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Benutzen Sie die Integrals¨atze, um Aussagen f¨ur die Magnetostatik abzuleiten

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Academic year: 2022

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Ubungen zur Vorlesung¨ SS 2015

Theoretische Physik LA 2: Blatt 5

Elektrodynamik/Thermodynamik Ausgabedatum: 12.05.2015

Aufgabe 14 (Schriftlich) Biot-Savart-Gesetz 4 Punkte

In dieser Aufgabe leiten Sie das Biot-Savart-Gesetz aus den Maxwellgleichungen ab. Diese lauten f¨ur das Magnetfeld eines elektrischen Leiters

divB = 0, rotB =µ0j.

Ein divergenzfreies VektorfeldB(r) l¨asst sich (ohne Beweis) schreiben als B(r) = rotr

1 4π

Z

d3r0rot0rB(r0)

|r−r0|

= rotrA(r).

Benutzen Sie Ergebnisse von Blatt 4. Leiten Sie damit das Biot-Savart-Gesetz f¨ur eine Strom- dichteverteilung j(r) her und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem aus der Vorlesung be- kannten Gesetz

dB= µ0I 4π

dl×x

|x|3 .

Ein stromdurchflossenes Drahtsegment dl erzeugt demnach ein Magnetfeld dB. Wieso ¨uben demnach zwei stromdurchflossene Leiter Kr¨afte aufeinander aus?

Aufgabe 15 Grenzfl¨achenverhalten, Magnetostatik Vortrags¨ubung

In dieser Aufgabe besch¨aftigen Sie sich mit dem Feldverhalten an Grenzfl¨achen. Benutzen Sie die Integrals¨atze, um Aussagen f¨ur die Magnetostatik abzuleiten. Berechnen Sie damit anschließend die Felder in einer ringf¨ormigen Spule.

(a) Beweisen Sie, dass die Normalkomponente der magnetischen Induktion an einer Grenz- fl¨ache stetig ist.

(b) Zeigen Sie, dass die Tangentialkomponente des H-Feldes bei verschwindender Fl¨achen- stromdichte an einer Grenzfl¨ache stetig ist.

(c) In einer ringf¨ormigen Spule (Torus mit Radius R, Wicklungsradius r mit r R, N Windungen, Strom I) befinde sich ein Eisenkern mit Permeabilit¨at µ, der aus zwei H¨alften besteht, zwischen denen sich zwei kleine Luftspalte der Dicke d r befinden.

Fertigen Sie eine Skizze an. Berechnen Sie die FelderB,Hund Mim Eisen und in den Spalten unter der Vernachl¨assigung von Streufeldern. Berechnen Sie zum Vergleich das H-Feld einer identischen Spule ohne Eisenkern.

1

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Aufgabe 16 (Schriftlich) Polarisation 5 Punkte

F¨ur die Feldst¨arkeE einer sich inz-Richtung ausbreitenden elektromagnetischen Welle gilt:

E=Exex+Eyey mit Ex =|E0x|cos(kz−ωt+φ) Ey =|E0y|cos(kz−ωt+φ+δ)

(a) Zeigen Sie, dass sich f¨urδ= 0 oderδ=±π eine linear polarisierte Welle ergibt. Welcher Winkel besteht bei gegebenen |E0x|und |E0y| zwischen dem Feldst¨arkevektor und der

y-Achse? (2 Punkte)

(b) Zeigen Sie, dass sich f¨urδ =±π/2 und|E0x|=|E0y|zirkular polarisierte Wellen ergeben.

Wann spricht man von einer links- bzw. rechts-zirkular polarisierten Welle? Skizzieren

Sie diese. (3 Punkte)

Aufgabe 17 (Votier) Elektromagnetische Welle im Vakuum 12 Punkte

Im Folgenden untersuchen Sie die Maxwell-Gleichungen f¨ur das Vakuum und die zugeh¨origen L¨osungen. Wie sind die Felder zur Ausbreitungsrichtung einer elektromagnetischen Welle orientiert?

(a) Betrachten Sie die homogenen Maxwell-Gleichungen

∇ ·B= 0 und

∇ ×E+ ˙B=0.

Zeigen Sie, dass sich B und E durch ein Vektorpotential A und ein skalares Potenzial Φ darstellen lassen:

B=∇ ×A, E=−∇Φ−A˙ . (2 Punkte) (b) Eine Transformation A → A+∇Λ mit einer skalaren Funktion Λ ¨andert B nicht.

Wie muss die entsprechende Transformation f¨ur Φ lauten? Welcher Gleichung muss Λ gen¨ugen, damitA und Φ weiterhin die Lorentz-Bedingung ∇ ·A+c12Φ = 0 erf¨˙ ullen (c

ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum)? (2 Punkte)

(c) Betrachten Sie nun die inhomogenen Maxwell-Gleichungen im Vakuum

∇ ·E=ρ/0 und

∇ ×B− 1 c2

E˙ =µ0j

(Ladungsdichte ρ, Stromdichte j). Zeigen Sie, dass diese ¨aquivalent zu den Gleichungen

A=−µ0j und Φ =−ρ/0 (1)

sind, sofernAund Φ die Lorentz-Bedingung erf¨ullen (= ∆−c12∂t22 ist der d’Alembert-

Operator). (4 Punkte)

2

(3)

(d) F¨urρ= 0 und j=0 werden die Gleichungen (1) durch

A(r, t) =A0cos(kr−ωt) und Φ(r, t) = Φ0cos(kr−ωt) (2) gel¨ost. Bestimmen Sie den Zusammenhang zwischenωundk. Berechnen SieB(r, t) und E(r, t) aus den Gleichungen (2). Zeigen und benutzen Sie

B=∇ ×A=B0sin(kr−ωt) mit B0 =A0×k.

Bestimmen Sie die relative Orientierung der Vektoren B(r, t),E(r, t) und k. In welche

Richtung zeigt A0? (4 Punkte)

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