Beschr¨ankte, selbstadjungierte Operatoren

Beschr¨ankte, selbstadjungierte Operatoren

S ¨ ATZE VON WEYL UND VON NEUMANN

Gudmund Pammer

15. April 2015

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Das wesentliche Spektrum 1

2.1 Definition (Wesentliches Spektrum) . . . 1

2.2 Definition (Fredholm-Operator) . . . 2

2.4 Satz (Wesentliches Spektrum und Fredholm-Operatoren) . . . 2

2.5 Definition (Singul¨are Folge) . . . 3

2.8 Satz (Weyl Kriterium) . . . 3

3 St¨orungss¨atze 4 3.1 Satz (Kompakte Resolvente) . . . 5

3.2 Satz (Satz von Weyl) . . . 5

3.3 Satz (Satz von von Neumann) . . . 6

4 Literaturverzeichnis 11

1 Einleitung

In dieser Seminararbeit befasse ich mich mit dem Spektrum und St¨orungen selbstadjungierter Operatoren, insbesondere mit dem Weyl-Kriterium, dem Satz von Weyl und einer Umkeh- rung dieser Aussage, dem Satz von von Neumann. Die Notationsweise ist angelehnt an das Funktionalanalysis 1-Skript von Woracek, Kaltenb¨ack und Bl¨umlinger [2]. Als Motivation zur St¨orungstheorie selbstadjungierter Operatoren dient der Schr¨odinger Operator:

A:L²(R³)→L²(R³) :Af =−∆f+q·f, wobei q:=q1+q2 mitq1 ∈L²(R³) und q2∈L^∞(R³).

DurchFouriertransformation F erh¨alt man:

F(−∆)(f) =|k|²fˆ=:M◦F.

Man kann zeigen, dass der OperatorM auf entsprechendem Definitionsbereich selbstadjungiert ist und gilt:

σ(M) =σess(M) = [0,∞).

Weiters ist die Fouriertransformation ein unit¨arer Operator, also folgt:

[0,∞) =σ_ess(M) =σ_ess(F⁻¹◦M◦F).

Ausgehend von diesen Ergebnissen kann man R¨uckschl¨usse auf das Spektrum des Schr¨odinger Operators ziehen, welcher auch ein selbstadjungierter Operator ist.

2 Das wesentliche Spektrum

Sei im folgendenH ein Hilbertraum undA ein selbstadjungierter Operator in B(H).

Definition 2.1 (Wesentliches Spektrum). Wir bezeichnen mit σ_d(A) das Punktspektrum und mitσ_ess(A) daswesentliche Spektrum von A.

σ_d(A) :={λ∈σ(A) : dim ker(A)<∞ und λisoliert in σ(A)} (1)

σ_ess(A) :=σ(A)\σ_d(A) (2)

Bemerkung. Diese Definitionen k¨onnen analog auch f¨ur unbeschr¨ankte, selbstadjungierte Ope- ratoren ¨ubernommen werden. In der Vorlesung von M. Langer: Spektraltheorie f¨ur Differen- tialoperatoren [1] wurde der Begriff des wesentlichen Spektrums ¨uber Fredholm-Operatoren ein- gef¨uhrt. Nat¨urlich ist es eine interessante Tatsache, dass diese Definitionen f¨ur selbstadjungierte Operatoren ¨ubereinstimmen.

Definition 2.2(Fredholm-Operator). Ein oBdA. unbeschr¨ankter Operator wird alsabgeschlos- sen bezeichnet, wenn f¨ur jede Folge (xn)n∈N, xn ∈dom(A) mitxn

n→∞−→ x und (Axn)^n→∞−→ y ∈ ran (A) folgt, dassy=Ax, welches in nat¨urlicherweise f¨ur beschr¨ankte Operatoren immer gilt.

Wir nennen einen abgeschlossenen Operator Fredholm-Operator, wenn dim ker(A)<∞, dim^H/ran (A)<∞und ran (A) abgeschlossen inH ist.

