bezeichne mitP_(mul_T₎^⊥ die orthogonale Projektion auf (mulT)^⊥. Dann gilt:

(i) P_(mul_T₎^⊥T =T∩(H1×(mul)^⊥)

(ii) P_(mul_T₎^⊥T ist ein abgeschlossener linearer Operator.

(iii) C := P_(mul_T₎^⊥T(I +T^∗T)⁻¹ ist ein beschr¨ankter linearer Operator von H₁ nach H₂ mit kCk ≤1.

(iv) Der Abschluss von R:={((I+T^∗T)⁻¹h;Ch) :h∈H₁}=CB⁻¹ ist genau P_(mul_T₎^⊥T. Beweis.

(i) F¨ur (x;y) ∈ T ∩ (H1 ×(mul)^⊥) gilt (x;y) ∈ T und y ∈ (mulT)^⊥. Offensichtlich ist (y;y) ∈ P_(mul_T₎^⊥, da y bereits in (mulT)^⊥ liegt. Aus (x;y) ∈ T und (y;y) ∈ P_(mul_T₎^⊥ folgt laut Definition, dass (x;y)∈P_(mul_T₎^⊥T.

Wenn nun (x;y) ∈ P_(mulT₎^⊥T ist, dann existiert ein z ∈ H2, sodass (x;z) ∈ T und (z;y) ∈ P_(mul_T₎^⊥, bzw. y = P_(mul_T₎^⊥z. Da mulT ⊆ H₂ abgeschlossen ist, kann man z eindeutig darstellen als z = ˜y+y mit ˜y ∈ mulT und y ∈ (mulT)^⊥. Wir k¨onnen also y auch schreiben alsy =z−y. Somit ist˜ y ein Element von z+ mulT. Wegen Lemma 3.4 gilt aberz+ mulT ={h∈H2: (x;h)∈T}, daher ist (x;y)∈T. Wegen y∈(mulT)^⊥ gilt insgesamt (x;y)∈T∩(H1×(mulT)^⊥).

(ii) (mulT)^⊥ist ein abgeschlossener Teilraum vonH2. Daher istH1×(mulT)^⊥ abgeschlossen inH1×H₂bzgl. der Produkttopologie. Da wirT als abgeschlossen inH1×H₂voraussetzen, istP_(mul_T₎^⊥T als Durchschnitt zweier abgeschlossener Mengen ebenfalls abgeschlossen.

Sei nun (0;x) ∈ T ∩(H1 ×(mulT)^⊥) = P_(mul_T₎^⊥T. Dann gilt einerseits (0;x) ∈ T, also x∈mulT, und andererseitsx∈(mulT)^⊥. Somit ist x= 0 und P_(mulT₎^⊥T ein Operator.

(19)

(iii) C ist als Zusammensetzung der Operatoren P_(mul_T₎^⊥T undB := (I+T^∗T)⁻¹ wieder ein Operator.

F¨urh∈H1 bezeichnea=Bh. Wir wissen bereits, dass

P_(mul_T₎^⊥T =T∩(H₁×(mulT)^⊥) gilt. Die GleichungCh= (P_(mulT₎^⊥T)Bh= (P_(mul_T₎^⊥T)a bedeutet daher, dass Ch das eindeutige Element aus (mulT)^⊥ ist, f¨ur das (a, Ch) ∈ T gilt.

Wegen (h;a) ∈B bzw. (a;h) ∈ I+T^∗T folgt aus (5.3), dass (h; 0) eindeutig in (h; 0) = (a;b) + (d;−b) zerlegt werden kann, mitb∈H2, d∈H1, sodass (a;b)∈T und (b;d)∈T^∗. Wir zeigen nun, dassb∈(mulT)^⊥ gilt und daherCh=b sein muss.

Sei (0;x)∈ T beliebig, dann gilt (b, x) = (d,0) = 0. Das zeigt gerade, dass (b, x) = 0 f¨ur allex∈mulT, d.h. b∈(mulT)^⊥.

