Nukleare Operatoren

Nukleare Operatoren

Morris Brooks

Contents

1 Einleitung 2

2 Kompakte Operatoren 2

3 Hilbert-Schmidt-Operatoren 3

4 Nukleare Operatoren 6

5 Eine Anwendung 11

1 Einleitung

Die hier vorgestellte Seminararbeit soll dem Leser einen Einblick in die Klasse der nuklearen Operatoren vermitteln. Wir betrachten hier grunds¨atzlich Abbildungen die von einem Hilbertraum H1 in einen weiteren Hilbertraum H2 abbilden.

Zun¨achst Wiederholen wir einige Resultate ¨uber kompakte Operatoren, und f¨uhren die Hilbert-Schmidt-Operatoren ein. Es wird uns im Weiteren gelingen viele Eigenschaften von nuklearen Operatoren auf Resultate ¨uber Hilbert-Schmidt-Operatoren zur¨uckzuf¨uhren.

2 Kompakte Operatoren

Wir werden uns des ¨Ofteren auf das Folgende aus der Funktionalanalysis bekannte Re- sultat berufen.

Lemma 2.1. Sind H1, H2 Hilbertr¨aume, und ist T ∈Lb(H1, H2), so existiert ein posi- tiver, selbstadjungierter Operator A:H₁→H₁ und ein unit¨arer Operator

U :range(A)→H₂, sodass

T =U◦A.

Definition 2.2. Wir nennen einen OperatorT ∈L_b(H1, H2)kompakt, falls jede beschr¨ankte Menge auf eine pr¨akompakte Menge abgebildet wird, oder ¨aquivalent, falls die Menge T(B1(0))kompakt ist. Die Menge aller kompakten Operatoren bezeichnen wir mitK(H1, H2).

Korollar 2.3. Ist T :H₁ →H₂ ein kompakter Operator, so existieren

Orthonormalsysteme {v_k : k ∈ I} ⊂ H₁, {b_k : k ∈ I} ⊂ H₂ und λ_k ∈ R, k ∈ I mit I ={1, .., n} oder I =N, sodass¹

T(x) =X

k∈I

λ_khv_k|xib_k f¨ur alle x∈H1.

Des Weiteren gilt λk>0, λm ≥λn f¨ur n≥m und limk→∞λk = 0, falls I nicht endlich ist.

Beweis. Betrachten wir einen beliebigen kompakten Operator T, so k¨onnen wir ihn gem¨aß 2.3 polar zerlegen mitT =U◦A, wobei A =√

T^∗T. Mit T ist auch B :=T^∗T

1Wir ben¨utzen hier die Konvention, dassh.|.isemilinear im ersten und linear im zweiten Argument ist.

kompakt. DaB selbstadjungiert ist, folgt aus dem Spektralsatz f¨ur kompakte selbstad- jungierte OperatorenB(x) =P

k∈Iµkhv_k|xivkmit einer IndexmengeI ={1, .., n} oder I =N. Wegen der Positivit¨at von B istµ_k>0. Ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit k¨onnen wir dieµ_nso w¨ahlen, dassµ_m ≥µ_nf¨urn≥mist. WennI nicht endlich ist, gilt außerdem limk→∞µk= 0. F¨urλk:=√

µk folgt A(x) =

√

B(x) =X

k∈I

λkhv_k|xivk. Der OperatorT l¨asst sich folgendermaßen schreiben

T(x) =U(X

k∈I

λkhv_k|xivk) =X

k∈I

λkhv_k|xiU(vk) =X

k∈I

λkhv_k|xibk,

wobei bk := U(vk) auf Grund der Isometrie von U wieder ein Orthonormalsystem ist.

FallsI nicht endlich ist, gilt auch limk→∞λ_k = 0.

Bemerkung 2.4. Ein stetiger Operator mit endlichdimesionalem Bilde ist kompakt.

In der Tat gilt

K(H₁, H₂) ={T ∈L_b(H₁, H₂) :dim(T(H₁))<∞}^k.kLb(H1,H2).

