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C ∩ B ) Mit den Mengen A, B und C

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(1)

Prüfungsklausur Mathematik 1 B / WS 2004/05, vom 14.01.2005 - Lösungen - Wiebe

B1 Gegeben seien drei Mengen reeller Zahlen: A = ( -1; 1 ), B = ( -2; 0 ] und C = [ 0; 2 ). 5P. Nach dem Distributivgesetz gilt C ∩ ( Α ∪ Β ) = ( C ∩ A ) ∪ ( C ∩ B )

Mit den Mengen A, B und C : ( Α ∪ Β ) = ( -2; 1 ) , C ∩ ( -2; 1 ) = [ 0; 1 ) bzw. ( C ∩ A ) = [ 0; 1 ) ( C ∩ B ) = [ 0; 0 ] [ 0; 1 ) ∪ [ 0; 0 ] = [ 0; 1 ), siehe oben B2 ex , ey , ez seien die Einheitsvektoren im kartesischen Koordinatensystem. Gesucht sind

a) ex· (ez − ey ) b) ex× (ez + ey ) c) ( ex ×ez ) ·ey

a) (ez − ey ) = ; ex· = 0 + 0 + 0

b) (ez

+ ey

) = ; × = c) ( ex

×ez

) = - ey

; - ey

· ey

= - (0 + 1 + 0) = -1

d) Warum ist die Produktangabe ( ex·ez ) ×ey nicht zulässig, welchen Fehler enthält sie ? Das Produkt ( ex·ez ) ergibt einen Skalar. Das Kreuzprodukt von Skalar mit Vektor existiert nicht.

B3 Gegeben sind zwei komplexe Zahlen: z1 = 2·e-iπ , z2 = 6 + i·3 9P

a) Man kann beide Zahlen ohne Umrechnen direkt eintragen

b) Für die Addition wird z1 mit Real-/Imaginärteil benötigt:

z1 = -2 + i·0

z3 = -2 + 6 + i·3 = 4 + i·3 c)

B4 Gegeben:

7P. Gerade G mit g(t) = + t · Ebene E mit p· n = 8 , n =

Der Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene ist ein Punkt von G und zugleich in der Ebene.

Ansatz: g(t) · n = 8 ; g(t) = ; · = 2 + 2t + 2 + 2t = 4 + 4t = 8, also t = 1

Schnittpunkt: g(t=1) = 1 1 0

  

  

  1 1 1

  

  

 

2 2 0

  

  

 

x

1

e 0

0

  

=     r

y

0

e 1

0

  

=     r

z

0

e 0

1

  

=    

r 0

1 1

  −

  

 

0 1 1

  

  

 

0 1 1

  

  

 

0 1 1

  −

  

 

1 0 0

  

  

 

0 1 1

  −

  

 

1 t 1 t t

 + 

 + 

 

 

 

1 t 1 t t

 + 

 + 

 

 

  2 2 0

  

  

  2

2 1

  

  

 

(2)

B5 Gegeben ist eine Vektorgleichung mit den Unbekannten x1 und x2 : 7P.

x1 · + x2 · =

Gleichungssystem: Schema für den Gaußschen Algorithmus:

- x1 - x2 = -1 -1 -1 -1

x1 + 4x2 = -2 1 4 -2

2x1 - 2x2 = 6 2 -2 6

1. Schritt: -1 -1 -1 2.Z + 1.Z 0 3 -3 3.Z + 2*1.Z 0 -4 4 2. Schritt: -1 -1 -1

0 3 -3

3*3.Z + 4*2.Z 0 0 0 kein Widerspruch, Lösung existiert aus 2.Z folgt: x2 = -1, aus 1.Z folgt: -x1 + 1 = -1, also x1 = 2

1 1 2

 −

  

  

1 4

2

 −

  

 −

 

1 2 6

 −

 −

  

 

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