Die Absch¨atzung (5.4) liefert nun kChk = kbk ≤ khk. Da h ∈ H₁ beliebig gew¨ahlt war, folgtkCk ≤1.

(iv) Offensichtlich giltR⊆P_(mul_T₎⊥T. DaP_(mul_T₎⊥T abgeschlossen ist, folgt R⊆P_(mul_T₎⊥T.

Als abgeschlossener Unterraum des HilbertraumsH1×H2 ist P_(mul_T₎^⊥T auch ein Hilber- traum, der den abgeschlossenen UnterraumRenthält. Natürlich istRauch im Hilbertraum P_(mul_T₎^⊥T abgeschlossen und daher lässt sichP_(mulT₎^⊥T =R⊕R^⊥ als orthogonale direkte Summe schreiben, wobei hier das orthogonale Komplement im HilbertraumP_(mulT₎^⊥T zu verstehen ist. Angenommen R wäre eine echter Teilraum von P_(mul_T₎^⊥T, dann bedeutet das, dass ein nicht-triviales Element inR^⊥ existieren muss.

Sei also (r;s)6= (0; 0) und (r;s)∈R^⊥⊆P_(mul_T₎^⊥T. Damit ist (r;s)∈T mits∈(mulT)^⊥. Die Elemente vonR sind von der Form (Bh;Ch) f¨ur einh ∈H1. W¨ahleh ∈H1 beliebig, dann kann man (h; 0) darstellen als

(h; 0) = (a;b)

| {z }

∈R

+(d;−c),

sodass (a;b)∈T und (d;−c)∈T^⊥. Es gilt Bh=a und Ch=b und daher ist (a;b)∈R.

Da (r;s) aufR orthogonal steht, gilt einerseits ((r;s),(a;b)) = 0.

Andererseits steht (d;−c) orthogonal aufT, insbesondere auf (r;s), also ((r;s),(d;−c)) = 0.

Insgesamt haben wir 0 = ((r;s),(h; 0)) = (r, h) + (s,0), womit (r, h) = 0. Da h ∈ H₁ beliebig war, folgtr= 0. Wir haben also (0;s)∈T mits∈(mulT)^⊥, worauss= 0 folgt.

Das ist aber ein Widerspruch zu unserer Annahme, dass (r;s)6= (0; 0). Wir schließen, dass R kein echter Teilraum vonP_(mul_T₎^⊥T sein kann, also R=P_(mul_T₎^⊥T.

Bemerkung 5.7. Seien H1, H2 Hilberträume. Ist T ≤ H1 ×H2 sogar ein abgeschlossener Operator, dann gilt mulT ={0} und (mulT)^⊥ = H2. Damit ist P_(mul_T₎^⊥ genau die Identität auf H₂ und C=T(I +T^∗T)⁻¹ ein Operator, der überall definiert und beschränkt ist.

Lemma 5.8.SeiH ein Hilbertraum. IstN eine abgeschlossene, normale lineare Relation, dann gilt mulN = mulN^∗N = mulN^∗. Ist N sogar ein Operator, dann ist auch N^∗ ein Operator und sowohl N als auch N^∗ sind dicht definiert.

(20)

Beweis. Aus Satz 5.4 (iv),N^∗∗=N und daN normal ist, folgt

mulN^∗ = mulN^∗N = mulN N^∗= mulN^∗∗N^∗= mulN^∗∗= mulN.

WennN ein Operator ist, d.h. mulN ={0}, dann ist daher auch N^∗ ein Operator. Wegen Satz 3.17 folgt

(domN)^⊥= mulN^∗={0} und (domN^∗)^⊥= mulN^∗∗= mulN ={0}.

Daher sind N und N^∗ dicht definiert.

Lemma 5.9. Sei H ein Hilbertraum und N ein normaler Operator auf H, d.h. eine lineare Relation mit mulN ={0} und N^∗N =N N^∗.

