Theorie monotoner Operatoren

(1)

Theorie monotoner Operatoren Browder und Minty Beweisidee

Monotone Operatoren

Tobias Kahoun

21.-24.06.2012

(2)

Outline

1

Theorie monotoner Operatoren

2

Browder und Minty

3

Beweisidee

(3)

Vorraussetzungen

Die Funktion F : R → R erf¨ ulle folgende Bedingungen:

Eigenschaften

blindtext

F ist monoton wachsend F ist stetig

F ist koerziv, d.h. F (u) → ±∞ falls u → ±∞

Dann besitzt die Gleichung

F (u) = b f¨ ur alle b ∈ R eine L¨ osung u ∈ R .

Als Resultat dieser Gleichung folgt durch die Theorie monotnoner Operatoren

Au = b

(4)

Monotone Operatoren

Definition: Sei X ein reeller, reflexiver Banachraum und sei A : X → X

^∗

ein Operator. Dann heißt A:

Definition: Monotoner Operatore

blindtext

monoton ⇔ ∀u, v ∈ X gilt: hAu − Av , u − vi ≥ 0.

strikt monoton ⇔ ∀u, v ∈ X , u 6= v gilt:

hAu − Av , u − v i > 0

stark monoton⇔ ∃c > 0, sodass ∀u, v ∈ X gilt:

hAu − Av , u − v i ≥ c ku − v k

²

koerziv ⇔ lim

_kukx→∞^hAu,ui_kuk

= ∞

(5)

Stetige Operatoren

Sei x ein reflexiver, reeller Banachraum. Dann heißt A : X → X

^∗

. Definition: Stetiger Operator

blindtext

demistetig, wenn aus u

_n

→ u folgt, dass Au

_n

→ Au schwach.

hemistetig, wenn t 7→ hA((1 − t)u + tv ), w )i, ∀t ∈ [0, 1]

stetig ist.

stark stetig, wenn aus u

_n

→ u schwach folgt, dass Au

_n

→ Au

beschr¨ ankt, wenn A beschr¨ ankte Mengen auf beschr¨ ankte

abbildet

(6)

Folgerung

Unmittelbar aus dieser Defintion folgt das Lemma:

Sei X ein redlexiver, reeller Banachraum und A : X → X

^∗

Lemma

blindtext

A stark stetig ⇒ A kompakt A demistetig ⇒ A lokal beschr¨ ankt A monoton ⇒ A lokal beschr¨ ankt

A monoton und hemistetig ⇒ A demistetig

(7)

Minty-Trick

Sei X ein reflexiver, reeller Banachraum und A : X → X

^∗

ein hemistetiger, monotoner Operator. Dann gilt:

Eigenschaften

blindtext

Operator A maximal monoton, d.h. u ∈ X , b ∈ X

^∗

, sodass hb − Av , u − v i ≥ 0∀v ∈ X

⇒Au = b

F¨ ur A ist ausreichend, dass u

n

* u in X, Au

n

* b in X

^∗

und hAu

_n

, u

n

i → hb, ui x (n → ∞)

⇒ Au = b

Aus u

n

* u in X und Au

n

* b in X

^∗

(n → ∞)

⇒ Au = b

(8)

Lemma (Konvergenzprinzipien)

Sei X ein Banachraum. Dann gilt:

Eigenschaften

blindtext

Wenn x

n

* x schwach in X, (n → ∞), dann existiert eine Konstante c, so dass kx

_n

k ≤ c .

Wenn x

n

* x schwach in X, (n → ∞), f

n

→ f in X

^∗

(n → ∞)

⇒ hf

_n

, x

_n

i → hf , xi (n → ∞)

Sei X zus¨ atzlich reflexiv. Die Folge (x

_n

) sei beschr¨ ankt. Wenn allel konvergenten Teilfolgen von (x

n

) schwach gegen

denselben Grenzwert x konvergieren, dann konvergiert die

gesamte Folge (x

_n

) schwach gegen x.

(9)

Der Satz von Browder und Minty

Satz

blindtext

Sei X ein separabler, reflexiver, reeler Banachraum mit einer Basis (w

_i

)

_i∈N

. Ferner sei A : X → X

^∗

ein monotoner, koerziver, hemistetiger Operator. Dann existiert f¨ ur alle b ∈ X

^∗

eine L¨ osung u ∈ X von

Au = b

(10)

Idee

Sei w

n

⊆ X eine abz¨ ahlbare linear unabh¨ angige Menge in X.