Um eine andere Charakterisierung des wesentlichen Spektrums zu beweisen, f¨uhre ich die Menge M bez¨uglich eines abgeschlossenen Operators A ein:

M :={λ∈C: (A−λ) ist kein Fredholm-Operator}

und greife auf Satz 2.28 aus [1] zur¨uck, der folgend lautet:

Satz 2.3. Sei A ein abgeschlossener Operator auf einem Hilbertraum H und Ω eine offene, zusammenh¨angende Teilmenge von C, sodass Ω∩M = ∅ und Ω∩ρ(A) 6= ∅. So beinhaltet Ω∩σ(A) h¨ochstens abz¨ahlbar-viele Eigenwerte endlicher Vielfachheit ohne H¨aufungspunkt in Ω. Weiters ist M eine abgeschlossene Teilmenge des Spektrums.

Satz 2.4 (Wesentliches Spektrum und Fredholm-Operatoren). Sie Aein abgeschlossener Ope- rator, so gilt σess(A) =M.

Beweis. Aus Satz 2.3 folgt, dass entweder M = R ist oder Ω := C\M eine offene, zusam- menh¨angende Teilmenge von C, welche die Voraussetzungen aus Satz 2.3 erf¨ullt, ist. So exis- tieren in Ω h¨ochstens abz¨ahlbar-viele Eigenwerte endlicher Vielfachheit ohne H¨aufungspunkt in Ω. Wir erhalten daher:

M ⊇σess(A).

Seiλ∈M und λ∈σd(A), so folgt durch Proposition 6.5.2 aus [2], dass ker(A−λ) = ran (A−λ)^⊥.

Daher folgt, dass dim ker(A−λ) und dim ^H/^{ran (A−λ)} kleiner als unendlich sind und das Bild von (A−λ) abgeschlossen ist. Weiters istA−λals Summe eines abgeschlossenen Operators und eines beschr¨ankten Operators wiederum abgeschlossen. Also ist (A−λ) ein Fredholm Operator, dh.λ /∈M. Dadurch erhalten wir die zweite Inklusion. Es folgt:

σ_ess(A) =M.

2

Definition 2.5 (Singul¨are Folge). Sei λ ∈ R. Wir nennen eine Folge (x_n)n∈N, x_n ∈ D(A) singul¨are Folge, wenn:

lim inf

n→∞ kx_nk>0; lim

n→∞hx_n, yi= 0, y∈H; lim

n→∞k(A−λI)xnk= 0. (3) Wenn zus¨atzlich gilt, dass die Folgenglieder paarweise orthonormal aufeinanderstehen, nennt man die Folge orthonormale, singul¨are Folge.

Um das wesentliche Spektrum n¨aher zu verstehen, wollen wir ein einfaches Beispiel betrachten:

Beispiel 2.6. Wir betrachten den Multiplikationsoperator A mit einer beliebigen Nullfolge (x_n)^∞_n=1, x_n ∈ R auf l²(N). A ist offensichtlich beschr¨ankt und selbstadjungiert, weiters ist σ(A) ={x_n:n∈N} ∪ {0}. Die erstere Menge ist das Punktspektrum, dh. isolierte Eigenwerte mit endlicher Vielfachheit. Das wesentliche Spektrum des Operators ist {0}, weil der Punkt 0 kein isolierter Punkt ist und auch nicht in der Resolventenmenge liegt. Weiters sieht man ein, dass die Folge (en)n∈Neine singul¨are Folge bez¨uglich 0 bildet. Dies dient als Motivation f¨ur das Weyl Kriterium.

Lemma 2.7. SeiAein selbstadjungierter, beschr¨ankter Operator undλ∈σ(A). Wir bezeichnen mitEA das Spektralmaß vonA, so gilt∀ >0:

E_A({t∈C:|λ−t| ≤})6= 0 (4) Beweis. Wir definieren α_c := ({t ∈ C : |λ−t| ≤ c}). Angenommen (4) w¨are falsch, dh. es existiert einc >0, sodassE_A(α_c) = 0 f¨urλaus dem Spektrum. Aufσ(A)\α_cist|t−λ| ≥cund daher invertierbar mit:

Z

σ(A)\αc

1

t−λdE_A(t) = Z 1

t−λdE_A(t) = (A−λ)⁻¹

Daraus folgt jedoch, dass (A−λ)⁻¹ ∈B(H) und damit, dass auch λin der Resolventemenge, was ein Widerspruch zur Annahme ist.

Satz 2.8 (Weyl Kriterium). Seiλ∈R, so sind folgende Aussagen ¨aquivalent:

(i) λ∈σess(A);

(ii) Es existiert eine orthonormale, singul¨are Folge von Abei λ;

(iii) Es existiert eine singul¨are Folge vonA bei λ;

(iv) dim textrmran(EA((λ−, λ+))) =∞f¨ur alle >0.

