Theorie B (SS2003) Musterlosung Ubungsblatt 5 06.06.03
1 a)
Kugelim Shwerefeld in x-z-Ebene: Lagrange: L= 1
2 m(x_
2
+z_ 2
) mgz
Ansatz furdie zu variierende Bahn inder Wirkung:
x(t) = x
0 +v
x t+at
2
z(t) = z
0 +v
z t+bt
2
) _
x = v
x +2at
_
z = v
z +2bt
Das in die Lagrangefunktion einsetzen ergibt
L = 1
2 m
(v 2
x +v
2
z 2gz
0 )
| {z }
A
0
+(4v
x a+4v
z
b 2gv
z )
| {z }
A
1
t+(4a 2
+4b 2
2gb)
| {z }
A
2
t 2
Die Wirkung istdann billigerweise:
S = Z
T
0
dtL(x;x;_ z;z)_ = 1
2 m
"
A
0
T +A
1 T
2
2 +A
2 T
3
3
#
b)
Endpunkte als Randbedingungen: x(0) =z(0) = 0;x(T) =x
m
;z(T)= 0, daraus folgt fur
den Ansatz von oben:
x
0
=z
0
=0 ; v
x
= x
m
T
aT ; v
z
= bT
Jetztsindnurnoha;bunbestimmt.DieBahninSwirdalsodurha;bfestgelegt,unddie Bahnin
S zuvariieren heit jetzt,a undb zu variieren. S istextremal,wenn diese Variationvershwindet,
also S
a
=0 ; S
b
=0. Man mu beim Ableiten beahten, da v
x
und v
z
von a;b abhangen,
d.h., erst v
x
;v
z
einsetzen, dannnah a oder b ableiten. Etwas eleganter: Kettenregel benutzen:
S(a;b)
a
= 1
2 m
"
(2v
x v
x
a
)T +(4v
x +4a
v
x
a )
T 2
2
+(8a) T
3
3
#
S(a;b)
b
= 1
2 m
"
(2v
z v
z
b
)T +(4v
z +4b
v
z
b 2g
v
z
b )
T 2
2
+(8b 2g) T
3
3
#
Einsetzen von v
x
a
= T ; v
z
b
= T und alles ausmultiplizieren und -addieren liefert
S
a
= 1
3 mT
3
a ; S
b
= 1
3 mT
3
(b+ 1
2 g)
Nullsetzen liefert
und die physikalishe Bahn der Kugel lautet, mit v
x
=x
m
=T ; v
z
=gT=2,
x(t) = v
x t=
x
m
T t
z(t) = v
z t
g
2 t
2
= g
2
(tT t 2
)
Das so etwas herauskommt, war naturlih shon vorher klar: in x-Rihtung: gleihformige Bewe-
gung, in z-Rihtung: freier Fall, kennen wir shon aus Theorie A.
)
Zum Vergleih der `konventionelle' Weg: Die Bahn, die die Wirkung extremalisiert, wird ja
durh die Lagrangegleihungen bestimmt, also:
d
dt L
q_
L
q
=0 )
mx = 0
mz = mg )
x(t) = x
0 +v
x t
z(t) = z
0 +v
z t
g
2 t
2
DieRandbedingungen(Endpunktefurt=0undt=T)legendieIntegrationskonstantenx
0
;z
0
;v
x
;v
z
fest, wie in b). Normalerweise hat man als Randbedingungen niht die Endpunkte der Bahn,
sondern die Anfangspunkte x(0) = 0;z(0) = 0 und die Anfangsgeshwindigkeiten x(0)_ = v
x ,
_
z(0) = v
z
. Das ist naturlih
aquivalent und lat sih umrehenen in die Wurfzeit T und -weite
x
m :
_
x(0) = v
x
=x
m
=T
_
z(0) = v
z
=gT=2
) T = 2v
z
g
; x
m
= 2
g v
x v
z
2 a)
Koordinaten r;, der halbe
Oungswinkel istfest:
x = ros ()
y = rsin ()
z = rot ( ) )
_
x = r_os() r _
sin()
_
y = r_sin ()+r _
os ()
_
z = r_ot( )
kinetishe Energie,
T = 1
2 mr_
2
= 1
2 m(x_
2
+y_ 2
+z_ 2
)= 1
2 m[r_
2
+r 2
_
2
+r_ 2
ot 2
( )℄= 1
2 m[
_ r 2
sin 2
( ) +r
2
_
2
℄
potentielle Energie, U =mgz =mgrot( ), Lagrangefunktion
L = 1
m[
_ r 2
2
+r 2
_
2
℄ mgrot( )
`Modizierte' Lagrangegleihungen: allgemein:
d
dt L
q_
L
q
+
F
q_
=0 mit der Rayleigh-Funktion F = 1
2
_
r 2
Hier:
F = 1
2 [
_ r 2
sin 2
( ) +r
2
_
2
℄
Bilden aller Ableitungen von L und F liefert die Gleihungen
r=r
_
2
sin 2
( ) gsin ( )os( )
m _ r
d
dt (mr
2
_
)= r
2
_
b)
Fur =0liefert die 2.Bewegungsgleihung oenbar
d
dt
L=0 mit L=mr 2
_
Mit Reibung >0 istdie rehteSeite der Bewegungsgleihung niht mehr null, kann aberdurh
L dargestellt werden, r 2
_
=
m
L,also ergibtsih eine Bewegungsgleihung furL,
d
dt
L(t)=
m L(t)
Der Drehimpuls L istbei Reibungkeine Erhaltungsgroe mehr.
Die Bewegungsgleihung lat sih leiht losen (Trennung der Veranderlihen),
dL
L
=
m
dt ) ln(L) ln(L
0 )=
m
t ) L(t)=L
0 exp (
m t)
)
OhneReibung, =0:r=onst:=r
0
isteinespezielleLosungderRadialgleihungfurr;dies
entspriht Kreisbahnen, die durh das Gleihgewiht vonZentrifugal- und Shwerkraft bestimmt
sind. Ausr=r
0
=onst: folgtr_ =r=0, also
0=r _
2
sin ( ) gos ( ) ) r _
2
=got( )
L ist jetzteine Konstante, L=L
0
=onst:,damit wird _
ersetzt:
_
= L
mr 2
, also
L 2
0
m 2
r 3
=got( ) ) r 3
=r 3
0
= L
2
0
m 2
got( )
Nimmt manmit Reibung >0 der Einfahheit halberan, da immernohr_=r=0naherungs-
weise gilt, dann wird durh den `Zerfall' des Drehimpulses L
0
! L(t) der Radius r
0
! r(t) der
Kreisbahn standig kleiner:
r 3
=
L(t) 2
2
=r 3
0 e
2t=m
) r(t)=r
0 exp (
2
t)
