a) Sei X eine N (2, 9)-Zufallsgrösse. Mit Hilfe der Z-Transform (Aufgabe 63) und der entsprechenden Tabelle (Krengel) berechnen wir:

(1)

Übungsblatt 9 zur Vorlesung ”Einführung in die Statistik”

Olivier Warin 17. November 2012

Aufgabe 60 [Ablesen von Wahrscheinlichkeiten aus Tabellen, Z-Transform]

a) Sei X eine N (2, 9)-Zufallsgrösse. Mit Hilfe der Z-Transform (Aufgabe 63) und der entsprechenden Tabelle (Krengel) berechnen wir:

P [−2 < X < 3] = P

ï −2 − 2

√ 9 < X − 2

√ 9 < 3 − 2

√ 9 ò

Aufg

=

63

P[− ⁴ / 3 < N (0, 1) < ¹ / 3 ]

= P[N (0, 1) < ¹ / 3 ] − P [N (0, 1) 6 − ⁴ / 3 ]

= P[N (0, 1) < ¹ / 3 ] − (1 − P [N (0, 1) 6 ⁴ / 3 ])

˙

=

Krengel

0.6293 − (1 − 0.9082)

= 0.5375.

Alternativ berechnen wir mit R:

P [−2 < X < 3] = P[X < 3] − P [X 6 −2] ˙ =

R

pnorm(3,2,sqrt(9))-pnorm(-2,2,sqrt(9))

˙

=

R

0.5393474.

b) Sei X eine N (20, 25)-Zufallsgrösse. Mit Hilfe der Z-Transform (Aufgabe 63) und der entsprechenden Tabelle (Krengel) berechnen wir:

P [X > 19]

^Aufg

=

63

P ï

N (0, 1) > 19 − 20

√ 25

ò

Sym-

=

metrie

P [N (0, 1) 6 0.2] = ˙

Krengel

0.5793.

Alternativ berechnen wir mit R:

P[X > 19] = = ˙

R

pnorm(19,20,sqrt(25),lower.tail=FALSE) = ˙

R

0.5792597.

c) Sei X eine χ ² ₃ -Zufallsgrösse. Mit Hilfe der entsprechenden Tabelle (Krengel) berechnen wir:

P [X > 6.25] = 1 − P[X < 6.25] = ˙

Krengel

1 − 0.900 = 0.1.

Alternativ berechnen wir mit R:

P [X > 6.25] ˙ =

R

pchisq(6.25,3,lower.tail=FALSE) = 0.1000608. ˙

Aufgabe 61 [Halbwertszeit, Median, Erwartungswert bei Exp]

Y habe eine Exponentialverteilung mit Parameter λ > 0; d.h. die Dichte sei f (x) = λe ^−λx für x > 0 und sonst gleich 0.

Der Erwatungswert E[Y ] ist nach Aufgabe 49 a) gegeben durch E[Y ] = ¹ / λ . Sei m ∈ R der Median von E[Y ]. Es gilt also

1 / 2 = P [X 6 m] = Z m

0 λe ^−λx dx = 1 − e ^−λm .

(2)

Beachte dazu, dass klar gilt m > 0. Wir schliessen:

m = log(2)

λ = E[Y ] log(2).

Die Halbwertszeit ist (im Modell für radioaktiven Atomzerfall) die (erwartete) Zeit, bis die Hälfte aller Atome zerfallen ist. Dies entspricht genau dem Median. Eine exakte Erklärung dafür folgt in Kapitel 5.

Also ist die Halbwertszeit gegeben durch log(2)

λ = E[Y ] log(2).

Das Verhältnis zwischen Halbwertszeit und Erwartungswert ist daher genau log(2).

Aufgabe 62 [Gedächtnislosigkeit von Ge und Exp]

a) Sei G eine geometrisch verteilte Zufallsgrösse mit Parameter p ∈ (0, 1). Seien weiter n und m zwei natürliche Zahlen mit n > m > 0.

Behauptung: Es gilt:

P[G > n|G > m] = P [G > n − m].