Beweis. (i) ⇒ (ii): Sei λ ∈ σ_ess(A). Wenn λ ein Eigenwert unendlicher Vielfachheit ist, so w¨ahle (xn)n∈N als beliebige orthonormale Folge im Kern von (A−λ). Es gilt kx_nk = 1 und (A−λ)x_n = 0. Wegen der Bessel’schen Ungleichung folgt, dass lim

n→∞hx_n, yi = 0, y∈H, und es sich daher um eine orthonormale, singul¨are Folge handelt.

Sei nun λ ein H¨aufungspunkt von σ(A), so existiert eine monotone, paarweise-verschiedene Folge (λ_n)n∈N mit λ_n ∈ σ(A), sodass lim

n→∞λ_n=λ. W¨ahle eine positive Nullfolge (_n)n∈N und Fn:= (λn−n, λn+n), sodassFn∩Fm =∅f¨urm6=n. Wegen Lemma 8 existieren normierte xn∈ran (E_A(Fn)) und auf Grund der paarweisen Disjunktheit derFnfolgt, dasshx_n, xmi= 0.

Durch die Bessel’schen Ungleichung folgt wiederum, dass lim

n→∞hx_n, yi,y∈H.

k(A−λ)x_nk² = Z

Fn

(t−λ)²dE_xn,xn ≤ Z

Fn

(|λ_n−λ|+_n)²dE_xn,xn

≤(|λ_n−λ|+_n)²· hE_A(Fn)x_n, x_ni= (|λ_n−λ|+_n)^{2 n→∞}−→ 0 Also handelt es sich um eine singul¨are Folge f¨urAbei λ.

(ii)⇒ (iii): Jede orthonormale, singul¨are Folge ist nat¨urlich eine singul¨are Folge.

(iii) ⇒ (iv): Sei (xn)n∈Neine singul¨are Folge f¨urA bei λ.

Angenommen es existiert ein > 0, sodass die Dimension des Bildes von EA((λ−, λ+)) endlich ist, folgt, dassE_A((λ−, λ+)) kompakt ist. Weiters gilt:

²kx_nk² = Z

(λ−,λ+)

²dExn,xn+ Z

R\(λ−,λ+)

²dExn,xn

≤ Z

(λ−,λ+)

²dExn,xn+ Z

R

(t−λ)²dExn,xn

≤²· kE_A((λ+, λ−))x_nk²+k(A−λ)x_nk²

Da der Operator E_A((λ−, λ+)) kompakt und (xn)n∈N eine singul¨are Folge ist, und damit schwach gegen 0 konvergiert, folgt, dass die Norm von x beliebig klein wird und damit der Widerspruch zu lim inf

n→∞ kx_nk>0 . (iv)⇒ (i): Angenommen λ /∈σ_ess(A).

Sei λ∈ σ_d(A), so ist λ ein isolierter Eigenwert endlicher Vielfachheit. So folgt, dass ein > 0 existiert, sodass die Dimension des Bildes von EA((λ−, λ+)) gleich der Dimension von ker(A−λ) welche endlich ist, ist. Das steht jedoch im Widerspruch zu (iv).

Seiλ∈ρ(A). Da die Resolventenmenge eine offene Teilmenge der komplexen Zahlen ist, existiert eine offene-Kugel um λ, welche ganz in der Resolventenmenge liegt. Daraus folgt jedoch, dass das Spektralmaß von dieser -Kugel geschnitten mit dem Spektrum der Nulloperator ist, was den Beweis vervollst¨andigt.

3 St¨ orungss¨ atze

Unter Verwendung desWeyl Kriteriumsk¨onnen wir folgendes interessantes Resultat zeigen, mit welchem wir den Satz von Weyl beweisen werden:

4

Satz 3.1 (Kompakte Resolvente). Seien A und B zwei beschr¨ankte, selbstadjungierte Opera- toren auf H. Weiters sei µ ∈ ρ(A)∩ρ(B) gegeben, sodass K := (B −µ)⁻¹−(A−µ)⁻¹ ein kompakter Operator auf H ist, dann gilt:

σess(A) =σess(B) (5)

Beweis. Auf Grund der Symmetrie des Problems m¨ussen wir nur eine Inklusion beweisen. Die zweite folgt analog durch vertauschen der Rollen vonA undB.

