Mathematik f¨ur Chemiker 1: online-Vorlesung 3.2) Haupts¨atze der Differential- und Integralrechnung

Mathematik f¨ ur Chemiker 1: online-Vorlesung

3.2) Haupts¨ atze der Differential- und Integralrechnung

Bernd Hartke

Theoretische Chemie

Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at

Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel

hartke@pctc.uni-kiel.de

https://ravel.pctc.uni-kiel.de/ ^-1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

1/x ln(|x|)

1. Hauptsatz

Ist y = f(x) in [a, b] definiert und stetig, so existiert in [a, b] eine Stammfunktion F(x)

F(x) =

x

Z

x₀

f(t) dt (1)

mit x₀, x ∈ [a, b]. Diese Funktion ist differenzierbar, und ihre Ableitung ist wieder die urspr¨ung- liche Funktion f(x):

dF(x)

dx = f(x) (2)

(Beweis siehe Skript)

• Existenz (und Differenzierbarkeit) von F(x) unter sehr schwachen Voraussetzungen;

• Integration und Differentation sind zueinander inverse Operationen:

– Integration = Addition von Funktionswerten,b Differentation = Differenz von Funktionswertenb – Liste von Ableitungen ⇔ Liste von Integralen

– Integrationsregeln aus Umkehrung der Ableitungsregeln

Unbestimmtes Integral

In Erweiterung von Gl. 2 gilt mit beliebigen Konstanten C ∈ R (Integrationskonstante):

d

dx(F(x) + C) = f(x) (3)

⇒ Stammfunktionenschar; andere Notation daf¨ur: unbestimmtes Integral:

Z

f(x) dx = F(x) + C (4)

Letztlich ¨aquivalente Notationen:

F(x) =

x

Z

x₀

f(t)dt =b

Z

f(t)dt = Z

f(x)dx = F(x) + C (5)

Anderungen in¨ x₀ und ¨Anderungen in C bewirken ¨Ahnliches, s. Beispiele:

Beispiele Integrationskonstante

x

Z

0

t^αdt = x^α+1

α + 1 =b

Z

x^αdx = x^α+1

α + 1 + C , α 6= −1 (6)

x

Z

1

t^α dt =

t^α+1 α + 1

^x

1

= x^α+1

α + 1 − 1^α+1

α + 1 = x^α+1

α + 1 − 1 α + 1

| {z }

const.

(7)

x

Z

1

1

t dt = ln|x| =b

Z 1

x dx = ln |x| + C (8)

x

Z

2

1

t dt = [ ln |t|]^x₂ = ln |x| − ln|2| = ln |x| + ln 1 2

|{z}const.

(9)

2. Hauptsatz

Vorschrift zur Berechnung bestimmter Integrale:

b

Z

a

f(x)dx =

F(x)^b

a = F(b) − F(a) (10)

• Berechnung des bestimmten Integrals braucht nicht (unendlich!) viele Integrand-Funktionswerte f(x) zwischen x = a und x = b,

• sondern nur zwei Stammfunktionswerte F(x), an den Integralgrenzen.

• kleine Version der Integrals¨atze von Green, Gauß und Stokes bei n-dimensionaler Integration.

y

a b

Obersumme Untersumme