3 Hilbert-Schmidt-Operatoren

Definition 3.1. Wir nennen einen kompakten OperatorT ∈L_b(H₁, H₂)Hilbert-Schmidt- Operator, falls f¨ur die λk aus der Darstellung in Korollar 2.3 gilt P

kλ²_k<+∞.

Lemma 3.2. Sei T ∈Lb(H1, H2) und {f_k :k ∈I},{g_k :k ∈I} Orthonormalbasen von H1. Dann gilt

X

k

kT(gk)k²=X

k

kT(fk)k²∈[0,+∞].

Insbesondere ist P

kkT(g_k)k² endlich, genau dann wenn es P

kkT(f_k)k² ist.

Beweis. Ist{h_j :j ∈J}eine Orthonormalbasis von H2, so gilt X

k

kT(f_k)k² =X

k

X

j

| hh_j|T(f_k)i_H

2|² =X

j

X

k

| hT^∗h_j|f_ki_H

1|²=X

j

kT^∗h_jk²

=X

j

X

k

| hT^∗h_j|g_ki_H

1|² =X

k

X

j

| hh_j|T(g_k)i_H

2|² =X

k

kT(g_k)k². Da alle Summanden positiv sind, d¨urfen wir die Summationsreihenfolge vertauschen.

Wegen Lemma 3.2 macht folgende Definition Sinn.

Definition 3.3. Es seienH₁, H₂ Hilbertr¨aume und {f_k:k∈I} eine Orthonormalbasis von H₁. Dann definieren wir

S₂(H1, H2) :={T ∈Lb(H1, H2) :X

k

kT(fk)k² <+∞}.

F¨ur alleT ∈ S₂(H₁, H₂) sei kTk₂ :=pP

kkT(f_k)k².

Bemerkung 3.4. Wie man aus dem Beweis von Lemma 3.2 erkennt, istP

jkT(f_j)k²= P

jkT^∗(h_j)k², wobei {f_k :k ∈I} eine Orthonormalbasis von H₁ und {h_j :j ∈J} eine von H2 ist. Damit giltT ∈ S₂(H1, H2) genau dann, wenn T^∗ ∈ S₂(H2, H1).

Satz 3.5. F¨ur Hilbertr¨aume H1, H2 sei {f_k : k ∈ I} eine Orthonormalbasis von H1, {g_k:k∈J} eine solche von H₂ und bezeichne ξ das Z¨ahlmaß auf I×J. Dann ist

Φ :

(S₂(H₁, H₂)→L²(I×J, ξ) T 7→(hg_j|T(fi)i)_(i,j)∈I×J

ein isometrischer Isomorphismus. Des Weiteren gilt kTk_Lb(H1,H2) ≤ kTk_S2(H1,H2) f¨ur ein T ∈ S₂(H1, H2).

Beweis. F¨ur einT ∈ S₂(H1, H2) gilt kΦ(T)k²_L2 =X

i

X

j

| hg_j|T(f_i)i |²=X

i

kT(fi)k² =kTk²₂. (1) Die Abbildung Φ ist also eine isometrische und damit auch injektive Abbildung nach L²(I×J, ξ). F¨urφ∈L²(I×J, ξ) definieren wir

T(x) := X

(i,j)∈I×J

φ(i, j)hf_i|xig_j. Es gilt

kT(x)k²=X

j

|X

i

φ(i, j)hf_i|xi |² ≤X

j

(X

i

|φ(i, j)|²)(X

i

| hf_i|xi |²) =kxk²kφk_L2. Daraus folgt kTk_L

b(H1,H2) ≤ kφk_L2 < +∞, also T ∈ L_b(H1, H2). Gem¨aß unserer Konstruktion gilt hg_j|T(f_i)i = φ(i, j) und damit P

ikT(f_i)k² < +∞. Es folgt T ∈ S₂(H1, H2) und Φ(T) = φ. Damit gilt wegen (1) auch kTk_Lb(H1,H2) ≤ kΦ(T)k_L2 = kTk_S2(H1,H2).