Seiλ∈σ_ess(A), so folgt durchWeyl’s Kriterium, dass eine singul¨are Folge (x_n)n∈N f¨urA beiλ existiert. Wenn wir nun eine weitere Folge (yn)n∈N definieren, sodass diese eine singul¨are Folge f¨urB beiλist, w¨areλ∈σ_ess(B) und wir h¨atten die Behauptung bewiesen. Wir definieren:

yn: = (B−µ)⁻¹(A−µ)xn, n∈N y_n−x_n= (B−µ)⁻¹(A−µ)x_n−x_n

= ((B−µ)⁻¹−(A−µ)⁻¹)(A−µ)xn

=K(A−λ+λ−µ)xn

=K(A−λ)x_n+ (λ−µ)Kx_n

Weilx_n schwach gegen 0 konvergiert undK kompakt ist, folgt, dassKx_n gegen 0 konvergiert.

Weiters konvergiert auch (A−λ)x_ngegen 0. Daraus k¨onnen wir schließen, dass lim

n→∞infky_nk>0 und lim

n→∞hy_n, yi= 0, y∈H.

(B−λ)yn=(B−µ)yn+ (µ−λ)yn

=(A−µ)x_n+ (µ−λ)y_n

=(A−λ)x_n+ (µ−λ)(y_n−x_n)

Da (y_n−x_n) und (A−λ)x_n gegen 0 konvergieren, folgt dass (y_n)n∈N eine singul¨are Folge von B bei λist und damit die Behauptung.

Satz 3.2 (Satz von Weyl). Sei A ein beschr¨ankter, selbstadjungierter Operator und K ein kompakter, selbstadjungierter Operator auf H, so gilt

σess(A+K) =σess(A) (6)

Beweis. F¨ur beschr¨ankte Operatoren wissen wir, dass das Spektrum beschr¨ankt ist, daraus folgt, dass einµ∈ρ(A)∩ρ(A+K) existiert.

(A+K−µ)⁻¹−(A−µ)⁻¹ =(A+K−µ)⁻¹−(A−µ)⁻¹(A+K−µ)(A+K−µ)⁻¹

=(I−I−(A−µ)⁻¹)K(A+K−µ)⁻¹

=−(A+K−µ)⁻¹K(A−µ)⁻¹

Das Produkt von einem beschr¨ankten und einem kompakten Operator ist wiederum kompakt, daher kann Satz 3.1 angewandt werden und es folgt die Behauptung.

Bemerkung. Diesen Satz kann man mit Hilfe des Satzes von Kato-Rellich in jene Richtung f¨ur unbeschr¨ankte Operatoren ”verallgemeinern”, wenn man anstatt der Kompaktheit vonK, A-Kompaktheit und Symmetrie vonK fordert.

Weiters kann man sich durch diese Resultate folgend weiter motivieren:

Sei A selbstadjungiert, K kompakt und selbstadjungiert, U ein beliebiger unit¨arer Operator und B folgend definiert

B :=U(A+K)U⁻¹

Wegen unserer Charakterisierung des wesentlichen Spektrums, kann man sich leicht davon

¨

uberzeugen, dass dieses unter Anwendung unit¨arer Operatoren unver¨andert bleibt. Daher folgt unter Verwendung von (6):

σess(A) =σess(A+K) =σess(U(A+K)U⁻¹) =σess(B) Das f¨uhrt uns zu einem interessanten Resultat vonvon Neumann.

Satz 3.3 (Satz von von Neumann). Seien A und B beschr¨ankte, selbstadjungierte Operato- ren auf einem separablen HilbertraumH mit gleichem wesentlichen Spektrum, so existiert ein unit¨arer OperatorU, sodass:

A=U(B+K)U⁻¹. (7)

Bevor wir diesen Satz beweisen, ben¨otigen wir noch folgende Hilfsresultate:

Lemma 3.4. SeiAein beschr¨ankter, selbstadjungierter Operator auf einem separablen Hilber- traum H und 0 6= g ∈ H beliebig. So existiert f¨ur beliebiges δ > 0 ein endlich-dimensionaler Teilraum Gvon H und ein selbstadjungierter Operator endlichen RangesK, sodass:

(i) g∈G, (ii) GreduziertA+K, (iii) kKk ≤δ.