Definiere: X

n

:= span {w

₁

, ..., w

n

} und suche eine approximative L¨ osung der Form

u

n

= P

_n

k=1

c

_kⁿ

w

_k

∈ X

n

die hAu

_n

− b, w

_k

i = 0 ∀k = 1, ..., n l¨ osen.

(11)

Beweis: Schritt 1

Zeige, dass hAu

_n

− b, w

k

i = 0 ∀k = 1, ..., n stets eine L¨ osung hat.

Betrachte Abbildung

g

k

(c

ⁿ

) := hAu

_n

− b, w

k

i und l¨ ose auf nach

g (c

ⁿ

) = 0

Da A demistetig und g stetig, sieht man dass g eine Nullstelle und dass es eine von n unabh¨ angige Konstante R

0

mit

ku

_n

k ≤ R

₀

gibt.

(12)

Beweis: Schritt 2

Zeige (Au

n

) ist beschr¨ ankt

Aus Monotonie folgt, dass A lokal Beschr¨ ankt ist:

∃r, δ > 0, sodass ∀ kv ≤k r gilt, dass kAv k ≤ δ ist.

Wegen hAu

_n

, u

_n

i = hb, u

_n

i und der Beschr¨ anktheit der u

_n

gilt:

|hAu

_n

, u

n

i| ≤ kbk ku

_n

k ≤ kbk R

0

(13)

Beweis: Schritt 3

Zeige nun, dass u

_n

gegen eine L¨ osung konvergiert.

Da u

n

beschr¨ ankt, X reflexiv existiert eine Teilfolge u

n

* u in X.

Es gilt:

c=b hAu

_n

, w i = hb, w i also lim

n→∞

hAu

_n

, w i = hb, w i ∀w ∈ S

k∈N

X

_k

Da auch Au

n

beschr¨ ankt und X ∗ reflexiv folgt:

lim

n→∞

hAu

_n

, u

n

i = lim

n→∞

hb, u

n

i = hb, ui

⇒ Au = b

(14)

Beweis: Schritt 4

Zeige Eigenschaften der L¨ osungsmenge S := {u ∈ X : Au = b}

Aus Koerzivit¨ at von A folg Beschr¨ anktheit von A

Durch direkte Rechnung erh¨ alt man Konvexit¨ at von A und aus Monotonie folgt Abgeschlossenheit

Ingesamt sieht man falls A strikt monoton ist, gilt f¨ ur zwei L¨ osungen u und v, dass

0 < hAu − av , u − vi = hb − b, u − vi = 0

Widerspruch!

(15)

Beweis: 1.Schritt

Beweis mit Hilfe des Galerkin Verfahrens:

Galerkin-Approximation

blindtext

Sei X

_n

= span {w

₁

, ..., w

_n

} u

n

= P

n

k=1

c

_kⁿ

w

k

ist Galerkin-L¨ osung falls hAu

_n

− f , w

k

i f¨ ur k=1,...,n

→ h( P

n

k=1

c

_kⁿ

w

_k

) − b, w

_k

i f¨ ur k=1,...,n

nichtlinerares Gleichungssystem zur Bestimmtung eines Verktors ~ c

ⁿ

= (c

₁ⁿ

, ..., c

_nⁿ

)

Setze g

k

(~ c

ⁿ

) = hA ( P

n

k=1

c

_kⁿ

w

k

) − b, w

k

i

⇒ ~ g (~ c

ⁿ

) = ~ 0

(16)

Beweis: 2.Schritt

L¨ osung der Gleichung hAu

_n

− b, w

_k

i = 0, k=1, ..., n.

Nichlineares System von Gleichungen bez¨ uglich der Vektoren c

ⁿ

:= (c

₁ⁿ

, ..., c

_nⁿ

) ∈ R

ⁿ

.

Mit Hilfe der Abbildung g := (g

₁

, ..., g

_n

) : R

ⁿ

→ R

ⁿ

gegeben durch g

k

: R

ⁿ

→ R : c

ⁿ

7→ g

k

(c

ⁿ

) := hAu

_n

− b, w

k

i, k=1, ..., n umschreiben in

g (c

ⁿ