Korollar 3.6. S₂(H₁, H₂) ist ein Banachraum.

Lemma 3.7. Die Elemente aus S₂(H₁, H₂) sind kompakte Operatoren. Außerdem gilt S₂(H1, H2) ={T ∈L_b(H1, H2) :dim(T(H1))<∞}^k.k2.

Beweis. F¨ur einf ∈L²(I×J, ξ⊗ξ) k¨onnen nur abz¨ahlbar viele Eintr¨age ungleich Null sein. Die Menge M := {(i, j) ∈ I ×J : f_(i,j) 6= 0} ist also abz¨ahlbar. Wir w¨ahlen eine endliche aufsteigende Mengenfolge M_N ⊂ I ×J, N ∈ N, mit M = S

N∈NM_N. Bezeichnen wir mit1B die Indikator-Funktion einer Menge B, so folgt

f =1Mf = lim

N→∞1M_Nf,

wobei die Konvergenz in L²(I ×J, ξ) bez¨uglich k.k₂ gilt. Ist Φ wie in Satz 3.5 und f = Φ(T) f¨ur ein T ∈ S₂(H₁, H₂), und setzen wir T_N := Φ⁻¹(1MNΦ(T)), so folgt T = lim_N→∞T_N. Aus Satz 3.5 folgt, dass die k.k₂-Norm st¨arker als die Operator- Norm ist. Es gilt also der Limes auch im Sinne der Operator-Norm. Wir k¨onnen TN

folgendermaßen darstellen T_N = X

(i,j)∈I×J

Φ(T_N)(i, j)hf_i|xig_j = X

(i,j)∈M_N

Φ(T)(i, j)hf_i|xig_j.

Da M_N endlich ist, hat T_N endlichdimensionales Bild. Damit ist T als Grenzwert von Operatoren mit endlichdimensionalem Bild kompakt.

Wegen lim_N∈NkT−T_Nk₂ = 0 gilt

S₂(H1, H2)⊂ {T ∈Lb(H1, H2) :dim(T(H1))<∞}^k.k2.

Betrachten wir einen Operator T ∈ L_b(H₁, H₂) mit endlichdimensionalem Bild. Wir w¨ahlen zun¨achst eine orthonormale Basis {g₁, .., gn} ⊂H2 von T(H1). Es folgt

T(x) =

n

X

k=1

hg_k|T(x)igk=

n

X

k=1

hT^∗(gk)|xigk. Im n¨achsten Schritt w¨ahlen wir eine Orthonormalbasis{f₁, .., f_m} von

span{T^∗(gk) :k= 1..n}und erweitern diese zu einer Orthonormalbasis F von H1. Wir erhalten

kTk²₂= X

f∈F

kT(f)k²=

m

X

k=1

kT(f_k)k²<+∞

Damit sind Operatoren mit endlichdimensionalem Bild auch in S₂(H1, H2). Da der Raum der Hilbert-Schmidt-Operatoren vollst¨andig ist, gilt sogar

{T ∈Lb(H1, H2) :dim(T(H1))<∞}^k.k2 ⊂ S₂(H1, H2).

Satz 3.8. Seien H₁, H₂ Hilbertr¨aume. Die Elemente aus S₂(H₁, H₂) sind genau die Hilbert-Schmidt-Operatoren zwischen H1 und H2.