Beweis. Ich definiere γ₀ := inf

λ∈σ(A)λ und γ_n := sup

λ∈σ(A)

λ. Diese Zahlen existieren, daσ(A) ⊆R und σ(A) beschr¨ankt ist. Weiters unterteile ich das Intervall [γ0, γn] in n-Teile mit n, einer beliebigen nat¨urlichen Zahl. Die so definierten Intervalle bezeichne ich mit ∆_k:= [γk−1, γ_k], 1≤ k ≤ n. Wir betrachten nun die Projektion von g durch E(∆_k) und definieren h_k := E(∆_k)g.

Im Falle, dass hk6= 0, erhalten wird durch normieren dieser eine Orthonormalbasis gk des von ihnen aufgespannten endlich-dimensionalen Unterraumes G 3 g mit Dimension kleiner bzw.

gleich n. F¨ur k > n definieren wir g_k als die Elemente einer Orthonormalbasis von G^⊥ und erhalten damit durch (gk)k∈N eine Orthonormalbasis vom gesamten Raum. Weiters sei P die Orthogonalprojektion auf G.

R:=−(I−P)AP

K :=R+R^∗ =−(I−P)AP −P A(I−P) A+K= (I−P)A(I−P) +P AP

6

Daher reduziert der UnterraumGden OperatorA+K, wobeiK ein Operator endlichen Ranges ist.

k(A−γj)gjk²= Z

∆j

(t−γj)²dEgj,gj ≤ Z

∆j

(γj−1−γj)²dEgj,gj

≤kg_jk²·(γj−1−γj)² = (γn−γ0)² n² Daraus folgt:

Ag_j =γ_jg_j+f_j mitkf_jk ≤ γ_n−γ₀ n kRg_jk=k(I−P)AP gjk=k(I−P)Agjk

=k(I−P)(γ_jg_j +f_j)k ≤ kI−Pk · kf_jk

≤γ_n−γ₀ n

Seix beliebig und normiert in H, so gilt, weil das arithmetische Mittel kleiner als das quadra- tische Mittel ist:

kRxk² =

∞

X

j=1

* R

n

X

i=1

cigi, gj

+

2

≤

∞

X

j=1 n

X

i=1

|c_i| · | hRg_i, gji |² =

n

X

i=1

kRg_ik² ≤ (γn−γ0)² n Danbeliebig war, kann ein K mit beliebig kleiner Norm gew¨ahlt werden:

kKk ≤ γn√−γ0

n .

Satz 3.5. Sei H ein separabler Hilbertraum und A ein beschr¨ankter, selbstadjungierter Ope- rator auf H, dann existiert ein kompakter, selbstadjungierter Operator K mit beliebig kleiner Norm, sodass die Eigenwerte des Operators A+K ein vollst¨andiges System inH bilden.

Beweis. Die Idee hinter diesem Beweis ist die Konstruktion eines Operators K in abz¨ahlbar vielen Schritten. Da H separabel ist, k¨onnen wir ein abz¨ahlbares, vollst¨andiges Orthonormal- system (en)n∈N voraussetzen. Beginnend mit f1 := e1 und δ :=/2 erhalten wir durch Lemma 3.4, einen kompakten Operator K₁ mit Norm kleiner als/2 und einem endlich-dimensionalen Teilraum G₁, welcher den OperatorA+K₁ reduziert. Wir setzen rekursiv fort:

Wir setzen ˜H :=Tn−1

i=1 G^⊥_i , δ:= /2ⁿ⁻¹ und ˜A:=A+Pn−1

i=1 Ki. Seien oBdA. nicht in Sn−1 i=1 Gi

enthalten, so definiere f_n als die Projektion von e_n auf ˜H. Lemma 3.4 liefert uns hierf¨ur nun einen endlich-dimensionalen UnterraumG_nvon ˜H, sodassf_n∈G_nund dieser ˜A+K_nreduziert.

Weiters k¨onnen wirKn auf ganz H mit null fortsetzen.

K:=

∞

X

i=1

K_i, kKk ≤

∞

X

i=1

kK_ik ≤

∞

X

i=1

/2ⁱ=, K ist daher beschr¨ankt und linear.