Dann gilt N(I+N N^∗) = (I+N N^∗)N.

Beweis. DaN ein Operator ist und I ein Operator mit I(dom(I+N^∗N)) = domN^∗N ⊆N ist, sind die zus¨atzlichen Forderungen in Lemma 3.11 erf¨ullt. Daraus folgt

N(I+N^∗N) =N+N N^∗N =N+N^∗N N = (I+N^∗N)N,

wobei die zweite Gleichheit gilt, daN als normal vorausgesetzt wurde.

Korollar 5.10. Sei H ein Hilbertraum und N ein abgeschlossener normaler Operator, d.h.

eine abgeschlossene lineare Relation mit mulN = {0} und N^∗N = N N^∗. Bezeichne nun mit B := (I+N^∗N)⁻¹ und C:=N B die Operatoren aus Satz 5.4 bzw. 5.6.

Dann gilt BN ⊆C und BC =CB.

Beweis. Wegen Satz 5.4 (v) und Lemma 5.9 gilt

BN ⊆BN(I+N^∗N)B ⊆B(I+N^∗N)N B ⊆N B =C im Sinne von linearen Relationen.

Weiters folgt daraus und aus Bemerkung 3.9

BC =B(N B) = (BN)B ⊆CB.

Sowohl B als auch C sind ¨uberall definierte Operatoren, daher sind es auch BC und CB.

Wegen domBC = domCB =H₁ kann BC keine echte Teilmenge vonCB sein. Deswegen gilt

BC =CB.

Bemerkung 5.11.

(i) Sei P das eindeutige Spektralmaß zu B, das wegen Satz 2.12 existiert. Dann folgt aus BC=CB, dassCmit jeder ProjektionP(∆) kommutiert. Wegen Satz 2.8 (iii) vertauscht C mit allen Operatoren der Form R

φ dP, wobei φ eine beschr¨ankte, messbare Funktion auf dem Spektrumσ(B) von B ist.

(ii) WennN ein abgeschlossener normaler Operator ist, dann haben wir in Lemma 5.8 bereits gesehen, dass N^∗ ebenfalls ein abgeschlossener Operator mit dichtem Definitionsbereich ist. Wegen der Abgeschlossenheit vonN giltN^∗∗=N und daher

(N^∗)^∗N^∗=N N^∗ =N^∗N =N^∗(N^∗)^∗.

(21)

Also istN^∗ auch normal.

Bezeichne nunM :=N^∗ und definiere ˜B = (1 +M^∗M)⁻¹, dann gilt

B˜ = (1 + (N^∗)^∗(N^∗))⁻¹ = (1 +N N^∗)⁻¹ = (1 +N^∗N)⁻¹=B (5.6) Analog zu Satz 5.6 und Korollar 5.10 kann man zeigen, dass ˜C := N^∗B˜ = N^∗B ein beschr¨ankter Operator ist, der BC˜ = ˜CB erf¨ullt. Daher vertauscht ˜C auch mit allen Ope- ratoren der FormR

φ dP, wobeiφeine beschr¨ankte, messbare Funktion auf dem Spektrum σ(B) von B ist.

Lemma 5.12. Sei H ein Hilbertraum und N ein abgeschlossener, normaler Operator auf H.

Bezeichne nun mit B:= (I+N^∗N)⁻¹ undC :=N B die Operatoren aus Satz 5.4 bzw. Satz 5.6.

Sei P das eindeutige Spektralmaß zu B nach Satz 2.12.

Weiters sei 0 < δ < 1 und ∆ eine Borelteilmenge von [δ,1]. Definiere H∆ := P(∆)H, N∆ :=

N|_H_∆ und N_∆^∗ := (N^∗)|_H_∆ im Sinne von linearen Abbildungen.

Dann gilt:

(i) H_∆ ist ein Hilbertraum.