Beweis: Für eine natürliche Zahl ` > 0 gilt:

P [G > `] =

∞

X

k=`+1

P[G = k] =

∞

X

k=`+1

p(1 − p) ^k−1 = (1 − p) ^`

∞

X

k=1

p(1 − p) ^k−1

^Aufg

=

28 a)

(1 − p) ^` . (∗) Damit schliessen wir:

P[G > n|G > m]

^Def

=

1.5

P[G > n, G > m]

P [G > m]

n > m

= P[G > n]

P[G > m]

(∗)

= (1 − p) ^n−m

^(∗)

= P[G > n − m].

b) Sei T eine exponential verteilte Zufallsgrösse mit Parameter λ > 0. Seien weiter t und s zwei reelle Zahlen mit t > s > 0.

Behauptung: Es gilt:

P[T > t|T > s] = P[T > t − s].

Beweis: Für eine reelle Zahl r > 0 gilt:

P [T > r] = Z ∞

r

λe ^−λx dx = e ^−λr . (∗∗)

Wir schliessen:

P[T > t|T > s]

^Def

=

1.5

P [T > t, T > s]

P[T > s]

t > s

= P[T > t]

P [T > s]

(∗∗)

= e ^−λt

e ^−λs = e ^−λ(t−s)

^(∗∗)

= P [T > t − s].

Aufgabe 63 [Z-Transform]

Sei X eine N (µ, σ ² )-Zufallsgrösse.

Behauptung: Die Zufallsgrösse

Z := X − µ σ hat eine N (0, 1)-Verteilung.

Beweis: Seien F _X und F _Z die Verteilungsfunktionen von X bzw. Z. Nun gilt:

F Z (a) = P [Z 6 a] = P

ï X − µ

σ 6 a

ò

= P [X 6 σa + µ] = F X (σa + µ).

(3)

Aufgabe 64 [Bin + Bin = Bin wenn p gleich]

Seien X eine Bin(n 1 , p)-verteilte und Y eine Bin(n 2 , p)-verteilte Zufallsgrösse.

Behauptung: X + Y hat eine Bin(n 1 + n 2 , p)-Verteilung.

Beweis: Sei k ∈ {0, 1, . . . , n 1 + n 2 }.

Wir zählen zunächst die Anzahl Möglichkeitenkeiten k Elemente aus n 1 +n 2 auszuwählen. Einerseits ist diese Anzahl bekanntlich genau ⁿ

¹

⁺ⁿ _k

²

. Andererseits müssen wir, um k Elemente aus n 1 +n 2 auszuwählen, erst i Elemente aus n ₂ und dann k −i Elemente aus n ₁ auswählen. Wobei i natürlich alle möglichen Werte durchläuft. Dieses kombinatorische Argument liefert:

Ç n 1 + n 2

k å

= X

i

Ç n 1

k − i åÇ n 2

i å

. (∗)

Mit der Formel aus 4.4.1.1 berechnen wir nun:

P [X + Y = k] = X

i

P[X = k − i]P[Y = i]

= X

i

Ç n 1

k − i å

p ^k−i (1 − p) ⁿ

¹

^−(k−i) Ç n 2

i å

p ⁱ (1 − p) ⁿ

²

⁻ⁱ

= p ^k (1 − p) ⁿ

¹

⁺ⁿ

²

^−k X

i

Ç n 1

k − i åÇ n 2

i å

(∗)

=

Ç n 1 + n 2

k å

p ^k (1 − p) ⁿ

¹

⁺ⁿ

²

^−k .

Also hat X + Y eine Bin(n 1 + n 2 , p)-Verteilung.

Aufgabe 65 [U [0, 1] + U [0, 1] 6= U [0, 2]]

Seien X ₁ und X ₂ zwei unabhängige U [0, 1]-Zufallsgrössen mit Dichten f _X

₁

bzw. f _X

₂

. Sei weiter f _X

₁

_+X

₂

die Dichte von X ₁ + X ₂ . Mit 4.4.1.2. folgt nun:

f _X

₁

_+X

₂

(a) =

Z ∞

−∞

f _X

₁

(a − x)f _X

₂

(x)dx = Z 1

0 f _X

₁

(a − x)f _X

₂

(x)dx = Z 1

0 f _X

₁

(a − x)dx

y=a−x

=

Z a a−1

f _X

₁

(y)dy =



 

 

a, falls 0 6 a 6 1 2 − a, falls 1 6 a 6 2 0, sonst.