K ist als Grenzwert von selbstadjungierten Operatoren endlichen Ranges selbstadjungiert und kompakt. Jeder TeilraumG_i reduziert per KonstruktionA+K. Wegen der endlichen Dimension

von G_i existiert, daher f¨ur diese jeweils eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren (,wenn man 0 als Eigenwert zul¨asst).

Jetzt stellt sich noch die Frage, ob die so definierte Basis von G := L∞

i=1Gi vollst¨andig in H ist, dh. ob G^⊥ trivial ist. Dazu w¨ahlen wir e_n = f_n+h_n mit h_n ⊥ Tn−1

i=1 G^c_i und f_n ∈ G_n. Daraus folgt, dasse_northogonal aufTn

i=1G^c_i steht und damit insbesondere, dasse_n orthogonal auf G^⊥ steht. Da (en)n∈N eine Orthonormalbasis des Hilbertraumes H war, folgt, dassG^⊥ der Nullraum ist und damit die Behauptung.

Beweis. Da das wesentliche Spektrum vonA undB ubereinstimmen, folgt, dass die Menge der¨ H¨aufungspunkte vonσ(A) gleich jener vonσ(B) ist. Der Beweis hierf¨ur ist einfach: Angenommen es g¨abe oBdA. einen H¨aufungspunkt in σ(A)\σ(B), so muss es eine Folge (λ_n)n∈N ⊂ σ_p(A) geben, die gegen ein λ konvergiert. Die Eigenvektoren bilden jedoch eine singul¨are Folge von A bei λ. Daraus folgt aber schon durch das Weyl Kriterium der Widerspruch, dass λ auch Element von σ_ess(B) sein muss. An Hand von Satz 3.4 bezeichnen wir mit (e_n)n∈N die Basis aus Eigenvektoren zu den Eigenwerten (λn)n∈N von A+K1 und mit (fn)n∈N die Basis aus Eigenvektoren zu den Eigenwerten (γ_n)n∈NvonB+K₂, wobeiK₁ undK₂die selbstadjungierten, kompakten Operatoren aus Satz 3.4 sind. Angenommen es w¨urde eine Folge von Eigenwerten geben, sodass lim

k→∞λk−γpk = 0 f¨ur eine Permutation pk, der nat¨urlichen Zahlen, so definiere:

U f_pk :=e_k ∀k∈N, welcher offensichtlich unit¨ar ist und weiters:

K₃f_pk := (λ_k−γ_pk)f_pk k∈N,

welcher selbstadjungiert und wegen der Eigenschaft der Permutation folglich auch kompakt ist.

(B+K2+K3)fp_k =λ_kfp_k =U⁻¹(A+K1)U fp_k,

dh. die so definierten Operatoren besitzen die gew¨unschten Eigenschaften, wenn man sich ein neuen kompakten Operator K definiert als:

K:=K2+K3−U⁻¹K1U

Nun stellt sich noch die Frage, ob eine solche Permutation ¨uberhaupt existiert. Diese Frage l¨asst sich mit Ja beantworten, da die Menge der H¨aufungspunkte ¨ubereinstimmen.

Um den Beweis von Satz 3.3 zu vervollst¨andigen, ben¨otigen wir noch dieses technische Hilfs- lemma aus der Analysis zur Konstruktion der Permutation:

Lemma 3.6. Seien (λ_k)k∈Nund (γ_k)k∈Nbeschr¨ankte Folgen reeller Zahlen, sodassM die Menge der H¨aufungspunkte beider Folgen zusammenfallen. So existiert eine Permutation (pk)k∈N der nat¨urlichen Zahlen mit:

k→∞lim(λ_k−γ_pk) = 0 (8)

Beweis. Seien x eine reelle Zahl undM Teilmenge von R, so definieren wir:

dist(x, M) := inf

y∈M|x−y|

8

Weiters seien:

_k:=dist(λ_k, M) +¹/k

νk :=dist(γk, M) +¹/k

DaM die Menge der H¨aufungspunkte beider Folgen ist, existiert eink, sodass der Abstand von den restlichen Folgengliedern zuM beliebig klein wird. Damit folgt auch:

k→∞lim _k= lim

k→∞ν_k= 0

Weiters folgt aus der Definition der Zahlen_k und ν_k f¨ur eine beliebige nat¨urliche Zahl k, dass im Intervall (λ_k−_k, λ_k+_k) ein Element der Menge M enth¨alt und damit auch unendliche viele Folgenglieder der Folge (γn)n∈N. Wir bezeichnen mit rk den kleinsten Index r f¨ur den γr

im Intervall (λ_k−_k, λ_k+_k) liegt und das folgendes gilt:

r > rj f¨urj= 1, . . . , k−1; r >2k

Analog wirdskin Bezug auf das Intervall (γk−ν_k, γk+νk) definiert. Somit erhalten wir 2 Folgen paarweise-verschiedener Indizes und es gilt:

k→∞lim(λ_k−γr_k) = lim

k→∞(γ_k−λs_k) = 0.

