Universit¨at Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik Prof. Dr. Robert Denk
Dipl.-Math. Mario Kaip 18. Juni 2009
AAAA
AA Q
Q QQ
Funktionalanalysis 9. ¨Ubungsblatt
Aufgabe 9.1 Seien X und Y Banachr¨aume, sowie B :X×Y →C eine Bilinearform. Zeigen Sie die ¨Aquivalenz der folgenden Aussagen:
(i) Es existiert eine Konstante C >0 mit |B(x, y)| ≤CkxkXkykY f¨ur alle x∈X undy ∈Y. (ii) B ist stetig.
Hinweis: Stetigkeit und Folgenstetigkeit sind hier ¨aquivalent.
Aufgabe 9.2 Sei X ein separabler Banachraum. Zeigen Sie, dassX isometrisch isomorph zu einem Unterraum von`∞ist. Betrachten Sie hierzu den Operator Φ :X →`∞, x7→(Λn(x))n∈N
mit geeignet gew¨ahlten Λn∈X0 f¨urn∈N.
Hinweis: Hahn-Banach und Folgerungen ansehen.
Aufgabe 9.3 Zeigen Sie, dass f¨ur einen normierten Raum X folgende Aussagen gelten:
(i) F¨ur alle x∈X gilt
kxkX = sup
x0∈X0\{0},kx0kX0≤1
|x0(x)|.
(ii) Ein Untervektorraum U ⊂X ist genau dann dicht inX, falls f¨ur alle x0 ∈X0 mitx0|U = 0 bereitsx0= 0 gilt.
Aufgabe 9.4 Seien X undY Banachr¨aume,A:X →Y undB :Y0 →X0 linear. Gilt f¨ur alle x∈X und alley0 ∈Y0
y0(Ax) = (By0)(x), dann giltA∈L(X, Y) und B∈L(Y0, X0).
Hinweis: Zeigen Sie, dassAabgeschlossen ist.
Abgabetermin: Donnerstag 25. Juni 2009, vor 10:00 Uhr in die Briefk¨asten bei F411.