Beweis. IstTein Hilbert-Schmidt-Operator, so l¨asst er sich gem¨aß Korollar 2.3 schreiben als

T(x) =X

k∈I

λ_khv_k|xib_k,

wobei {v_k : k ∈ I},{b_k :k ∈ I} Orthonormalsysteme der jeweiligen R¨aume sind. Des Weiteren giltP

kλ²_k<+∞ mitλ_k>0. Wir k¨onnen{v_k:k∈I}zu einer Orthonormal- basisE erweitern. Damit gilt

X

v∈E

kT(v)k²=X

j∈I

kT(v_j)k² =X

j

X

k

|λ_khv_k|v_ji |² =X

j

λ²_j <+∞,

also T ∈ S₂(H₁, H₂). Gehen wir umgekehrt davon aus, dass T ∈ S₂(H₁, H₂) ist, so muss T nach Lemma 3.7 bereits kompakt sein. Wir k¨onnen es also gem¨aß Korollar 2.3 schreiben als T(x) = P

kλ_khv_k|xib_k. Wegen P

jλ²_j = P

jkT(v_j)k² < +∞ ist T ein Hilbert-Schmidt-Operator.

Satz 3.9. Es seien H₁, H₂, H₃ Hilbertr¨aume. F¨ur Operatoren B₁ ∈ L_b(H₂, H₃), B₂ ∈ L_b(H₁, H₂), S₁∈ S₂(H₁, H₂) und S₂ ∈ S₂(H₂, H₃) gilt

B₁◦S₁ ∈ S₂(H₁, H₃), S₂◦B₂ ∈ S₂(H₁, H₃).

Beweis. Aus

X

k

kB₁(S₁(f_k))k²≤ kB₁kX

k

kS₁(f_k)k²<+∞

folgt B₁◦S₁∈ S₂(H₁, H₃).

Aus B₂^∗ ∈ B(H2, H1) und S₂^∗ ∈ S2(H3, H2), folgt (S2 ◦B2)^∗ = B₂^∗ ◦S₂^∗ ∈ S₂(H3, H1).

Damit ist auch

S2◦B2 = ((S2◦B2)^∗)^∗∈ S₂(H1, H3).

4 Nukleare Operatoren

Definition 4.1. Es seien H1, H2 Hilbertr¨aume und T :H1→H2 ein kompakter Opera- tor. Wir schreiben T wie in Korollar 2.3, und nennen T nuklear, fallsP

kλ_k<+∞.

Lemma 4.2. Nukleare Operatoren sind Hilbert-Schmidt-Operatoren.

Beweis. Da aus P

kλ_k < +∞ sofort P

kλ²_k < +∞ folgt, ist jeder nukleare Operator auch ein Hilbert-Schmidt-Operator.

Lemma 4.3. Ein beschr¨ankter Operator ist genau dann nuklear, wenn er die Hintere- inanderausf¨uhrung von zwei Hilbert-Schmidt-Operatoren ist.

Beweis. Ist T nuklear und sei T =U ◦A die Polarzerlegung gem¨aß Lemma 2.1, so gilt f¨ur die Eigenwerteλ_k von A

X

k

λ_k<+∞.

Damit erhalten wir f¨ur die Eigenwerte µ_k von √

A, dass P

kµ²_k =P

kλ_k <+∞. Also ist √

A und wegen Satz 3.9 auch U ◦√

A ein Hilbert-Schmidt-Operatoren. Schließlich giltT = (U ◦√

A)◦√ A.

Gilt umgekehrt T = A◦ B mit A ∈ S₂(H₂, H₃) und B ∈ S₂(H₁, H₂), wobei A = P

kµ_khw_k|.id_k undT =P

kλ_khv_k|.ib_kdie jeweiligen Darstellungen gem¨aß Korollar 2.3 sind, so erhalten wir

X

n

λn=X

n

hb_n|AB(v_n)i=X

n

X

k

µ_khw_k|Bv_ni hb_n|d_ki

=X

n

X

k

hw_k|Bv_ni hb_n|Aw_ki ≤ 1 2

X

n

X

k

2| hw_k|Bv_ni | | hb_n|Aw_ki |

≤ 1 2

X

k,n

| hw_k|Bv_ni |²+| hb_n|Aw_ki |²

= 1

2(kAk₂+kBk₂)<+∞.

Man beachte, dass man beim Summieren von positiven Summanden nicht auf die Rei- henfolge achten muss. T ist also nuklear.

