Aufgabe 1: Beschr¨ ankte und unbeschr¨ ankte Operatoren

Theoretische Physik IV: Quantenmechanik

(Vorlesung Prof. Dr. J. Timmer)

Aufgabenzettel Nr. 3

Aufgabe 1: Beschr¨ ankte und unbeschr¨ ankte Operatoren

(5 Pkt.) Sei H ein Hilbertraum und ˆA:H→H ein linearer Operator auf H. Dieser heißt beschr¨ankt, wenn seine Operatornorm

kAkˆ := sup

|ψi∈H

kAˆ|ψi k k |ψi k

endlich ist. Hierbei wird die Norm auf dem Hilbertraum durch das Skalarprodukt induziert, d.h.k |ψi k:=

phψ|ψi.

i.) Sei nun ˆA beschr¨ankt, selbstadjungiert und das Spektrum {λn}_n∈N von ˆA sei diskret. Zeigen Sie mithilfe der Spektraldarstellung

Aˆ=X

n

λ_n|ni hn|,

dasskAkˆ = max

n |λn|gilt.(2 Pkt.)

ii.) Der Spektralsatz gilt auch f¨ur unbeschr¨ankte Operatoren und l¨asst sich nutzen, um Funktionen von Operatoren zu bilden: Sei ˆHein unbeschr¨ankter, selbstadjungierter Operator mit Spektrum {En|E_n=~ω(¹₂+n)}n∈N. Zeigen Sie mithilfe der Spektraldarstellung von ˆH, dass

ˆ

%≡exp

−βHˆ :=

∞

X

k=0

(−βHˆ)^k k! =

∞

X

n=0

e^−βEn|ni hn|

gilt. Ist ˆ%beschr¨ankt oder unbeschr¨ankt?(3 Pkt.)

Aufgabe 2: Operatoren mit kontinuierlichem Spektrum

(10 Pkt.) Die in Aufgabe 1 verwendeten Operatoren hatten alle ein diskretes Spektrum{λ_n}_n∈N, f¨ur welches man Zust¨ande|ni ∈H findet, so dass die Eigenwertgleichung ˆA|ni = λn|ni gilt. F¨ur Operatoren mit kontinuierlichen Spektren existieren solche Zust¨ande im Allgemeinen nicht, was in dieser Aufgabe anhand der Orts- und Impulsoperatoren veranschaulicht wird.

SeiH=L²(R) der Hilbertraum der quadratintegrablen Funktionen. Eine Teilmenge dieses Funktio- nenraums ist der Schwartz-Raum

S(R) =

φ∈C^∞(R)| ∀α, β∈N0: sup

x∈R

x^α ∂^β

∂x^βφ(x) <∞

⊂L²(R).

W¨ahrend ein HilbertraumH immer mit seinem DualraumH⁰ identifiziert werden kann, gilt f¨ur den SchwartzraumS(R)⊂S⁰(R). Hieraus folgt die Beziehung

S(R)⊂H⊂S⁰(R)

der drei R¨aume, die alsGelfandsches Raumtripel bezeichnet werden.

i.) Zeigen Sie, dass die Operatoren ˆx : (ˆxφ)(x) = xφ(x) und ˆp : (ˆpφ)(x) = ^~_i^dφ_dx(x) lineare, unbeschr¨ankte Operatoren aufS(R) sind.(4 Pkt.)

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ii.) WegenR

φ^∗(x) ˆAψ(x)dx=R

( ˆA^†φ(x))^∗ψ(x)dxkann jedem Operator ˆA: |ψi 7→ |ψ⁰i=|Aψiˆ = Aˆ|ψiaufS(R) ein entsprechender (adjungierter) Operator ˆA^† :hψ| 7→ hψ⁰|=hAψ|ˆ =hψ|Aˆ^† auf dem DualraumS⁰(R) zugewiesen werden. Zeigen Sie, dass die Funktionale

hφλ|: |ψi 7→ hφλ|ψi= Z 1

√2π~

e^−i~λxψ(x)dx

hδλ|: |ψi 7→ hδλ|ψi=ψ(λ)

aus dem DualraumS⁰(R) L¨osungen zu den verallgemeinerten Eigenwertgleichungen hˆpφλ|=hφλ|pˆ^†=λhφλ|

hˆxδλ|=hδλ|xˆ^†=λhδλ| sind.(2 Pkt.)

Bemerkung: W¨ahrend es die (nicht quadratintegrable) Funktion φ_λ(x) = ^√1

2π~e^~iλx gibt, die (ˆpφ_λ)(x) = λφ_λ(x) erf¨ullt, gibt es die entsprechende Funktion f¨ur den Ortsoperator nicht.

Dennoch ist die Schreibweise ˆxδ(x−λ) =λδ(x−λ) mitδ(x−λ)' hδλ| sehr gebr¨auchlich.

iii.) Zeigen Sie die verallgemeinerten Vollst¨andigkeitsrelationen

∀φ, ψ: hφ|ψi=hφ|

Z

dλ|δλi hδλ|

|ψi:=

Z

dλhδλ|φi^∗hδλ|ψi hφ|ψi=hφ|

Z

dλ|φ_λi hφ_λ|

|ψi:=

Z

dλhφ_λ|φi^∗hφ_λ|ψi

Hinweis: Verwenden Sie die Eigenschaft F⁻¹◦F =1 der FouriertransformationF auf S(R).

(2 Pkt.)

iv.) Betrachten Sie den Differentialoperator ˆD: ( ˆDψ)(x) =x^dψ_dx auf S(R). Zeigen Sie, dass hDδˆ ₀|=hδ₀|Dˆ^†=− hδ₀|

gilt.(2 Pkt.)

Bemerkung:Im urspr¨unglichen Raum lautete diese Gleichungx_dx^dδ(x) =−δ(x) mit der “Funk- tion”δ(x).

M¨ unsteraufgabe

Verl¨asst man das von 1999-2004 restaurierte Hauptportal des M¨unsters, steht rechter Hand eine von vorne reichgeschm¨uckte sch¨one Frau. Was will uns deren R¨uckseite sagen?

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