Aufgabe 66 [R, Summe von normalverteilten Zufallsgrössen]

a)

> x < − rnorm ( 5 0 0 0 , 3 , sqrt ( 9 ) )

> y < − rnorm ( 5 0 0 0 , 4 , sqrt ( 2 5 ) )

> mean( x+y ) # Sollte etwa 3+4=7 sein [ 1 ] 7 . 0 3 8 2 6 3

5

> var ( x+y ) # Sollte etwa 9+25=34 sein [ 1 ] 3 4 . 7 0 6 3

Diese R-Session liefert die folgenden beiden Plots:

(4)

Histogram of x + y

x + y

Frequency

−10 0 10 20 30

0 50 100 150

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●●●

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−10 0 10 20 30

Normal Q−Q Plot

Sample Quantiles

(5)

b) Der Befehl qqnorm plottet die Quantile der empirischen Verteilung einer Stichprobe gegen die theo- retischen Quantile der N (0, 1)-Verteilung. Dies bedeutet, je näher die Punkte auf einer Gerade liegen desto eher stammt die Stichprobe aus einer normalverteilten Zufallsgrösse. Daher ist es in a) plausibel, dass x+y aus einer normalverteilten Zufallsgrösse stammt.

Hier noch zwei Beispiele, mit Stichproben die nicht aus einer normalverteilten Zufallsgrösse stam- men:

Der Befehl qqnorm(runif(1000)) liefert den folgenden Plot:

●

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a) Sei X eine N (2, 9)-Zufallsgrösse. Mit Hilfe der Z-Transform (Aufgabe 63) und der entsprechenden Tabelle (Krengel) berechnen wir:

Übungsblatt 9 zur Vorlesung ”Einführung in die Statistik”

Olivier Warin 17. November 2012

Aufgabe 60 [Ablesen von Wahrscheinlichkeiten aus Tabellen, Z-Transform]

a) Sei X eine N (2, 9)-Zufallsgrösse. Mit Hilfe der Z-Transform (Aufgabe 63) und der entsprechenden Tabelle (Krengel) berechnen wir:

P [−2 < X < 3] = P

ï −2 − 2

√ 9 < X − 2

√ 9 < 3 − 2

√ 9 ò

=

P[− 4 / 3 < N (0, 1) < 1 / 3 ]

= P[N (0, 1) < 1 / 3 ] − P [N (0, 1) 6 − 4 / 3 ]

= P[N (0, 1) < 1 / 3 ] − (1 − P [N (0, 1) 6 4 / 3 ])

˙

=

0.6293 − (1 − 0.9082)

= 0.5375.

Alternativ berechnen wir mit R:

P [−2 < X < 3] = P[X < 3] − P [X 6 −2] ˙ =

pnorm(3,2,sqrt(9))-pnorm(-2,2,sqrt(9))

˙

=

0.5393474.

b) Sei X eine N (20, 25)-Zufallsgrösse. Mit Hilfe der Z-Transform (Aufgabe 63) und der entsprechenden Tabelle (Krengel) berechnen wir:

P [X > 19]

=

P ï

N (0, 1) > 19 − 20

√ 25

ò

=

P [N (0, 1) 6 0.2] = ˙

0.5793.

Alternativ berechnen wir mit R:

P[X > 19] = = ˙

pnorm(19,20,sqrt(25),lower.tail=FALSE) = ˙

0.5792597.

c) Sei X eine χ 2 3 -Zufallsgrösse. Mit Hilfe der entsprechenden Tabelle (Krengel) berechnen wir:

P [X > 6.25] = 1 − P[X < 6.25] = ˙

1 − 0.900 = 0.1.