Definition 4.4. Bezeichnen wir die Menge aller Orthonormalsysteme auf einem Hilber- traumHmitO(H). F¨ur Hilbertr¨aumeH1, H2und OperatorenA∈Lb(H1, H2)definieren wir

kAk₁ := sup{X

k∈I

| hg_k|Af_ki |: (gk)k∈O(H2) und (fk)k∈O(H1)}

und S₁(H₁, H₂) :={A∈L_b(H₁, H₂) :kAk₁ <+∞}.

Lemma 4.5. k.k₁ ist eine Norm auf S₁(H₁, H₂).

Beweis. Offensichtlich gilt 0≤ k.k₁ <+∞ undkλAk₁=|λ|kAk₁.

Wir betrachten einen Operator, f¨ur den kAk₁ = 0 gilt. F¨ur alle f ∈ H1 \ {0} und g∈H₂\ {0}sind {_kf^f_k} und{_kgk^g } orthonormal Systeme. Es gilt also

h_kgk^g |A _kfk^f

i ≤ kAk₁ = 0, woraus hg|Afi = 0 f¨ur alle f ∈ H₁ und g ∈H₂, und somit A= 0 folgt.

Die Dreiecksungleichung gilt wegen kA+Bk₁ = supX

k

| hg_k|Af_ki+hg_k|Bf_ki |

≤supX

k

| hg_k|Af_ki |+ supX

k

| hg_k|Bf_ki | ≤ kAk₁+kBk₁.

Lemma 4.6. F¨ur einen kompakten Operator T = P

kλkhv_k|.ibk gilt P

kλk = kTk₁. Insbesondere ist jeder nuklearer Operator auch ein Element von S₁(H1, H2).

Beweis. Man sieht sofort, dass P

kλk=P

khb_k|T v_ki ≤ kTk₁. F¨ur die andere Ungleichung betrachte man

X

n

| hg_n|T f_ni | ≤X

n

X

k

λ_k| hv_k|f_ni hg_n|b_ki |

≤X

k

λ_k1 2

X

n

(| hv_k|f_ni |²+| hg_n|b_ki |²)≤X

k

λ_k.

Damit folgtkTk₁≤P

kλ_k.

Lemma 4.7. Die Operatoren T ∈S₁(H₁, H₂) sind kompakt.

Beweis. Es sei T ∈ S₁(H₁, H₂). Wir zeigen zun¨achst, dass A aus der Polarzerlegung T =U ◦A ein diskretes Spektrum hat. Dies gilt sicher, wenn wir nachweisen k¨onnen, dass f¨ur alleα >0 :σ(A)∩[α,+∞) endlich ist.

Gibt es in der Mengeσ(A)∩(α,+∞) zumindestkverschiedene Punkteλ₁, .., λ_k, so sind die Mengen ∆i := (λi−δ, λi+δ) paarweise disjunkt, wenn nur δ klein genug ist. Wir w¨ahlen es auch derart, dassλi−δ > α. Nehmen wir nun an, dass E(λi−δ, λi+δ) = 0 ist, so folgt

I =E((λi−δ, λi+δ)^c) = Z

R\(λ_i−δ,λ_i+δ)

t−λi

t−λi

dE(t)

= (A−λiI) Z

R\(λ_i−δ,λ_i+δ)

1

t−λ_i dE(t) = Z

R\(λ_i−δ,λ_i+δ)

1

t−λ_i dE(t)(A−λiI).

Damit istA−λiI invertierbar, was im Widerspruch zu λi∈σ(A)∩[α,+∞) steht.

Wir finden also f¨uri= 1, .., k ein normiertesf_i im Bild von E(λ_i−δ, λ_i+δ). Wegen A(

Z

(λi−δ,λi+δ)

1

t dE(t)f_i) =E(λ_i−δ, λ_i+δ)f_i =f_i,

liegen allef_i im Bild von A. Wir definieren g_i:=U(f_i). Da auf Grund der Disjunktheit der Intervalle (λi−δ, λi+δ) diefi und infolgegi ein Orthonormalsystem bilden, gilt

kTk₁≥

k

X

i=1

hg_i|T(fi)i=

k

X

i=1

hf_i|A(f_i)i ≥kα.

