Prüfungsklausur Mathematik 1 B / WS 2004/05, vom 14.01.2005 - Lösungen - Wiebe
B1 Gegeben seien drei Mengen reeller Zahlen: A = ( -1; 1 ), B = ( -2; 0 ] und C = [ 0; 2 ). 5P. Nach dem Distributivgesetz gilt C ∩ ( Α ∪ Β ) = ( C ∩ A ) ∪ ( C ∩ B )
Mit den Mengen A, B und C : ( Α ∪ Β ) = ( -2; 1 ) , C ∩ ( -2; 1 ) = [ 0; 1 ) bzw. ( C ∩ A ) = [ 0; 1 ) ( C ∩ B ) = [ 0; 0 ] [ 0; 1 ) ∪ [ 0; 0 ] = [ 0; 1 ), siehe oben B2 e→x , e→y , e→z seien die Einheitsvektoren im kartesischen Koordinatensystem. Gesucht sind
a) e→x· (e→z − e→y ) b) e→x× (e→z + e→y ) c) ( e→x ×e→z ) ·e→y
a) (e→z − e→y ) = ; e→x· = 0 + 0 + 0
b) (ez
→ + ey
→ ) = ; × = c) ( ex
→ ×ez
→ ) = - ey
→ ; - ey
→ · ey
→ = - (0 + 1 + 0) = -1
d) Warum ist die Produktangabe ( e→x·e→z ) ×e→y nicht zulässig, welchen Fehler enthält sie ? Das Produkt ( e→x·e→z ) ergibt einen Skalar. Das Kreuzprodukt von Skalar mit Vektor existiert nicht.
B3 Gegeben sind zwei komplexe Zahlen: z1 = 2·e-iπ , z2 = 6 + i·3 9P
a) Man kann beide Zahlen ohne Umrechnen direkt eintragen
b) Für die Addition wird z1 mit Real-/Imaginärteil benötigt:
z1 = -2 + i·0
z3 = -2 + 6 + i·3 = 4 + i·3 c)
B4 Gegeben:
7P. Gerade G mit g→(t) = + t · Ebene E mit p→· n→ = 8 , n→ =
Der Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene ist ein Punkt von G und zugleich in der Ebene.
Ansatz: g→(t) · n→ = 8 ; g→(t) = ; · = 2 + 2t + 2 + 2t = 4 + 4t = 8, also t = 1
Schnittpunkt: g→(t=1) = 1 1 0
1 1 1
2 2 0
x
1
e 0
0
= r
y
0
e 1
0
= r
z
0
e 0
1
=
r 0
1 1
−
0 1 1
0 1 1
0 1 1
−
1 0 0
0 1 1
−
1 t 1 t t
+
+
1 t 1 t t
+
+
2 2 0
2
2 1
B5 Gegeben ist eine Vektorgleichung mit den Unbekannten x1 und x2 : 7P.
x1 · + x2 · =
Gleichungssystem: Schema für den Gaußschen Algorithmus:
- x1 - x2 = -1 -1 -1 -1
x1 + 4x2 = -2 1 4 -2
2x1 - 2x2 = 6 2 -2 6
1. Schritt: -1 -1 -1 2.Z + 1.Z 0 3 -3 3.Z + 2*1.Z 0 -4 4 2. Schritt: -1 -1 -1
0 3 -3
3*3.Z + 4*2.Z 0 0 0 kein Widerspruch, Lösung existiert aus 2.Z folgt: x2 = -1, aus 1.Z folgt: -x1 + 1 = -1, also x1 = 2
1 1 2
−
1 4
2
−
−
1 2 6
−
−