Alternativ berechnen wir mit R:

P [X > 6.25] ˙ =

pchisq(6.25,3,lower.tail=FALSE) = 0.1000608. ˙

Aufgabe 61 [Halbwertszeit, Median, Erwartungswert bei Exp]

Y habe eine Exponentialverteilung mit Parameter λ > 0; d.h. die Dichte sei f (x) = λe −λx für x > 0 und sonst gleich 0.

Der Erwatungswert E[Y ] ist nach Aufgabe 49 a) gegeben durch E[Y ] = 1 / λ . Sei m ∈ R der Median von E[Y ]. Es gilt also

1 / 2 = P [X 6 m] = Z m

0

λe −λx dx = 1 − e −λm .

Beachte dazu, dass klar gilt m > 0. Wir schliessen:

m = log(2)

λ = E[Y ] log(2).

Die Halbwertszeit ist (im Modell für radioaktiven Atomzerfall) die (erwartete) Zeit, bis die Hälfte aller Atome zerfallen ist. Dies entspricht genau dem Median. Eine exakte Erklärung dafür folgt in Kapitel 5.

Also ist die Halbwertszeit gegeben durch log(2)

λ = E[Y ] log(2).

Das Verhältnis zwischen Halbwertszeit und Erwartungswert ist daher genau log(2).

Aufgabe 62 [Gedächtnislosigkeit von Ge und Exp]

a) Sei G eine geometrisch verteilte Zufallsgrösse mit Parameter p ∈ (0, 1). Seien weiter n und m zwei natürliche Zahlen mit n > m > 0.

Behauptung: Es gilt:

P[G > n|G > m] = P [G > n − m].

Beweis: Für eine natürliche Zahl ` > 0 gilt:

P [G > `] =

∞

X

k=`+1

P[G = k] =

∞

X

k=`+1

p(1 − p) k−1 = (1 − p) `

∞

X

k=1

p(1 − p) k−1

=

(1 − p) ` . (∗) Damit schliessen wir:

P[G > n|G > m]

=

P[G > n, G > m]

P[− ⁴ / 3 < N (0, 1) < ¹ / 3 ]

= P[N (0, 1) < ¹ / 3 ] − P [N (0, 1) 6 − ⁴ / 3 ]

= P[N (0, 1) < ¹ / 3 ] − (1 − P [N (0, 1) 6 ⁴ / 3 ])

c) Sei X eine χ ² ₃ -Zufallsgrösse. Mit Hilfe der entsprechenden Tabelle (Krengel) berechnen wir:

Y habe eine Exponentialverteilung mit Parameter λ > 0; d.h. die Dichte sei f (x) = λe ^−λx für x > 0 und sonst gleich 0.

Der Erwatungswert E[Y ] ist nach Aufgabe 49 a) gegeben durch E[Y ] = ¹ / λ . Sei m ∈ R der Median von E[Y ]. Es gilt also

λe ^−λx dx = 1 − e ^−λm .

p(1 − p) ^k−1 = (1 − p) ^`

p(1 − p) ^k−1

(1 − p) ^` . (∗) Damit schliessen wir:

= (1 − p) ^n−m

λe ^−λx dx = e ^−λr . (∗∗)

= e ^−λt

e ^−λs = e ^−λ(t−s)

Sei X eine N (µ, σ ² )-Zufallsgrösse.

Beweis: Seien F _X und F _Z die Verteilungsfunktionen von X bzw. Z. Nun gilt:

Wir zählen zunächst die Anzahl Möglichkeitenkeiten k Elemente aus n 1 +n 2 auszuwählen. Einerseits ist diese Anzahl bekanntlich genau ⁿ

⁺ⁿ _k

. Andererseits müssen wir, um k Elemente aus n 1 +n 2 auszuwählen, erst i Elemente aus n ₂ und dann k −i Elemente aus n ₁ auswählen. Wobei i natürlich alle möglichen Werte durchläuft. Dieses kombinatorische Argument liefert:

p ^k−i (1 − p) ⁿ

^−(k−i) Ç n 2

p ⁱ (1 − p) ⁿ

⁻ⁱ

= p ^k (1 − p) ⁿ

⁺ⁿ

^−k X