Es folgtk≤ ^kT_α^k1. Damit kannσ(A)∩(α,+∞) h¨ochstens endlich sein, das heißtσ(A) = {λ_k:k∈J}mitJ h¨ochstens abz¨ahlbar. Wir erhalten

A= Z

{λ_k:k∈J}

t dE=X

k∈J

λ_kE({λ_k}).

K¨onnen wir noch nachweisen, dass das Bild von E({λ_k}) endliche Dimension hat, so ist A und damit auchT kompakt. Wir w¨ahlen ein orthonormal System (f_k)_k=1,..,n von ran(E({λ_m})). Auch hier gilt wiederfk∈ran(A). Definieren wirgk:=U(fk), so folgt

nλm =

n

X

j=1

hf_j|A(f_j)i=

n

X

j=1

hg_j|T(fj)i ≤ kTk₁,

also n≤ ^kT_λ^1k

m . Die Menge ran(E({λ_m})) ist somit von endlicher Dimension.

Korollar 4.8. Die Menge S₁(H1, H2) besteht genau aus den nuklearen Operatoren, die von H1 nach H2 abbilden. Dabei gilt kTk₁=P

kλ_k.

Beweis. Wie in Lemma 4.6 gezeigt wurde, stimmen f¨ur kompakte Operatoren T die Begriffe Hilbert-Schmidt-Operator und S₁(H1, H2) ¨uberein, und es gilt kTk₁ = P

kλ_k. Da ein Hilbert-Schmidt-OperatorenT per Definition kompakt ist, folgtT ∈ S₁(H₁, H₂).

Umgekehrt haben wir in Lemma 4.7 gesehen, dass ein OperatorS ∈ S₁(H₁, H₂) kompakt ist, womit S ein Hilbert-Schmidt-Operator ist und die Gleichheit kTk₁ =P

kλ_k erf¨ullt.

Bemerkung 4.9. F¨ur Hilbertr¨aume H1, H2 gilt

S₁(H₁, H₂)⊂ S₂(H₁, H₂)⊂K(H₁, H₂).

Lemma 4.10. Es seien H₁, H₂ Hilbertr¨aume, (T_j)j∈J ein Netz in S₁(H₁, H₂) und T ∈ S₁(H1, H2) mit T = limjTj bez¨uglich k.k₁. Unter diesen Voraussetzungen folgt T = lim_jT_j bez¨uglich k.k₂.

Beweis. Sei also T, Tj ∈ S₁ mit limjkT −Tjk₁ = 0. Dann gibt es einen Index j0 ∈ J, sodass kT −T_jk₁ < 1 f¨ur alle j ≥ j₀. Schreiben wir T −T_j = P

kλ_khv_k|.ib_k gem¨aß Korollar 2.3, so folgtλ_k≤P

nλ_n<1. Damit erhalten wirP

kλ²_k≤P

kλ_k=kT−T_jk₁, beziehungsweise kT −Tjk²₂ ≤ kT −Tjk₁. Also konvergiert das Netz Tj auch bez¨uglich der Hilbert-Schmidt-Norm gegenT.

Satz 4.11. S₁(H₁, H₂) ist vollst¨andig, und es gilt

S₁(H₁, H₂) ={T ∈L_b(H₁, H₂) :dim(T)<∞}^k.k1.

Beweis. SeiT_j eine Cauchy-Folge in (S₁(H₁, H₂),k.k₁), dann gilt lim_(i,j)∈N2kT_j−T_ik₁= 0. Nach Lemma 4.10 gilt dann auch lim_(i,j)∈N²kT_j−T_ik₂ = 0. Soweit istTj eine Cauchy- Folge in (S₂,k.k₂). In Satz 3.5 wurde gezeigt, dass k.k ≤ k.k₂. Folglich konvergiert T_j auch bez¨uglich der Operatornorm gegen T. Damit gilt | hg_k|T f_ki |= lim_j| hg_k|T_j(f_k)i |.