(ii) H∆⊆domN

(iii) H_∆ ist invariant unterN und N^∗, d.h.N H_∆⊆H_∆ und N^∗H_∆⊆H_∆. (iv) N_∆ ist ein beschr¨ankter normaler Operator auf H_∆.

(v) B|_H_∆ ist bijektiv und es gilt

B|_H_∆ = (I+N_∆^∗N_∆)⁻¹. (5.7) (vi) σ(B|_H_∆)⊆∆

Beweis.

(i) Da P(∆) eine orthogonale Projektion ist, ist ihr Bildraum ranP(∆) ein abgeschlossener Teilraum von H. Als abgeschlossener Teilraum eines Hilbertraumes ist H_∆ = ranP(∆) wieder ein Hilbertraum.

(ii) Die Funktion φ(t) := 1∆(t)¹_t ist beschr¨ankt und messbar auf σ(B) ⊆ [0,1]. Daher kann manG:=R

1∆1

tdP definieren, und zwar im Sinne des Funktionalkalküls für beschränkte messbare Funktionen nach Satz 2.8. Dabei gilt

P(∆) = Z

1∆dP = Z

1∆

1

t ·t dP = Z

1∆

1 tdP ·

Z

t dP =GB.

Analog zeigt manP(∆) =BG.

DaC∈ B(H) wegen Satz 5.6 und G∈ B(H) wegen Satz 2.8 gilt, folgt daraus

N P(∆) =N BG=CG∈B(H). (5.8)

Damit ist dom(N P(∆)) = H. Das kann aber nur dann gelten, wenn H_∆ = ranP(∆) ⊆ domN.

(22)

(iii) Wegen Korollar 5.10 giltBN ⊆Cund wegen Bemerkung 5.11 kommutiertCmitG. Daher gilt

P(∆)N =GBN ⊆GC=CG=N BG=N P(∆).

Da sowohlP(∆)N als auchN P(∆) Operatoren sind, besagt diese Inklusion gerade, dass N P(∆) und P(∆)N auf domP(∆)N = domN ¨ubereinstimmen.

Sei nun h ∈ H_∆, also h = P(∆)h. Wegen (ii) liegt dann h ∈ domN und es gilt N h = N P(∆)h=P(∆)N h. Daraus erkennen wir, dass auchN h in ranP(∆) =H∆liegen muss.

Somit istH_∆ invariant unter N.

DaN ein abgeschlossener, dicht definierter normaler Operator ist, ist es wegen Korollar 3.18 auchN^∗. Wegen Bemerkung 5.11 (ii) kann man somit die selben Überlegungen auch fürN^∗ machen und erhält damit auch die Invarianz vonH_∆ unterN^∗.

(iv) Aus (5.8) folgt f¨urh∈H∆

N∆h=N|_H_∆h=CG|_H_∆h, womitN_∆ ein beschr¨ankter Operator auf H_∆ ist.

Für h ∈ H∆ sind auch N^∗N h, N N^∗h ∈ H∆. Da N normal ist, gilt N^∗N h = N N^∗h für alleh∈domN N^∗, insbesondere gilt diese Gleichheit fürh∈H_∆. Somit gilt

(N_∆^∗)(N∆)h= (N∆)(N_∆^∗)h, ∀h∈H∆. Das zeigt gerade, dassN∆normal im Hilbertraum H∆ ist.

(v) Da H∆ ⊆ dom(I +N^∗N) = domN^∗N ist, folgt aus (5.5), dass B(I +N^∗N)h = (I + N^∗N)Bh=h f¨ur alle h∈H_∆ gilt. Somit gilt

B|_H_∆ = [(I+N^∗N)|_H_∆]⁻¹ = (I+N_∆^∗N∆)⁻¹. (vi) Seiλ∈C. Wir betrachten den Operator (B−λI)P(∆) =R

(t−λ)1∆dP. Wenn nunλ6∈∆ ist, dann istt7→(t−λ)⁻¹1∆eine beschr¨ankte messbare Funktion auf [0,1]. Wir definieren nun die FunktionF :=R

(t−λ)⁻¹1∆dP. Dann gilt (B−λI)P(∆)F =

Z

(t−λ)· 1

(t−λ)1∆dP = Z

1∆dP =P(∆).