Da keine der beiden Folgen gezwungener Maßen alle nat¨urlichen Zahlen enthalten muss, setzen wir die Konstruktion fort, indem wir uns zwei neue Folgen definieren

u₁ := 1, v₁ :=r₁ (9)

v_2k:=min(N\{v_j :j= 1, . . . ,2k−1}) (10)

u_2k:=s_v2k (11)

u2k+1:=min(N\{u_j :j = 1, . . . ,2k} (12)

v_2k+1:=r_u2k+1 (13)

Zuerst ¨uberzeugen wir uns induktiv davon, dass jede der Folgen alle nat¨urlichen Zahlen enth¨alt.

Seien in (u_k)^2(k−1)₁ die nat¨urlichen Zahlen von 1 bis k−1 enthalten, so ist entweder k auch enthalten, oder es gilt wegen (12), dassu2k−1=k. In beiden F¨allen sind die nat¨urlichen Zahlen von 1 bis k in (u_k)^2k₁ enthalten. Gleiches gilt auch f¨ur die Folge (v_k)k∈N analog. Damit die so definierten Folgen Permutationen der nat¨urlichen Zahlen darstellen, darf jede nat¨urliche Zahl h¨ochstens einmal vorkommen:

Gem¨aß der Konstruktion von (u_k)k∈N istu2k−16=u₁, . . . , u_2k. Definitionsgem¨aß giltu_2k=s_v2k, wobeis_v2k 6=s₁, . . . , s_v2k−1 gilt. Damit folgt:

v₂< v₄<· · ·< v_2(k−1). Wegen der Monotonie der Folge (s_n)n∈Ngilt damit auch:

s_v2k 6=s_v2, s_v4, . . . , s_v2(k−1). Daraus folgt:

u_2k6=u₂, u₄, . . . , u_2(k−1).

Weilv_2k≥k ist unds_k≥2k ist, gilt daher:

u_2k=sv_2k ≥s_k≥2k u1, u3, . . . , u2k−1≤2k−1 Es folgt u2k > u2k−1 und damitu2k6=u1, u3, . . . , u2k−1.

F¨ur die Folge (v_k)k∈N gilt wegen (13) und dem vorangehenden Beweisteil:

v2k−1 =r_u2k−1 6=r₁, r₂, . . . , r_u2k−3 v2k−16=v1, v3, . . . , v2k−3

Weiters:

v2k−1=r_u2k−1 ≥r_k>2k v₂, v₄, . . . , v_2k≤2k Es folgt:

v2k6=v1, v2, . . . , v2k−1

Somit erhalten wir durch diese Konstruktion zwei Permutationen der nat¨urlichen Zahlen.

Zuletzt bleibt zu zeigen, dass lim

k→∞(λ_uk −γ_vk) = 0.

Hierf¨ur betrachten wir gerade, sowie ungerade Folgenglieder separat und erhalten die Behaup- tung.

|λ_u2k−γv2k|=|λ_sv

2k −γv2k| →0

|λ_u2k+1−γ_v2k+1|=|λ_u2k+1−γ_ru

2k+1| →0

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4 Literaturverzeichnis

[1] M. Langer, Spektraltheorie f¨ur Differentialoperatoren, Vorlesung SS2014, Technische Universit¨at Wien

[2] Woracek, Kaltenb¨ack, Bl¨umlinger (2015), Funktionalanalysis 1, Vorlesungsskript, Technische Universit¨at Wien

[3] K. Schm¨udgen (2012),Unbounded self-adjoint operators on Hilbert space, Springer [4] N. I. Achiezer, I. M. Glazman (2011), Theorie der linearen Operatoren im Hilbert-Raum,

Akad.-Verl.

[5] T. Kato (1995),Perturbation theory for linear operators, Springer