Betrachten wir nun zwei Orthonormalsysteme (fk)k∈J ∈O(H1) und (gk)k∈J ∈O(H2), so folgt

X

k∈J

| hg_k|(T −Ti)fki |=X

k∈J

lim inf

j→∞ | hg_k|(T_j −Ti)fki |

≤lim inf

j→∞

X

k∈J

| hg_k|(T_j −T_i)f_ki | →

i→∞0.

F¨ur alle >0 existiert also ein Index n((f_k)k∈J,(g_k)k∈J), sodass f¨ur alle i≥n (f_k)_k∈J,(g_k)_k∈J

giltP

k∈J| hg_k|(T −T_i)f_ki |< ₂. Des Weiteren existiert ein n0∈N, sodass f¨ur allei, j≥n0 giltkT_i−Tjk₁ < ₂. Definieren wir

m:= max{n₀, n((f_k)k∈J,(g_k)k∈J)}, so folgt f¨ur alle n≥n₀ X

k∈J

| hg_k|(T −Tn)fki | ≤X

k∈J

| hg_k|(T −Tm)fki |+X

k∈J

| hg_k|(T_m−Tn)fki |

≤

2+kT_n−T_mk₁ < .

Damit ist die Vollst¨andigkeit bewiesen. Wegen T = lim_NPN

k=1λ_khv_k|.ib_k gilt kT − TNk₁ = P

k>Nλk. Wir k¨onnen also jeden nuklearen Operator durch eine Folge von Abbildungen mit endlichdimensionalem Bild approximieren.

Betrachten wir nun eine stetige Abbildung T :H₁ → V ⊂H₂, wobei V endlichdimen- sional ist. Weil sowohl die Identit¨atIV :V → V wie auchT endlichdimensionales Bild haben, sind sie beide Hilbert-Schmidt-Operatoren. Damit ist T = IV ◦T als Zusam- mensetzung von Hilbert-Schmidt-Operatoren gem¨aß Lemma 4.3 nuklear.

Satz 4.12. Es seien H₁, H₂, H₃ Hilbertr¨aume. F¨ur Operatoren B₁ ∈L_b(H₂, H₃), B₂ ∈ L_b(H₁, H₂), S₁∈ S₁(H₁, H₂) und S₂ ∈ S₁(H₂, H₃) gilt:

B₁◦S₁ ∈ S₁(H₁, H₃), S₂◦B₂ ∈ S₁(H₁, H₃).

Beweis. Wenn S_i ein nuklearer Operator ist, k¨onnen wir ihn gem¨aß Lemma 4.3 in zwei Hilbert-Schmidt-Operatoren Si =Ti◦Ri zerlegen. Da das Produkt von einem Hilbert- Schmidt-Operator und einem beschr¨ankten Operator gem¨aß Satz 3.9 wieder Hilbert- Schmidt ist, sind f¨ur einen beschr¨ankten Operator B_i die Ausdr¨ucke B₁ ◦S₁ = (B₁ ◦ T₁)◦R₁ undS₂◦B₂ =T₂◦(R₂◦B₂) wieder Produkte von Hilbert-Schmidt-Operatoren, und damit gem¨aß Lemma 4.3 nuklear.

5 Eine Anwendung

Voraussetzung 5.1. Es sei(H,h.|.i)ein Hilbertraum mit²H⊂L²(Ω, µ). Des Weiteren soll die Einbettungsabbildung

ι_H : (H,h.|.i)→L²(Ω, µ) eine nukleare Abbildung sein.

Definition 5.2. Wir stellen ιH gem¨aß Korollar 2.3 durch ιH(x) =P

kλ_khv_k|xib_k dar.

