Ubungszettel I -W-Theorie ¨

Prof. Dr. Barbara R¨ udiger Bergische Universit¨ at Wuppertal,

Ubungszettel I -W-Theorie ¨

Notation:

a) g ∈ Σ([0, T]), falls g(s) =Pn−1

k=0gk1A_k(s), mit Ak ∈ B([0, T]) paarweise disjunkt

b) g∈Σ_∞([0, T]), fallsg(s) =P

k∈Ngk1A_k(s), mitAk ∈ B([0, T]) paarweise disjunkt.

c) kfk_∞= sup_x∈R|f(x)|f¨ur f reellwertige messbare Funktion.

Ubung I:¨

1) Beweisen Sie, dass f¨ur jedeB([0, T])/B(R) -messbare Funktiongeine Folge von Funktioneng_n∈Σ_∞([0, T]) existiert, so dasslim_n→∞kg−g_nk∞= 0 2) Beweisen Sie, dass Σ([0, T]) dicht in Σ∞([0, T])∩ L²([0, T],B([0, T]), λ) in

der Normk · k_L² ist.

Ubung II:¨

3) SeiIeine Index Menge. SeienFασ-Algebras auf der Menge Ω. Beweisen Sie, dass∩α∈IFαeineσ-Algebra auf Ω ist.

Ubung III:¨

4) Sei (Ω,F) ein Messraum. Sei A ∈ F, A 6= ∅. Beweisen Sie, dass F |_A:={C=A∩B:B∈ F }eineσ-Algebra aufA ist.

Ubung IV:¨

5) Beweisen Sie, dass{x} ∈ B(R) ∀x∈R

6) Beweisen Sie, dass f¨ur die VerteilungsfunktionFµ vonµgilt, dassµ(x0) = Fµ(x0)−limx↑x₀Fµ(x)

Ubung V:¨

7) SeiA:={alle offene Mengen aus (R^d,| · |)}. Beweisen Sie, dassσ(A) = B(R^d). Beweisen Sie, dass das gleiche gilt, wenn wir statt dessen alle geschlosse- nen Mengen nehmen

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Ubung VI:¨

8) Sei 0≤p≤1. Schreiben Sie die Verteilung vonB(n, p) als Kombination von Delta - Verteilungen und schreiben Sie dessen Verteilungsfunktion.

9) Beweisen Sie, dass, falls X eine Zufallsvariabel ist, dessen Verteilungs- funktion F streng monoton und stetig ist, dann F(X) uniform auf [0,1]

verteilt ist.

10) SeiFeine stetige Verteilungsfunktion mit Verteilungµ. Beweisen Sie, dass f¨ur jedesα∈[0,1] eine Borelsche MengeAexistiert, f¨ur die giltµ(A) =α Ubung VII:¨

11) SeienX undY reellwertige Zufallsvariabeln auf (Ω,F, P). Beweisen Sie, dassmax(X, Y) eine Zufallsvariable ist.

12) Seien Xn reellwertige Zufallsvariabeln auf (Ω,F, P). Beweisen Sie, dass sup(Xn) eine Zufallsvariable ist.

Ubung VIII:¨

SeiC(x) die Cantor Funktion.

13) Schreiben SieC(x) als Funktion.

14) Geben Sie die Menge an, woC(x) nicht differenzierbar ist.

15) Beweisen Sie dassC(x) eine stetig und singul¨are Verteilungsfunktion ist

Bemerkungen:

Resultate ohne Berechnungen oder Begr¨undung werden nicht anerkannt.

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