(Die Cantor-Volterra-Funktion) Wir betrachten den Raum X:={f ∈C([0,1]) :f ist monoton mitf(0

Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann

Ubung zur Analysis 3¨ Blatt 4

Zusatzaufgabe 5. (Die Cantor-Volterra-Funktion) Wir betrachten den Raum X:={f ∈C([0,1]) :f ist monoton mitf(0) = 0 undf(1) = 1}

mit der von der Supremumsnorm induzierten Metrik d(f, g) :=kf−gk_∞= sup

t∈[0,1]

|f(t)−g(t)|.

F¨ur jedesf ∈X definieren wir eine Funktion T f: [0,1]→Rdurch

(T f)(t) :=







1

2f(3t), 0≤t≤ ¹₃,

1

2, ¹₃ ≤t≤ ²₃,

1

2(1 +f(3t−2)), ²₃ ≤t≤1.

Bezeichne C⊆[0,1] die Cantormenge von Blatt 1 und sei U := [0,1]\C. Zeigen Sie:

(a) F¨ur jedesf ∈X ist T f wohldefiniert und ein Element vonX, d.h. T bildetX in sich selbst ab.

L¨osung: Seif ∈X. Dann istT f wohldefiniert, denn f¨urt= 1/3 istf(3t)/2 = 1/2 und f¨urt = 2/3 ist ebenfalls (1 +f(3t−2))/2 = 1/2. Offenbar ist T f monoton und stetig.

(b) F¨ur alle f, g∈X giltd(T f, T g)≤ ¹₂d(f, g).

L¨osung: Je nach Lage von t ∈ [0,1] bez¨uglich 1/3 und 2/3 findet man stets

|T f(t)−T g(t)| ≤ kf −gk und darauf folgt die Behauptung.

(c) Es gibt genau einf_C ∈X mitT f_C =f_C. (Hinweis: Banachscher Fixpunktsatz.) L¨osung: Nach Analysis II istC([0,1]) vollst¨andig bez¨uglich der Supremumsnorm, und dann sieht man leicht, dass auchX vollst¨andig ist. Nun benutzt man (a) und den Banachschen Fixpunktsatz.

(d) U ist die Vereinigung einer Folge disjunkter offener Intervalle, auf denen f jeweils konstant ist.

L¨osung: Seien die Mengen U₁, U₂, . . . definiert wie in Aufgabe 5 von Blatt 1.

Offenbar ist jedes U_n eine disjunkte Vereinigung von 2ⁿ⁻¹ offenen Intervallen.

Ferner ist fC =T fC konstant auf U1. Aus der Gleichung fC =T fC folgert man induktiv, dass dann f_C auch konstant ist auf jedem der 2ⁿ⁻¹ disjunkten offenen Intervalle, dieU_n ergeben. Die Vereinigung all dieser offenen Intervalle ist gerade U.

(e) Es gilt µ(f_C(U)) = 0 und µ(f_C(C)) = 1 (obwohl µ(U) = 1 und µ(C) = 0 nach Blatt 1).

L¨osung: Da fC auf jedem der Intervalle aus (d) konstant ist und deren Vere- inigung U ist, ist f_C(U) abz¨ahlbar und somit eine Nullmenge. Da f_C nach dem Zwischenwertsatz surjektiv ist, muss f_C(C) ⊇ [0,1]\f_C(U) gelten und somit µ(fC(C)) = 1.

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Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann

Bild der Cantor-Volterra-FunktionfC aus Wikipedia

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