Zeigen Sie: (i) f−1(B) :={f−1(B) :B∈ B} ist eineσ-Algebra überX

Universität Konstanz

Fachbereich Mathematik und Statistik Prof. Dr. Reinhard Racke

Dipl.-Math. Olaf Weinmann

10. Dezember 2007 _¢¢AA¢¢AA ^¢¢AA

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Analysis III 8. Übungsblatt

Aufgabe 8.1 Es seien X und Y nichtleere Mengen und f: X −→ Y eine Abbildung. Ferner sei Abzw.B eineσ-Algebra überX bzw.Y. Zeigen Sie:

(i) f⁻¹(B) :={f⁻¹(B) :B∈ B} ist eineσ-Algebra überX. (ii) f_∗(A) :={B ⊂Y :f⁻¹(B)∈ A} ist eineσ-Algebra überY.

Aufgabe 8.2 Es sei X eine nichtleere Menge. Zeigen Sie: Ein Mengensystem A ⊂ P(X) ist genau dann ein Dynkin-System, wenn gilt:

(i) X∈ A,

(ii) FürA,B∈ Amit A⊂B giltB\A∈ A. (iii) FürA_n∈ A(n∈N)mit A₁ ⊂A₂⊂...giltS

n∈NA_n∈ A.

Aufgabe 8.3 Es sei X eine beliebige Menge undA_n⊂X (n∈N). Wir denieren lim inf

n→∞ A_n:= [

m∈N

\

n≥m

A_n und

lim sup

n→∞ A_n:= \

m∈N

[

n≥m

A_n. Zeigen Sie:lim inf_n→∞A_n⊂lim sup_n→∞A_n.

Abgabetermin: Montag 17. Dezember 2007, vor 13:00 Uhr in die Briefkästen bei F411.