Wegen P(∆)F = F ist H∆ invariant unter F. F¨ur h ∈ H∆ gilt somit (B −λI)F h = F(B −λI)h = h. Somit ist der Operator (B −λI)|_H_∆ = (B|_H_∆ −λI) invertierbar in B(H_∆), seine Inverse ist n¨amlichF|_H_∆.

Insgesamt folgtσ(B|_H_∆)⊆∆.

(23)

6 Einige Bemerkungen zu orthogonalen Summen

Definition 6.1. Sei (Hn)n∈N eine Familie von Hilbertr¨aumen, dann bezeichnet man mit M

n∈N

H_n:={(h_n)n∈N:h_n∈H_nf¨ur alle n∈N,

∞

X

n=1

kh_nk² <∞}

dieorthogonale direkte Summe der Hilbertr¨aume Hn, n∈N.

Proposition 6.2. Sei((H_n,(., .)_n)n∈N eine Familie von Hilbertr¨aumen und seiH=L

n∈NH_n. Dann ist die Bilinearform

(f, g) :=

∞

X

n=1

(f_n, g_n)_n, mit(f;g)∈H×H, f = (f_n)n∈N, g= (g_n)n∈N (6.9) wohldefiniert auf H×H und ein Skalarprodukt auf H.

Versieht man H mit (., .), so ist(H,(., .))ein Hilbertraum.

Beweis. Sei f, g∈H, f = (f_n)n∈N, g = (g_n)n∈N und seien k.k_n, n∈N,die von (., .)_n induzierten Normen aufHn. Dann folgt aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung

∞

X

n=1

|(f_n, g_n)_n| ≤

∞

X

n=1

kf_nk_n· kg_nk_n≤

∞

X

n=1

kf_nk²_n

!1/2 ∞

X

n=1

kh_nk²_n

!1/2

.

Daher konvergiert die Reihe in (6.9) absolut und damit ist (., .) auf H ×H wohldefiniert.

Offensichtlich ist es ein Skalarprodukt, da alle (., .)_n Skalarprodukte sind. Der Beweis der Vollständigkeit von H bzgl. (., .) erfolgt in wesentlichen Schritten analog zum Beweis der Vollständigkeit des Folgenraums`² und wird hier nicht näher ausgeführt.

Lemma 6.3. Sei H ein Hilbertraum und seien P_n, n ∈ N, orthogonale Projektionen auf H, sodass ihre Bildr¨aume paarweise orthogonal sind und P∞

n=1Pn=I im Sinne der starken Ope- ratortopologie aufH. Definiere H_n:=P_nH, n∈N.

Dann ist die Abbildung

Ψ : (L

n∈NH_n→H (hn)n∈N7→P∞

n=1hn

wohldefiniert und ein isometrischer Isomorphismus.

Es gilt sogar

(g, h) = ((gn)n∈N,(hn)n∈N), (6.10) wobei g= Ψ((gn)n∈N) und h= Ψ((hn)n∈N).

Damit kann H mit L

n∈NH_n in nat¨urlicher Weise identifiziert werden.

Beweis. Zuerst bemerken wir, dass dieH_n, n∈N,als Bildr¨aume der orthogonalen Projektionen P_n, n∈N,paarweise orthogonale Hilbertr¨aume sind.

Sei nun (hn)n∈N∈L

n∈NHn. Nach dem Cauchyschen Konvergenzkriterium konvergiertP∞ n=1hn

in H genau dann, wenn f¨ur jedes >0 ein Index N ∈N existiert, sodass kP_m

i=nh_ik² ≤f¨ur allen, m≥N. Da die h_n, n∈N,paarweise orthogonal sind, gilt aber

m

X

i=n

hi

2

=

m

X

i=n

kh_ik².