Da ι_H nuklear ist, gilt P

kλ_k < +∞. F¨ur jede ¨Aquivalenzklasse b_k ∈ L²(Ω, µ) w¨ahlen wir einen Repr¨asentanten h_k. F¨ur alle ω ∈Ω mit P

kλ_k|h_k(w)|<+∞, definieren wir die AbbildungTw :X→C folgendermaßen

T_w(x) :=X

k

λ_khv_k|xih_k(w).

F¨ur alle anderenω ∈Ω setzen wirT_w := 0.

Lemma 5.3. T_ω ist wohldefiniert, linear und beschr¨ankt.

Beweis. Offensichtlich ist Tw linear. F¨ur ein ω ∈ Ω mit P

kλ_k|h_k(w)| = +∞ ist T_ω = 0 und damit sowohl wohldefiniert wie auch beschr¨ankt. F¨ur den anderen Fall P

kλk|h_k(w)|<+∞ gilt X

k

|λ_khv_k|xihk(w)| ≤X

k

λkkxk_Hkv_kk_H|h_k(w)|=

=kxk_HX

k

λ_k|h_k(w)|<+∞, T_ω ist also wohldefiniert. Wegen

|T_ω(x)| ≤X

k

|λ_khv_k|xihk(w)| ≤ kxk_HX

k

λk|h_k(w)|

ist die Abbildung beschr¨ankt.

Lemma 5.4. Es gilt Tw(.) =P

kλkhv_k|.ihk(w) fast ¨uberall.

Beweis. Wegen X

k

λ_k|h_k(w)|=X

k

pλ_k(p

λ_k|h_k(w)|)≤ s

X

k

λ_k s

X

k

λ_k|h_k(w)|²

2Man beachte, dassh.|.inicht mit dem Skalarprodukt vonL²(Ω, µ) ¨ubereinstimmen muss.

gilt Z

(X

k

λ_k|h_k(w)|)² dµ≤ X

j

λ_j Z X

k

λ_k|h_k(w)|² dµ=

= X

j

λ_j X

k

λ_k Z

|h_k(w)|² dµ= X

k

λ_k2

<+∞.

Weil der zu integrierende Ausdruck positiv ist, konnten wir hier den Satz von Fu- bini bez¨uglich dem Produktmaß von µ mit dem Z¨ahlmaß anwenden. Daraus folgt P

kλ_k|h_k(w)|<+∞ fast ¨uberall. Gem¨aß Definition 5.2 gilt daher T_w(.) :=P

kλ_khv_k|.ih_k(w) fast ¨uberall.

Bemerkung 5.5. Daf ∈L²eine ¨Aquivalenzklasse von Funktionen ist, ist der Ausdruck f(x) nicht wohldefiniert. Der folgende Satz liefert allerdings eine M¨oglichkeit, solche Elemente f aus Teilr¨aumen, welche die Voraussetzung 5.1 erf¨ullen, fast ¨uberall stetig auszuwerten.

Satz 5.6. F¨ur allef ∈H gilt

f(ω) =Tω(f) µ-f¨u.

Beweis. Aus limNkι_H(f)−PN

k=1λjhv_k|fibkk= 0 folgt µ−lim

N N

X

k=1

λ_jhv_k|fib_k=ι_H(f),

und gem¨aß [1] Satz 7.88 folgt daraus, dass es nat¨urliche Zahlen N(1), N(2), ..gibt mit ι_H(f)(ω) = lim

j N(j)

X

k=1

λ_jhv_k|fib_k(ω) = lim

j N(j)

X

k=1

λ_jhv_k|fih_k(ω) µ-f¨u.

Wegen Lemma 5.4 gilt auch limj

N(j)

X

k=1

λjhv_k|fihk(ω) =Tω(f) µ-f¨u.

Es folgt f(ω) =ι_H(f)(ω) =T_ω(f) fast ¨uberall.

References

[1] N. Kusolitsch. Maß-und Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, 2011.